解析数理要論のバックアップ(No.1) - PukiWiki

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解析数理要論へ行く。
- 1 (2009-04-07 (火) 11:25:45)

松尾先生の授業
教科書: 非線形解析入門 (大石進一，コロナ社)
成績: レポート，試験（A4一枚持ち込み可）

関数空間
- ノルム空間とバナッハ空間
  - ベクトル空間（線形空間）
  - ノルム空間，内積空間
  - バナッハ空間，ヒルベルト空間
  - 開集合と閉集合
- 有界線型作用素
  - 作用素
  - 線型作用素
  - 連続作用素
  - 連続線型作用素
  - 有界線型作用素
- 有限次元バナッハ空間
  - 有限次元空間のノルムの同値性
  - 有限次元空間はバナッハ空間

内容は

有限次元 vs 無限次元
- 有界閉 vs コンパクト
  - 無限次元の線形空間では，有界閉でもコンパクトにならないことがある．
教養の微積のあとに学ぶべきこと
- ルベーグ積分（測度論）→ 解析数理工学 (木1)
- 関数解析
  - 関数空間（バナッハ，ヒルベルト，ソボレフ，…）
  - 線形作用素（←この講義ではこのあたりまで）
  - 線型汎関数と共役空間
- スペクトルとレゾルベント
  - $Ax=\lambda x$
- 発展方程式と半群
  - $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x = Ax + f(t) \Rightarrow x = \mathrm{e}^{At}\int \mathrm{e}^{-At}f(t)$
    ↑これは何者かという話
- 超関数（distribution）とフーリエ解析
  - $\delta$ 関数とか，超関数微分とか
- 非線形数学（←レポートとして扱うかも）
  - Frechet微分，Gateaux微分（変分的なもの）
  - 不動点定理（Banach，Brouwer，Schauder，…）
  - 非線形（常|偏）微分方程式（力学系，分岐理論，解の存在，特異性，…）
    （ここに深入りすると帰ってこれなくなるらしい）

参考書
- 関数解析，黒田，共立
- 関数解析，藤田，岩波