院試復習数学のバックアップ(No.1)

基本的な定義 †

内積
$\bm{a}\cdot\bm{b}=a_ib_i$
外積
$\bm{a}\times\bm{b}=\varepsilon_{ijk}a_jb_k\bm{e}_i$
Levi-Civita symbol
$\begin{align*}\varepsilon_{iab}\varepsilon_{icd}&=\delta_{ac}\delta_{bd}-\delta{ad}\delta_{bc}\\\varepsilon_{ija}\varepsilon_{ijb}&=2\delta_{ab}\\(\varepsilon_{ijk})^2&=1\end{align*}$
公式
$\begin{align*}(\bm{a}\times\bm{b})\cdot(\bm{c}\times\bm{d})&=(\bm{a}\cdot\bm{c})(\bm{b}\cdot\bm{d})-(\bm{a}\cdot\bm{d})(\bm{b}\cdot\bm{c})\\\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})&=\bm{b}(\bm{a}\cdot\bm{b})-\bm{c}(\bm{a}\cdot\bm{b})\\\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})&+\bm{b}\times(\bm{c}\times\bm{a})+\bm{c}\times(\bm{a}\times\bm{b})=\bm{0}\end{align*}$