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- 1 (2008-08-07 (木) 23:52:24)
- 2 (2008-08-07 (木) 23:53:09)

$u: t \in \mathbb{R}_{\geq 0}\mapsto (x(t),y(t))^\top \in \mathbb{R}^2$
F(s)=(s-1)(s-2)
$\begin{align*}\frac{dx}{dt}&=-xF\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)-y\\\frac{dy}{dt}&=-yF\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)+x\end{align*}$ について、

(1)この微分方程式を極座標に変換せよ。
- $\begin{pmatrix}\dot{x}\\\dot{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dot{r}\\r\dot{\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-rF(r)\\r\end{pmatrix}$
  $\begin{pmatrix}\dot{r}\\r\dot{\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-rF(r)\\r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-r(r-1)(r-2)\\r\end{pmatrix}$
  $\int\frac{dr}{r(r-1)(r-2)}=-\int dt$
  $r^2-2r=\frac{1}{e^{2t}-C}$

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