信号処理論第二のバックアップ(No.2) - PukiWiki

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- 1 (2007-11-09 (金) 10:28:13)
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講義日程-2007年度冬学期

サンプリング定理
- 連続関数を有限個の値だけで表現する。
- 連続関数の空間は可算無限次元。何らかの制約が必要。
- サンプル値の系列をδ関数の列とみなし、もとの関数との関係を考える。
  周期δ関数列のフーリエ変換は周期δ間数列、
  時間領域での掛け算は周波数領域では畳み込み、
  δ関数との畳み込みはシフト演算。
  時間領域で周期δ関数列を掛けることは、周波数領域では、
  もとの関数に、コピーをシフトして重ねたものになる。
  周波数領域で広い範囲に値を持っている関数は、
  サンプリングによって自身のコピーと重なってしまい、
  その部分ではコピーと区別できなくなってしまう。→Aliasing
- 特定帯域のみを含む正弦波信号は、帯域幅の２倍以上の周波数でサンプリングすれば完全に復元できる。

サンプル系列から元の関数を復元するには
- 最も近い点での値を元の関数の値とみなすなら、
  矩形パルスと畳み込む。周波数領域ではsinc関数を掛ける。
- 直線で補完するなら、三角波パルスと畳み込む。周波数領域ではsinc関数を二乗を掛ける。

教科書・参考書紹介
- 工学のための応用フーリエ積分
- 信号処理の基礎と応用
   アナログとディジタルの信号解析

確率過程
- 確率に基づいて変数が時間的に変化する過程。
確率過程のn次分布関数
- $F\left(\{x_i\}_{i_1}^{n};\{t_i\}_{i=1}^{n}\right) = P[\{X_{i}(t_i) \leq x_i \}_{i=1}^{n}]$
  確率過程をn個考え、その $i$ 番目の値が時刻 $t_i$ に $x_i$ 以下である確率。
  確率分布関数は確率密度関数の情報を含む。
  高次の確率分布関数は低次の確率分布関数の情報を含む。
  エルゴードな確率過程では、高次の分布関数は１次の分布関数の累乗になる。

n次密度関数

集合平均
- $\eta(t) = E[x(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x,t)dx$
自己相関関数
- $R(t_1,t_2) = E[x(t_1)x(t_2)]$
自己共分散
相互相関関数
直交
無相関
独立
- 独立 $\Rightarrow$ 無相関

強定常過程
- 確率密度が時間変化しない。
弱定常過程
- 平均が時間変化しない。
- 変化が時間差にのみ依存。