院試復習数学のバックアップ(No.2)

基本的な定義 †

内積
$\bm{a}\cdot\bm{b}=a_ib_i$
外積
$\bm{a}\times\bm{b}=\varepsilon_{ijk}a_jb_k\bm{e}_i$
Levi-Civita symbol
$\begin{align*}\varepsilon_{iab}\varepsilon_{icd}&=\delta_{ac}\delta_{bd}-\delta{ad}\delta_{bc}\\\varepsilon_{ija}\varepsilon_{ijb}&=2\delta_{ab}\\(\varepsilon_{ijk})^2&=1\end{align*}$
公式
$\begin{align*}(\bm{a}\times\bm{b})\cdot(\bm{c}\times\bm{d})&=(\bm{a}\cdot\bm{c})(\bm{b}\cdot\bm{d})-(\bm{a}\cdot\bm{d})(\bm{b}\cdot\bm{c})\\\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})&=\bm{b}(\bm{a}\cdot\bm{b})-\bm{c}(\bm{a}\cdot\bm{b})\\\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})&+\bm{b}\times(\bm{c}\times\bm{a})+\bm{c}\times(\bm{a}\times\bm{b})=\bm{0}\end{align*}$

勾配
$\grad\phi=\nabla\phi=\begin{pmatrix}\partial_x\phi\\\partial_y\phi\\\partial_z\phi\end{pmatrix}$
$\grad\phi=d\phi$ （微分形式）
$\nabla f(r)=\frac{\bm{r}}{r}f'(r)$
$\nabla \frac{1}{r}=-\frac{\bm{r}}{r^3}$
発散
$\div\bm{A}=\nabla\cdot\bm{A}=\partial_iA_i$
$\div\bm{A}=*d*\bm{A}$
$\div\frac{\bm{r}}{r^3}=4\pi\delta(\bm{r})$
回転
$\rot\bm{A}=\nabla\times\bm{A}=\begin{pmatrix}\partial_yA_z-\partial_zA_y\\\partial_zA_x-\partial_xA_z\\\partial_xA_y-\partial_yA_z\end{pmatrix}=\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k\bm{e}_i$
$\rot\bm{A}=*d\bm{A}$
ラプラシアン
$\bigtriangleup\phi=\div\grad\phi=\nabla\cdot\nabla\phi=\partial_i\partial_i\phi$
$\bigtriangleup\phi=*d*d\phi$
場の演算子の関係式
$\begin{align*}\rot\grad\phi&=*dd\phi=\bm{0}\\\div\rot\bm{A}&=*d**d\bm{A}=*d^2\bm{A}=\bm{0}\end{align*}$

線積分
$\int_{C}d\bm{r}\cdot\bm{A}=\int_{t_1}^{t_2}dt\frac{d\bm{r}}{dt}\cdot\bm{A}$
面積分
$\iint_S d\bm{S}\cdot\bm{B}=\iint_{S'}dudv\left(\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\bm{r}}{\partial v}\right)\cdot\bm{B}(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
曲面の面積
$\iint_S|d\bm{S}|=\iint_{S'}dudv\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\bm{r}}{\partial v}\right|$
2次元Gauss-Stokesの定理
$\iint_D dxdy\left(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\right)=\oint_{\partial D}Xdx+Ydy$
Stokesの定理
$\iint_S d\bm{S}\cdot\rot\bm{A}=\oint_{\partial S}d\bm{r}\cdot\bm{A}$
3次元ガウスの定理
$\iiint_V dV \div\bm{A}=\iint_{\partial V}d\bm{S}\cdot\bm{A}$
グリーンの公式
$\int_V dV\left(\nabla u\cdot\nabla v+u\bigtriangleup v\right)=\int_{\partial V}d\bm{S}\cdot u\nabla v$