信号処理論第二のバックアップ(No.4) - PukiWiki

[ トップ ] [ 新規 | 一覧 | 単語検索 | 最終更新 | ヘルプ ] [ リンク元 ]

バックアップ一覧
差分を表示
現在との差分を表示
ソースを表示
信号処理論第二へ行く。
- 1 (2007-11-09 (金) 10:28:13)
- 2 (2007-11-09 (金) 11:47:56)
- 3 (2007-11-09 (金) 16:43:48)
- 4 (2008-02-01 (金) 00:45:07)
- 5 (2008-02-01 (金) 01:38:36)
- 6 (2008-02-01 (金) 06:28:11)

講義日程-2007年度冬学期

サンプリング定理
- 連続関数を有限個の値だけで表現する。
- 連続関数の空間は可算無限次元。何らかの制約が必要。
- サンプル値の系列をδ関数の列とみなし、もとの関数との関係を考える。
  周期δ関数列のフーリエ変換は周期δ間数列、
  時間領域での掛け算は周波数領域では畳み込み、
  δ関数との畳み込みはシフト演算。
  時間領域で周期δ関数列を掛けることは、周波数領域では、
  もとの関数に、コピーをシフトして重ねたものになる。
  周波数領域で広い範囲に値を持っている関数は、
  サンプリングによって自身のコピーと重なってしまい、
  その部分ではコピーと区別できなくなってしまう。→Aliasing
- 特定帯域のみを含む正弦波信号は、帯域幅の２倍以上の周波数でサンプリングすれば完全に復元できる。

サンプル系列から元の関数を復元するには
- 最も近い点での値を元の関数の値とみなすなら、
  矩形パルスと畳み込む。周波数領域ではsinc関数を掛ける。
- 直線で補完するなら、三角波パルスと畳み込む。周波数領域ではsinc関数を二乗を掛ける。

教科書・参考書紹介
- 工学のための応用フーリエ積分
- 信号処理の基礎と応用
   アナログとディジタルの信号解析

確率過程
- 確率に基づいて変数が時間的に変化する過程。
確率過程のn次分布関数
- $F\left(\{x_i\}_{i=1}^{n};\{t_i\}_{i=1}^{n}\right) = P[\{X_{i}(t_i) \leq x_i \}_{i=1}^{n}]$
  確率過程をn個考え、その $i$ 番目の値が時刻 $t_i$ に $x_i$ 以下である確率。
  確率分布関数は確率密度関数の情報を含む。
  高次の確率分布関数は低次の確率分布関数の情報を含む。
  エルゴードな確率過程では、高次の分布関数は１次の分布関数の累乗になる。

n次密度関数

集合平均
- $\eta(t) = E[x(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x,t)dx$
自己相関関数
- $R(t_1,t_2) = E[x(t_1)x(t_2)]$
自己共分散
相互相関関数
直交
無相関
独立
- 独立 $\Rightarrow$ 無相関

強定常過程
- 確率密度が時間変化しない。
弱定常過程
- 平均が時間変化しない。
- 変化が時間差にのみ依存。

ここに間違えがあったとしても私は責任を負えません．
責任はtzikにあります．
誤植は見つけた人が直すものです．

問題1 用語説明
- $\delta$ 関数
  任意のテスト関数 $\phi$ に対し $\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)\delta(t)=\phi(0)$ が成立するような関数．
- エルゴード性
  定常的な確率過程において，集合平均が時間平均に等しいこと．
- 確率密度関数の特性関数
  確率密度関数を逆フーリエ変換したものを $2\pi$ 倍したもの．
- 最小位相関数
  Laplace変換したものが右半平面に極も零点も有さないような関数．
- カルマンフィルタ
  離散的な誤差のある観測から、時々刻々と時間変化する量を推定するためのフィルタ

問題2
- $\int_0^{\infty}\sin wt dw$ を求めよ．
  
  $\begin{align}\int_0^{\infty}\sin wt dw&=\left[\frac{-\cos wt}{w}\right]_0^{\infty}\\ &=\frac{1}{t}\end{align}$
- $H(w)=\begin{cases}-j&(w>0)\\ 0& (w=0)\\ j &(w<0)\end{cases}$ の逆Fourier変換を求めよ．
  
  $\begin{align}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}H(w)e^{jwt}dw&=\frac{1}{2\pi}\left(\int_0^{\infty}-je^{jwt}dw+\int_{-\infty}^{0}je^{jwt}dw\right)\\&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}2\sin wt dw\\&=\frac{1}{\pi t}\end{align}$
- $f*h$ で定義される変換はHilbert変換と呼ぶか？また，実信号 $f(t)$ に対し，
  $z(t)=f(t)+j\tilde{f}(t)$
  で定義される複素信号 $z(t)$ の性質を述べよ．
  $z(t)$ は解析信号と呼ばれ， $\mathcal{F}[z(t)]=2F(w)U(w)$ が成り立つ．

問題3 $x(t)$ を実数値をとる定常過程とし， $x(t)$ の自己相関関数を $R_{xx}(\tau)$ と表すとき，以下の問いに答えよ．
- $\forall \tau, |R_{xx}(\tau)|\le R_{xx}(0)$ ？
  $E[(x(t+\tau)\pm x(t))^2\ge 0$ より $E[(x(t+\tau))^2]\pm 2E[x(t+\tau)x(t)]+E[(x(t))^2]\ge 0$ なので， $|R_{xx}(\tau)|\le R_{xx}(0)$
- $x(t)$ のパワースペクトル $S(w)$ を，有限の観測時間 $[-T,T]$ から推定するための式は？
  
  $\mathcal{F}[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t-\tau)x^*(t)dt]$
- $R_{xx}(\tau)=\begin{cases}1&(|\tau|\le 1)\\ 0 &(|\tau|>1)\end{cases}$ となるような定常過程って何？
  ない
  なぜならば，フーリエ変換するとsinc関数が出てくるが，これはパワースペクトルの非負性に矛盾．

問題4 信号 $s(t)$ に雑音 $n(t)$ が重畳した $x(t)=s(t)+n(t)$ が観測信号として得られるものとする．ただし， $s(t), n(t)\in \mathbb{R}$ で，互いに無相関な定常過程であり，それぞれのパワースペクトルは，
$S_{ss}(w)=\frac{A^2}{w^2+w_0^2}, S_{nn}(w)=N^2$
であるものとする．いま，観測信号に対する線形フィルタリング
$\hat{s}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)h(\tau)d\tau$
により $s(t)$ の推定値 $\hat{s}(t)$ を得る時，誤差の二乗平均 $J=E[(s(t)-\hat{s}(t))^2]$ を最小とするような線形フィルタ $h(t)$ をWiener Filterと呼ぶ．
- $J$ を最小とする $\hat{s}(t)$ は
  $E[(s(t)-\hat{s}(t))x(t-\tau)]=0$
  を満たす（直交原理）を用いて，
  $R_{sx}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}(t-\tau)h(\tau)d\tau$
  を導け．
  $\begin{align}R_{xx}(t)&=E[s(\tau)x(\tau-t)]\\&=E[\hat{s}(\tau)x(\tau-t)]\\&=E[x(\tau-t)\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau-\tau ')h(t)d\tau ']\\&=\int_{-\infty}^{\infty}E[x(\tau-t)x(\tau-\tau ')]h(\tau ')d\tau '\\&=\int_{-\infty}^{\infty} R_{xx}(t-\tau ')h(\tau ')d\tau '\\&=\int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}(t-\tau)h(\tau)d\tau\end{align*}$
- $h(t)$ の周波数応答は？
  
  $R_{xx}=E[(s+n)^2]=R_{ss}+R_{nn}$
  
  $R_{sx}=E[s(s+n)]=R_{ss}$
  
  $S_{sx}(w)=S_{xx}(t)\cdot \mathcal{F}[h(t)]$
  より，
  $\begin{align}\mathcal{F}[h(t)]&=\frac{S_{sx}(w)}{S_{xx}(w)}\\&=\frac{A^2}{A^2+N^2(w^2+w_0^2)}\end{align}$