講義日程-2007年度冬学期

数学3 †

過去問去年分に対するtzik教授の詳細な解説

  1. 0 \geq x \geq 1で定義された2乗可積分の空間L^{2}(0,1)は無限次元であることを示せ。
    • 各要素が直交する無限列があればよい。\{\sin(n\pi t)\}_{n\in \mathbb{N}}が直交無限列。証明略。
  2. f(x)=2x,\ g(x)=x+1とする。
    1. f(x),g(x)がL^{2}(0,1)の元であることを示せ。
      • それぞれが2乗可積分であることを示せばよい。証明略。
    2. fのノルム\|f\|_{L^{2}(0,1)}を求めよ。
      • 定義に従って\int_{0}^{1}|f(x)|^{2}dxを計算。値は4/3
    3. fとgの内積(f,g)_{L^{2}(0,1)}を計算せよ。
      • 定義に従って\int_{0}^{1}f^{*}(x)g(x)dxを計算。値は5/3
  3. \alpha,\betaを\alpha < \betaなる実数とし、閉区間I=[\alpha,\beta]を考える。f\in C^{1}(I)に対して
    \|f\| = \max_{x\in I}|f(x)| + \max_{x\in I}|f'(x)|
    と定義する。ここでf'はfの導関数を表す。
    1. \|\cdot\|はC^{1}(I)のノルムであることを示せ。
      • ノルムの公理は、非負性、同次性、三角不等式と、外が0なら中も0の公理。順に試せばよい。
        三角不等式以外は明らかに明白で自明である。
        三角不等式については、\max_{x\in I}|\cdot |についての三角不等式から。
    2. A=\{u\in C^{1}|u(\alpha)=0\}はC^{1}(I)の閉部分空間であることを示せ。
      • 部分空間になっていることは明らか。
        \{0\}は\mathbb{R}の閉集合なので、u(x)\in C^{1}(I)\to u(\alpha)\in \mathbb{R}が連続写像であることを示せばよい。
        u_{n}(x)\to 0 (n\to \infty)となるC^{1}(I)の列について、
        |u_{n}|\geq \max_{x\in I}|u_{n}(x)| \geq u_{n}(\alpha)から
        u_{n}(\alpha) \to 0よってこの写像は連続。
        連続写像での閉集合の逆像は閉集合。よってAは閉集合。
    3. Aで
      |f|'=\max_{t\in I}|f'(x)|
      はノルムであり、|\cdot |と|\cdot |'とは同値であることを示せ。
      • |\cdot |'がノルムになっていることの正銘は略。
        この2つのノルムが同値であるとは、あるa,bをとって、
        任意のu\in C^{1}(I)についてa|u|'\leq |u| \leq b|u|'を成立させることができればよい。
        左側の不等式は自明。
        右側の不等式について、\max_{x\in I}|u(x)| + \max_{x\in I}|u'(x)|\leq b\max_{x\in I}|u'(x)|を示す。
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