院試過去問分析数理のバックアップ(No.2) - PukiWiki

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院試過去問の解答

解答作成者などの情報ページ
講評が感想になっていても気にしないように．
解答が正しいことが確認できたら署名なりなんなりしていってください．

2008年 †

第1問 †

内容
- Krylov subspace
解答
- 解答作成 tzik
- 解答確認 ×
講評

第2問 †

内容
- 微分方程式
- 数値計算
解答
- 解答作成前半 tzik 後半 yambi （実は句読点に注目すれば誰が書いたか分かる）
- 解答確認 ×
講評
- (6)の単調減少性以外はそれほど難しくない．あとは絵心が必要．

第3問 †

内容
- マルコフ連鎖
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- なにをすれば良いかはすぐに分かるが計算が面倒．

第4問 †

内容
- 空間図形
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- パラメータ置いてまじめに計算しようとすると泣きたくなります．
- 数時間悩まされました．

第5問 †

内容
- 最大マッチング
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 最大マッチングを求めるアルゴリズムは授業でもやったので分かるはず．
- (2)のどのような性質を持つか，でなにを言えばよいのか良くわからなかった．

2007年 †

第1問 †

内容
- 実対称行列の固有値
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 実対称行列が直交行列で対角行列に変換できることを覚えてないと解くのは困難．

第2問 †

内容
- 2項分布，ポアソン分布
- 繰り返しの公式
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 2項分布，ポアソン分布の期待値，分散を忘れていていきなり躓く．
- 分散の繰り返しの公式の間違える．
- 結論：難しい．

第3問 †

内容
- フーリエ変換・ガウス積分
- 矩形則による近似
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- (3)が(2)の1次近似であることに気づけばそれほど難しくない．

第4問 †

内容
- 最適化問題
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- KKT条件を覚えているかどうかがだけの問題．復習しなければ...

第5問 †

内容
- 幾何アルゴリズム
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 幾何の問題なので数値誤差や例外処理が大変かと思いきや，そういうことは考えなくても良い問題．
- 結局，かなり特殊な状況以外では計算量を改善できないという肩透かしな問題．

2006年 †

第1問 †

内容
- 行列式の計算
- 接続行列
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 簡単な問題．逆行列が余因子行列を行列式で割ったものだと覚えいるかが問題．
- (3)にはどのような意味があるのかはよく分からなかった．

第2問 †

内容
- 回帰分析
- 最尤推定量
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 擬似逆行列の導出ができないとひどい目に...

第3問 †

内容
- 極座標
- 微分方程式
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 曲線の長さの公式を求める時に動径方向の変化を忘れていて恥ずかしい目に．気をつけましょう．

第4問 †

内容
- 微分方程式
- ラプラス変換
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- ラプラス変換の変換公式を復習しよう．

第5問 †

内容
- アルゴリズム
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 例年はアルゴリズムの問題は簡単だが，この年だけは例外．かなり悩んだ．

2005年 †

第1問 †

内容
- 微分方程式の保存量
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- ベクトルや行列の微分をきちんとできるようになっておこう．

第2問 †

内容
- 2次元平面上の写像
- 2次関数
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 2次関数の問題．大学入試の勉強を思い出そう．

第3問 †

内容
- 同時確率分布
- 不偏統計量・十分統計量
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 統計の問題は知識がないとまったく手のつけようがないものが多い．（教科書みないとまったくわからなかった）
- しっかり復習をしておこう．

第4問 †

内容
- 次元空間の原点を通る超平面での分割
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- (2)以外は簡単．線型代数的に解けた人がいたら教えてほしい．

第5問 †

内容
- バイナリサーチ
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- バイナリサーチを回するだけの簡単な問題．本当にこれでいいのだろうか...

2004年 †

第1問 †

内容
- エントロピー
- 2重確率行列による確率ベクトルの変換
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- (1)(3)は地味に難しい．
- (1)は $\log$ が上に凸であるという性質が味噌．
- あってるかのか怪しいです．

第2問 †

内容
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 解けた方は解答を教えてください
- 室田先生，分かりませんでした...もう少しやさしいのをお願いします．

第3問 †

内容
- Buffonの針の問題
- 中心極限定理
- 期待値の線型性
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 期待値の線型性の有用性を教えてくれる問題．
- Buffonの針の問題で，交点数の期待値は針の形によらず長さに比例した値になるようです．
- 直径が平行線の間隔の円を考えれば交点数の期待値は2であることから単位長さあたりの交点数がの期待値が簡単に計算できる．

第4問 †

内容
- 微分方程式
- 実対称行列の性質
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$ なので， $\mathrm{Tr}(ABC)=\mathrm{Tr}(BCA)$ ．

第5問 †

内容
- 幾何アルゴリズム
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- ソートされた2つのデータ列をごにょごにょする問題．
- 2本の棒を結ぶ線がカタカタ落ちていくイメージ（文ではうまく説明できない）

2003年 †

第1問 †

内容
解答
- 解答作成 ×
- 解答確認 ×
講評

第2問 †

内容
解答
- 解答作成 ×
- 解答確認 ×
講評

第3問 †

内容
解答
- 解答作成 ×
- 解答確認 ×
講評

第4問 †

内容
解答
- 解答作成 ×
- 解答確認 ×
講評

第5問 †

内容
解答
- 解答作成 ×
- 解答確認 ×
講評

2002年 †

第1問 †

内容
- 期待値
解答
- 解答作成 tzik
- 解答確認 yambi
講評

第2問 †

内容
- 凸計画
解答
- 解答作成 tzik
- 解答確認 ×
講評

第3問 †

内容
- 積分の極限
- モンテカルロ？
解答
- 解答作成 tzik
- 解答確認 ×
講評

第4問 †

内容
- 曲率半径
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 曲率半径の公式 $\frac{1}{R}=\left|\frac{d^2 \mathrm{r}}{dt^2}\right|$ が必要．
- フレネ・セレとの公式を院試までに復習すべし．

第5問 †

内容
- スタック
- 対応の取れた括弧
解答
- 解答作成 yambi
- 解答確認 ×
講評
- 個のきちんと対応のとれた括弧の総数がカタラン数 $\frac{1}{n+1}{2n\choose n}$ になることを知っていれば(1)で数え忘れることがなくなる．
- アルゴリズムって停止性の保障された正しい解を出力するプログラムじゃないの．