院試勉強会

院試過去問 サンプル 専門科目 数理 †

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第一問 †

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(1) †

\begin{align*} \det A_{n}&=\left|\begin{matrix}2&-1&0&\dots&0\\ -1&2&-1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&&-1&2&-1\\ 0&0&\dots&-1&2 \end{matrix} \right| _n \\ &=2 \left|\begin{matrix}2&-1&0&\dots&0\\ -1&2&-1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&&-1&2&-1\\ 0&0&\dots&-1&2 \end{matrix} \right| _{n-1} - (-1) \left|\begin{matrix}-1&-1&&&&\\ 0& 2&-1&0&\dots&0\\ 0& -1&2&-1&\ddots&\vdots\\ 0& \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0& 0&&-1&2&-1\\ 0& 0&0&\dots&-1&2 \end{matrix} \right|_{n-1}=2\det A_{n-1}+(-1) \det A_{n-2} \end{align*}
より、三項間漸化式が得られた。これを、A_nの行列式をa_nとしたときに(a_n-a_{n-1})=(a_{n-1}-a_{n-2})と変形すれば、差が一定であることが分かる。さらに、A_1,A_2の行列式が2,3であることから、行列式の値はn+1となる。

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(2) †

Under construction.

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(3) †

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