数理手法Ⅱ のバックアップ(No.2)

講義日程-2007年度冬学期

数理手法２

偏微分方程式の解法、 $\TeX$ の練習
- 変数分離法
  線形・同次な偏微分方程式で、境界条件も同次なときにはそのまま変数分離可能。
  独立変数ごとの別々な関数の積の形で解を書いてから、境界条件を満たすような重みで重ね合わせる。
  方程式や境界条件が同次でないときには、非同次の特解と同次の一般解を重ね合わせればいい。
  - 有限長の一次元熱伝導
    $u = u(x,t)$
    $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
    境界値 $u(0,t)=u(1,t)=0$
    初期値 $u(x,0)=f(x)$
    与えられた境界値条件(B.C.,Boundary Condition)と初期条件(I.C.,Initial Condition)のもとで
    偏微分方程式の解を求める問題。初期値・境界値問題。
    解の一意性は他で示すとして、発見的に解を見つける。
    変数分離、 $u(x,t) = T(t)X(x)$ という形の解を仮定すると
    T,Xは、 $\frac{dT}{dt}X = T\frac{d^2 X}{dx^2}$ を満たす。
    変形して、 $\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}$
    左辺は $x$ に依存せず、右辺は $t$ に依存しないので、両辺は定数でなければならない。
    $\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2} = -C^2$
    二つの別々な常微分方程式に帰着できた。
    まず、 $X$ の方を解くと。
    $X = A \sin(Cx) + B \cos(Cx)$
    境界条件を課せば、 $B = 0$ ~、 $A \sin(C) = 0$
    自明でない解は $\sin(C) = 0$ 、 $C=n\pi$ のときのみ存在し、
    $X = A\sin(n\pi x)$
    次に、 $T$ の方を解くと、 $\frac{dT}{dt} = -(n\pi)^2 T$
    $T = \exp(-n^2 \pi^2 t)$
    二つ合わせて、 $TX = C_n \exp(-n^2 \pi^2 t)\sin(n\pi x)$
    これは境界条件を満たす解の一系列になっている。
    次に、元々の偏微分方程式が線形であることに注意して、初期条件を満たすために
    得られた解の線形結合をとる。
    $u = \sum_{n=1}^{\infty}A_n \exp(-n^2 \pi^2 t)\sin(n\pi x)$
    初期条件を満たすように係数 $A_n$ を決めれば最終的な解が求まる。
    $u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}A_n \sin(n\pi x) = f(x)$
    $u(x,t) = 2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}f(y)\sin(n\pi y)dy\right)\exp(-n^2 \pi^2 t)\sin(n\pi x)$
  - 半無限長の一次元熱伝導
    境界条件を $u(x,0)=0$ 、 $x\to\infty$ で $u$ が有界、にする。
    それ以外は同じ。
    変数分離をして $X$ の方を解くと、 $X = A\sin(Cx) + B\cos(Cx)$
    境界条件から $B=0$ 、 $C$ は任意の実数でよい。
    $T$ の方も解いてから重ね合わせると、 $u = \int_0^{\infty}A(C)\exp(-C^2 t)\sin(Cx)dC$
    境界条件を満たすように $A(C)$ を決めると、
    $u(x,t) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\left(\int_0^{\infty}f(y)\sin(Cy)dy\right)\sin(Cx)dC$
  - 熱源のある有限長一次元熱伝導
    熱源の無いときの偏微分方程式に項を追加して、
    $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + h(x,t)$ とする。他の条件は同じ。
    特解を見つけるために、定数変化法を使う。
    同次方程式の解、 $\sum_{n=1}^{\infty}A_n \exp(-n^2 \pi^2 t)\sin(n\pi x)$ を少し一般化して、
    $\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}(x) \exp(-n^2 \pi^2 t)\sin(n\pi x)$ の形で探してみる。
    偏微分法定式に代入してみると。 $A_{n}(x)$ が満たすべき方程式は、
    $\sum_{n=1}^{\infty}\exp(-n^2 \pi^2 t)\{\frac{d^2 A_{n}(x)}{dx^2}\sin(n\pi x) + 2n\pi \frac{dA_{n}(x)}{dx}\cos(n\pi x)\} + h(x) = 0$
    $\TeX$ 化限界により以下略。この方程式を解いて非同次の特解を求め、同次の一般解と重ね合わせれば
    非同次の一般解が得られる。

フーリエ変換による解法
$\hat{f}(k) = \int_a^b K(x,k)f(x)dx$ という形の関数から関数への線形変換を積分変換と呼ぶ。
うまく変換すると方程式本体や境界条件を簡単にすることができる。
$a=-\infty, b=\infty$
$K(k,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-ikx)$ と選び、~
定義域を適当に設定したものをフーリエ変換と呼ぶ。
- 定義域が急減少超関数なら値域は緩増加関数。
  定義域が緩増加超関数なら値域は急減少関数、などなど。少々うろ覚え。

11/6 は休講。