幾何数理工学演習のバックアップ(No.3) - PukiWiki

[ トップ ] [ 新規 | 一覧 | 単語検索 | 最終更新 | ヘルプ ] [ リンク元 ]

バックアップ一覧
差分を表示
現在との差分を表示
ソースを表示
幾何数理工学演習へ行く。
- 1 (2007-10-29 (月) 13:05:42)
- 2 (2007-10-29 (月) 13:58:42)
- 3 (2007-11-05 (月) 13:58:48)
- 4 (2007-11-22 (木) 14:36:27)
- 5 (2007-12-04 (火) 01:28:15)
- 6 (2007-12-10 (月) 14:15:09)
- 7 (2007-12-17 (月) 13:57:50)
- 8 (2008-01-24 (木) 14:15:32)

担当：谷口(やぐち)さん

yaguchi@mist.i.(東大ドメイン) ６号館３５６号室

演習はテスト形式。レポート用紙は持参してください。
序盤60分は前回分の解説や講義の補足。
中盤90分は問題演習。
終盤30分はポイントの解説。
途中に適宜休憩。
- レポート用紙はA4。
- なるべく大きい文字で、読める字で。消しゴム使って。
- ノート,プリントは持ち込み可。参考書は不可。ノートパソコンはノート？
- 友達との相談は可。むしろ推奨。ただし相談相手の名前を書いておくこと。
- 飲食物持ち込み可。軽いものなら。
  - ~~カフェイン、カフェイン、カフェイン~~
成績は算法数理工学演習と一緒に。
- 出席点(ほぼこれ)
- テスト点(相対評価)
- レポート点
  - 各回の重要な問題が解けなかったときは、次回までに。
  - 冬休みの宿題(任意)

位相幾何
- 距離空間
- 位相空間
- ホモトピー,ホモロジー
テンソル解析

位相幾何
連続的変形で不変な性質についての幾何学
- エルランゲン・プログラム
  クライン「幾何学とは、特定の変換で不変な性質を研究することだ。」
- 位相同型写像
  連続な全単射で、逆写像も連続。
  必ずしも距離の入っていない空間で、「連続」を定義する。

距離空間
- ある集合上の、非負,対称で,密着でなく、三角不等式を満たす２変数関数を距離と呼ぶ。
  距離の備わった集合を距離空間と呼ぶ。
  「関数」は $\mathbb{R}$ への写像。
  - 同値な別の定義もある。（問）
  - 距離は有限であることは必要。（問）
  - 距離は一意に定まるとは限らない。同値でない別な定義もある。
- 近傍
  距離空間 $X$ 上の点 $x\in X$ に対して、
  $N(x,\varepsilon) = \{ y \in X | d(x,y)\leq \varepsilon \}$
  を $x$ の $\varepsilon$ 近傍と呼ぶ。
- 距離空間における連続性
  距離空間 $X,Y$ について、写像 $f:X\to Y$ が $x_0 \in X$ で連続であるとは、
  $\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0. f(N(x,\delta)) \subset N(f(x_0),\varepsilon)$ となること。
- 距離がうまく定義できない空間について、連続写像や極限を扱いたいときには、
  なんとかして位相から連続写像や極限を使う。
  - 内積→ノルム→距離→位相
  - セミノルム系→位相

位相空間
- 位相同型,連続
- コンパクト性,連結性
- 弧状連結
- ハウスドルフ空間
- 群論の復習

弧状連結
- 位相空間における連結とは、空でない互いに疎な開集合では全空間を分割できないこと。
  互いに疎な開集合で全空間を分割したときに、必ず片方が空で片方が全空間になること。
- 弧状連結とは、空間中の任意の２点について、それらを繋ぐ連続曲線が存在すること。
  弧状連結なら連結。連結でも弧状連結とは限らない。
  - $x,y\in X$ を繋ぐ連続曲線とは、 $f:[0,1]\to X$ で $f(0)=x,f(1)=y$ を満たす連続写像。
ハウスドルフ空間
- 空間上の任意の２点を、互いに疎な開集合で分離できる空間。
  一点集合が閉集合になることと同値。
  ハウスドルフ空間では、数列の収束先が高々一つに定まる。
  複数の収束先を持つ数列を排除できる。