- プログラムの数理
- 月2
- 1.5単位 数理C システムB
- 10:15～11:45 ＠63
- 序論
- 古典制御理論から現代制御理論へ
- 古典制御理論:(19世紀後半～1930年代)~~マクスウェルによるガバナーの解析。蒸気機関の制御。~~ラウス・フルビッツの安定判別法。~~伝達関数によるシステムの表現。~~周波数領域。ナイキストの安定判別。~~時間領域。PID制御。~~ウィナーフィルタ。
- 古典制御の利点~~実験的に得やすい入出力特性に基づいて解析・設計する。~~計算量は少ない。~~直感的
- 古典制御の欠点~~複雑なシステムの設計には向かない。~~システムの内部状態を無視している。~~方法論としての工学。理論よりも実践が優先。
- シャノンの情報理論(1948年)~~「通信」の一般化~~情報量と通信容量の関係。~~情報量についての普遍的法則を発見。~~モデルや表現法に依存しない一般法則。
- カルマンの最終目標~~制御に関する純粋理論~~望ましい制御を実現するためにはどのような、そしてどれくらいの情報が必要であるか？~~与えられたプラントを、制御という観点から完全に特徴付ける本質的な特徴は何か？
- カルマン(1959年～1960年代)~~制御問題の本質を明らかにすること。~~内部状態変数。~~可制御性・可観測性。~~状態推定とフィードバック制御
- 動的システムと状態方程式
- 動的システム
- 粘性抵抗とダンパのシステム。~~c dx/dt = u(t)~~dx/dt = u(t)/c = f(u(t))~~ある時点でのシステムの状態は、初期状態と入力の履歴で定まる。~~x = (1/c)∫[0,t]u(τ)dτ + x(0)~~力 u(t) を入力、位置 x(t) を出力とするシステムと見なせる。
- 動的システム(Dynamical System)~~入力と出力のあるシステムで、初期状態と入力の履歴により、任意の時刻の状態が定まるもの。
- 静的システム(Static System)~~入力と出力のあるシステムで、その時刻での入力だけからその時刻の出力が定まるもの。~~内部状態のないシステム。
- 因果性(Causality)~~ある時刻の出力が、それより過去の入力のと初期状態のみによって定まること。~~出力が未来の入力に依存しないこと。~~ある時点から先の入力をカットしても、それ以前の出力はカットしないときと同じになること。~~物理的なシステムは全て因果的。音声フィルタなど、因果的でないシステムも作り得る。
- 状態方程式
- マス・バネ・ダンパー系。~~運動方程式：{M(d/dt)^2 + c(d/dt) + k}x(t) = u(t)~~出力方程式：y(t) = x(t)~~内部状態の次元を増やして、運動方程式を一階微分にする。~~ x = (x[1],x[2]) = (x,dx/dt)~~ (d/dt)x[1] = x[2]~~ (d/dt)x[2] = (u-cx[2]-kx[1])/M~~y = x[1]~~と変形すると。~~x = f(x,u)~~ y=g(x,u) の形で表せる。
- システムの状態方程式表示~~入力：u(t)~~出力：y(t)~~状態変数：x(t)を使って、~~状態方程式：dx/dt = f(x,u,t)~~出力方程式：y = g(x,u,t)の形でシステムを記述する。~~入力・出力・状態変数は多次元になりうる。~~入出力が共に一次元のシステムを、一入出力システム(SISO System)~~入出力が多次元のシステムを、多入出力システム(MIMO System)と呼ぶ。
- 線形時不変システム
- 十分長い時間、入出力が共に0となっているとする。~~動的システムP：y(t)=P[u(t)]について、~~任意の入出力関係 y_1 = P[u_1], y_2 = P[u_2] の間に、~~線形性：αy_1 + βy_2 = P[αu_1+βu_2]が成り立つとき、~~Pは線形であるという。~~状態方程式・出力方程式が線形。
- システムが任意の時間シフトについて~~y(t+τ) = P[u(t+τ)]となるとき、~~Pは時不変であるという。~~状態方程式・出力方程式に陽にtを含まない。
- 例）dx/dt = ax + u, y = x~~y = ∫[0,t]exp(a(t-τ))u(τ)dτ は線形時不変システム。
- 動的システムの構造
- 相似変換
- モード分解
- 可制御性
- 可観測性
- 正準分解と最小実現
- 正準形
- 極配置問題
- 状態推定
- オブザーバー
- 最小次元オブザーバー
- カルマンフィルター
- フィードバック制御
- レギュレータ問題
- サーボ問題
- 最適制御
- 非線形システムの線形化
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