院試復習システムのバックアップ(No.3)

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- 1 (2008-08-15 (金) 15:23:38)
- 2 (2008-08-15 (金) 18:51:46)
- 3 (2008-08-16 (土) 03:40:02)
- 4 (2008-08-16 (土) 13:48:45)
- 5 (2008-08-16 (土) 16:58:03)
- 6 (2008-08-21 (木) 19:33:46)
- 7 (2008-08-23 (土) 22:45:31)

院試復習 †

信号処理 †

フーリエ級数展開 †

$f(t) = a_0 + \sum^\infty_{n=1} \left( a_n \cos \left( 2\pi n\frac{t}{T} \right) + b_n \sin \left( 2\pi n\frac{t}{T} \right) \right)$

それぞれの係数は、

$a_0 = \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} f(t) dt$
$a_n = \frac{2}{T} \int^{T/2}_{-T/2} f(t) \cos \left( 2\pi n\frac{t}{T} \right) dt$
$a_n = \frac{2}{T} \int^{T/2}_{-T/2} f(t) \sin \left( 2\pi n\frac{t}{T} \right) dt$
より求められる。

↑

複素フーリエ級数展開 †

フーリエ級数展開の係数を、 $c_n = \frac{a_n - j b_n}{2}$ とおくと

$f(t) = \sum^\infty_{n=-\infty} c_n \exp \left( j \cdot 2 \pi n \frac{t}{T} \right)$

その係数は、

$c_n = \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} f(t) \exp \left( -j \cdot 2\pi n \frac{t}{T} \right) dt$

↑

フーリエ変換 †

フーリエ変換
$F(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t) \exp(-j\omega t)dt$

フーリエ逆変換
$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty}F(\omega) \exp(j\omega t)dt$

↑

フーリエ変換の性質と主な関数のフーリエ変換 †

性質	変換	逆変換
対称性	$F^{-1}[F(\omega)] = f(t)$	$F[F(\omega)] = 2 \pi f(-t)$
畳み込み	$F[ f_1(t) * f_2(t)] = F_1(\omega)F_2(\omega)$	$F_1(\omega)F_2(\omega) = 2\pi F[f_1(t)f_2(t)]$