院試過去問 2006年度数学のバックアップ(No.3) - PukiWiki

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院試勉強会

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml

院試過去問 2006年度数学 †

第4問
数直線上を点Pが動く。時刻のときPは上に存在し、単位時間毎に確率1/2で+1、確率1/2で-1移動する。点Pが時刻tにxにいる確率をと置く。
- (1)時刻t=2についてを全て列挙せよ。
  - 計算するだけ。
    
    x -2 0 2
    p 1/4 1/2 1/4
- (2)を求めよ。
  - x,tのそれぞれについて偶数と奇数で場合分けする。
    のとき、
    $x=\pm (2k+1)$ のとき、 $p(2n,\pm (2k+1))=0$
    $x=\pm 2k$ のとき、 $p(2n,\pm 2k)= \frac{1}{2^{2n}}\left( \begin{array}{c}2n \\ n+k \end{array}\right)$ (2n回中n+k回右に、n-k回左に動くとx=2k)
    のとき、
    $x=\pm 2k$ のとき、 $p((2n+1),\pm 2k)=0$
    $x=\pm (2k+1)$ のとき、 $p((2n+1),\pm (2k+1))= \frac{1}{2^{2n+1}}\left( \begin{array}{c}2n+1 \\ n+k+1 \end{array}\right)$
- (3)時刻tのxの平均と分散を求めよ。
  - この分布は二項分布(確率pで1,確率(1-p)で0をt回繰り返す)の和について、 $p=\frac{1}{2}$ とし、xに $\frac{1}{2}t$ を足したのちに2倍したものに他ならない。
    二項分布の平均はpt,分散はp(1-p)tであるため、この分布の平均と分散は
    $E(x)=(\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}t)\times 2 = 0$
    $V(x)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})t \times 2^2 = t$
    となる。
- (4)(ただし、,,tとxの偶奇が等しいとき)を示せ。またその意味を述べよ。
  - t,xが偶数の場合。
    $p(x,t)= \frac{1}{2^{t}} \left( \begin{array}{c}t \\ \frac{t}{2}+\frac{x}{2}\end{array} \right) = \frac{1}{2^{t}} \frac{t!}{\left(\frac{t}{2}-\frac{x}{2}\right)! \left(\frac{t}{2}+\frac{x}{2}\right)!} = \frac{1}{2^{t}} \frac{t!}{\left\{\frac{t}{2} \left( 1-\frac{x}{t} \right) \right\}! \left\{ \frac{t}{2} \left( 1+\frac{x}{t} \right) \right\}!}$
    $= \frac{1}{2^{t}} \frac{\sqrt{2 \pi t } t^t e^{-t}}{\sqrt{2 \pi \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right)} \sqrt{2 \pi \frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t} \right)} \left\{\frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t}\right) \right\}^{\frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right)} \left\{\frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t}\right) \right\}^{\frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t} \right)} e^{-\frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right)} e^{-\frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t} \right)}}$ (スターリングの公式)
    $= \frac{2}{\sqrt{2 \pi t \left(1-(\frac{x}{t})^2\right)}} \frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)} \left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)}}$
    ここで、 $\frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)} \left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)}}$ についてlogをとると、
    $\log{\frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)} \left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)}}}$
    $= - \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right) \log{\left(1-\frac{x}{t} \right)} - \frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t} \right) \log{\left(1+\frac{x}{t} \right)}$
    $\simeq - \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right) \left(-\frac{x}{t}-\frac{1}{2} \left(\frac{x}{t}\right)^2\right) - \frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t}\right)\left(\frac{x}{t}-\frac{1}{2} \left(\frac{x}{t}\right)^2\right) \simeq -\frac{x^2}{2t}$ なので、
    $p(x,t) \simeq \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} e^{- \frac{x^2}{2t}}$
    これは、中心極限定理を表す。