院試過去問分析数理のバックアップ(No.12) - PukiWiki

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院試過去問の解答

解答作成者などの情報ページ
講評が感想になっていても気にしないように．
解答が正しいことが確認できたら署名なりなんなりしていってください．

2009年 †

第1問 †

内容
- 線形代数正則であるための必要条件
講評
- (1)はヒント通りに変形するだけ．
- (2)も簡単

第2問 †

内容
- Newton法
- 複素数列
講評
- 計算が面倒だが時間があればそれほど難しい問題はない．

第3問 †

内容
- 正規分布
- 不偏推定量
講評
- (1)は直交行列の性質(QQ'=I)を利用する。
- 不偏推定量の問題は定義より計算する。
- 途中、４次モ－メントを計算するという計算問題もあり。
- 総じて、(1)以外は確率統計の計算をやる(面倒だが)に尽きる。

第4問 †

内容
- ロジスティック写像
講評
- (1)はarcsinの定義に戻って計算するだけだがややこしい。
- (2)以降は実はそれほど難しい問題はない。

第5問 †

内容
- Moore-Bellman-Ford
- 線形計画
講評
- 手でアルゴリズムを実行するのでミスが怖い．
- 最後はどの点からスタートしても到達不可能な点があるときの処理が鬼門．グラフに変形が必要．

2008年 †

第1問 †

内容
- Krylov subspace
解答
- 解答作成 tzik
- 解答確認 yambi
講評
- この年のセットでは一番取り組みやすかったです。
- 線型代数にアレルギーを起こさないことが第一歩だと感じました。(by うっしー)

第2問 †

内容
- 微分方程式
- 数値計算
解答
- 解答作成前半 tzik 後半 yambi （実は句読点に注目すれば誰が書いたか分かる）
- 解答確認 (4)まで確認(by うっしー)
講評
- (5)の単調減少性以外はそれほど難しくない．あとは絵心が必要．
- (5)の単調減少性は悩みました。評価が難しかった。(2)・(3)はp＋q≦1の条件を見逃しやすいと思います(というか途中まで忘れてた)。(by うっしー)

第3問 †

内容
- マルコフ連鎖
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認うっしー
講評
- なにをすれば良いかはすぐに分かるが計算が面倒．
- 確認しました。統計の知識をあまり使わないので肩透かしを食らいました。(4)の計算が面倒です。(by うっしー)

第4問 †

内容
- 空間図形
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- パラメータ置いてまじめに計算しようとすると泣きたくなります．
- 数時間悩まされました．
- 人工衛星の高さは速さで決まる!?
  - それは本当の話。例えば静止衛星の高さは決まってます。解答もたぶんあってると思う。(tako)

第5問 †

内容
- 最大マッチング
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 tako
講評
- 最大マッチングを求めるアルゴリズムは授業でもやったので分かるはず．
- (2)のどのような性質を持つか，でなにを言えばよいのか良くわからなかった．
- 増大路にふれればそれでよさそうですよね…(tako)

2007年 †

第1問 †

内容
- 実対称行列の固有値
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認うっしー
講評
- 実対称行列が直交行列で対角行列に変換できることを覚えてないと解くのは困難．
- その通りですね。(3)だけに配点の80％くらいが割り当てられてそうで怖い。(by うっしー)

第2問 †

内容
- 2項分布，ポアソン分布
- 繰り返しの公式
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 muk
講評
- 2項分布，ポアソン分布の期待値，分散を忘れていていきなり躓く．
- 分散の繰り返しの公式の間違える．
- 結論：難しい．
- おんなじ様な記号ばかりなので計算ミスしてちょっと自分混乱しました(by muk)
- 自分も混乱しました。っていうか分散の繰り返しの公式を自分で導くのは、過程をある程度覚えてないと難しいですね。クロス項作り出すとかね(by うっしー)

第3問 †

内容
- フーリエ変換・ガウス積分
- 矩形則による近似
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認うっしー
講評
- (3)が(2)の1次近似であることに気づけばそれほど難しくない．
- 計算だけやね。(3)は(1)と(2)の両方を使うと思いきや、(1)の結果を使う場面がないっていう。フーリエ解析を覚えてるかの確認問題といったところでしょうか。(by うっしー)

第4問 †

内容
- 最適化問題
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- KKT条件を覚えているかどうかがだけの問題．復習しなければ...

第5問 †

内容
- 幾何アルゴリズム
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 幾何の問題なので数値誤差や例外処理が大変かと思いきや，そういうことは考えなくても良い問題．
- 結局，かなり特殊な状況以外では計算量を改善できないという肩透かしな問題．

2006年 †

第1問 †

内容
- 行列式の計算
- 接続行列
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認うっしー
講評
- 簡単な問題．逆行列が余因子行列を行列式で割ったものだと覚えいるかが問題．
- (3)にはどのような意味があるのかはよく分からなかった．

第2問 †

内容
- 回帰分析
- 最尤推定量
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 擬似逆行列の導出ができないとひどい目に...

第3問 †

内容
- 極座標
- 微分方程式
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認うっしー
講評
- 曲線の長さの公式を求める時に動径方向の変化を忘れていて恥ずかしい目に．気をつけましょう．
- (3)は「外側をまわり込む」というのが「π/2のところから糸をまきつけるようにする」ということに気付くかがポイントですね。(by うっしー)

第4問 †

内容
- 微分方程式
- ラプラス変換
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認うっしー
講評
- ラプラス変換の変換公式を復習しよう．
- (3)の「十分長い時間がたった後の定常状態」というのがいまいち分かりにくかった(インパルス足し続けたら＋∞になるんちゃうん？！と思ってしまった)。あと(4)の場合分けとか計算とかめんどい。(by うっしー)

第5問 †

内容
- アルゴリズム
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 例年はアルゴリズムの問題は簡単だが，この年だけは例外．かなり悩んだ．

2005年 †

第1問 †

内容
- 微分方程式の保存量
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- ベクトルや行列の微分をきちんとできるようになっておこう．
- 見ましたが、確認とまでの自信はありません(tako)

第2問 †

内容
- 2次元平面上の写像
- 2次関数
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 2次関数の問題．大学入試の勉強を思い出そう．
- 見ましたが、確認とまでの自信はありません(tako)

第3問 †

内容
- 同時確率分布
- 不偏統計量・十分統計量
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 統計の問題は知識がないとまったく手のつけようがないものが多い．（教科書みないとまったくわからなかった）
- しっかり復習をしておこう．
- 見ましたが、確認とまでの自信はありません(tako)

第4問 †

内容
- 次元空間の原点を通る超平面での分割
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- (2)以外は簡単．線型代数的に解けた人がいたら教えてほしい．
- 独立性とかが関係してるのは分かるけど、絡まった状態を記述するのが大変で手がつきませんでした。(tako)

第5問 †

内容
- バイナリサーチ
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 tako
講評
- バイナリサーチを回するだけの簡単な問題．本当にこれでいいのだろうか...
- 変化点をひとつずつ探せばいいだけですよね…(tako)

2004年 †

第1問 †

内容
- エントロピー
- 2重確率行列による確率ベクトルの変換
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- (1)(3)は地味に難しい．
- (1)は $\log$ が上に凸であるという性質が味噌．
- あってるかのか怪しいです．

第2問 †

内容
- 楕円体法の収束の速さ
解答
- 解答作成 yambi mano
- 解答確認 ×
講評
- 個人的には過去問の中で一番難しい問題だった．
- (3)は簡単．

第3問 †

内容
- Buffonの針の問題
- 中心極限定理
- 期待値の線型性
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 tako
講評
- 期待値の線型性の有用性を教えてくれる問題．
- Buffonの針の問題で，交点数の期待値は針の形によらず長さに比例した値になるようです．
  - 区分的に直線で、(3)の考え方を使うんですね。納得です。これは落ち着いてやれば簡単ですね。(tako)
- 直径が平行線の間隔の円を考えれば交点数の期待値は2であることから単位長さあたりの交点数がの期待値が簡単に計算できる．

第4問 †

内容
- 微分方程式
- 実対称行列の性質
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$ なので， $\mathrm{Tr}(ABC)=\mathrm{Tr}(BCA)$ ．

第5問 †

内容
- 幾何アルゴリズム
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 tako
講評
- ソートされた2つのデータ列をごにょごにょする問題．
- 2本の棒を結ぶ線がカタカタ落ちていくイメージ（文ではうまく説明できない）
- 答案の書き方きれいですね…さすが得意分野というかんじ!? 円周上で一定の距離を保った(円周の1/2,1/4)追いかけっこだなーと思いました。(tako)

2003年 †

第1問 †

内容
- 行列式
- コレスキー分解
解答
- 解答作成 mano
- 解答確認 tzik
講評
- 実対称正定値行列の和の固有値は固有値の和にはなるとは限りません.

第2問 †

内容
- 完全順列
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 tzik
講評

第3問 †

内容
- 線型計画，双対
解答
- 解答作成 mano
- 解答確認 tzik
講評

第4問 †

内容
- 微分方程式，特異解
解答
- 解答作成 mano tzik
- 解答確認 yambi
講評
- 微分方程式の解には特異解と一般解をつないだものも解になっていることに注意ましょう．

第5問 †

内容
- アルゴリズム？
解答
- 解答作成 mano tzik
- 解答確認 yambi
講評
- 線型時間でスタート地点を見つけるアルゴリズムを作れみたいな問題にすれば良かったのに...

2002年 †

第1問 †

内容
- 期待値
解答
- 解答作成 tzik
- 解答確認 yambi
講評

第2問 †

内容
- 凸計画
解答
- 解答作成 tzik
- 解答確認 ×
講評

第3問 †

内容
- 積分の極限
- モンテカルロ？
解答
- 解答作成 tzik
- 解答確認 ×
講評

第4問 †

内容
- 曲率半径
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 曲率半径の公式 $\frac{1}{R}=\left|\frac{d^2 \mathrm{r}}{dt^2}\right|$ が必要．
- フレネ・セレとの公式を院試までに復習すべし．

第5問 †

内容
- スタック
- 対応の取れた括弧
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 個のきちんと対応のとれた括弧の総数がカタラン数 $\frac{1}{n+1}{2n\choose n}$ になることを知っていれば(1)で数え忘れることがなくなる．
- アルゴリズムって停止性の保障された正しい解を出力するプログラムじゃないの．