院試過去問 2002年度専門科目数理のバックアップ(No.2) - PukiWiki

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院試勉強会

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/admission.shtml
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/pdf/2002suuri-j.pdf

第一問
を互いに独立な上の一様乱数とする。
に対し、
に対し、と定義する。
- (1)の確率密度関数と期待値を求めよ。
  - 累積分布は、 $0\leq z\leq 1$ に対して、
    $F(z) = P[Z_c < z] = P\left[\left(X \geq c \wedge X < z\right)\vee (X < c \wedge Y < z)\right] = \max(z-c,0) + cz$ なので、
    確率密度は $f(z)=F'(z)=\left\{\begin{matrix}1+c,&(\mathrm{for}\ z>c)\\c&(\mathrm{else})\end{matrix}\right.$
    期待値は、 $E[Z_c]=\int_c^1 z(1+c)dz+\int_0^c zcdz = \frac{1-c-c^2+2c^3}{2}$
- (2)を最大にするの値、と、を求めよ。
  - $\frac{d}{dc}E[Z_c] = \frac{-1-2c+6c^2}{2}$ 、
    ではこれは負なので、
    $c^* = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$
    で次数下げして、
    $E[Z_{c^*}]=\frac{17-14c^*}{36}=\frac{44-7\sqrt{7}}{108}$
- (3)任意のに対して、となることを示せ。
  - が可測であることは仮定しておく。
    $P[Z_A<z]=|A\cap [0,z]|+z(1-|A|)$
    微分不可能な点が高々可算個なら、その点を除外して積分すれば
    $E[Z_A]=\int_0^1 z\frac{d}{dz}P[Z_A<z]dz=1-\int_0^1 P[Z_A<z]dz = \frac{1+|A|}{2} - \int_0^1 |A\cap [0,z]|dz$

以下考え中