数理手法Ⅱ のバックアップ(No.1) - PukiWiki

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講義日程-2007年度冬学期

数理手法２

偏微分方程式の解法
- 変数分離法
  有限長の一次元熱伝導
  $u = u(x,t)$
  $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
  境界値 $u(0,t)=u(1,t)=0$
  初期値 $u(x,0)=f(x)$
  与えられた境界値条件(B.C.,Boundary Condition)と初期条件(I.C.,Initial Condition)のもとで
  偏微分方程式の解を求める問題。初期値・境界値問題。
  解の一意性は他で示すとして、発見的に解を見つける。
  変数分離、 $u(x,t) = T(t)X(x)$ という形の解を仮定すると
  T,Xは、 $\frac{dT}{dt}X = T\frac{d^2 X}{dx^2}$ を満たす。
  変形して、 $\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}$
  左辺は $x$ に依存せず、右辺は $t$ に依存しないので、両辺は定数でなければならない。
  $\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2} = C$
  二つの別々な常微分方程式に帰着できた。