変形体の力学のバックアップ(No.4) - PukiWiki

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- 1 (2007-10-26 (金) 09:58:16)
- 2 (2007-10-26 (金) 10:00:10)
- 3 (2007-11-16 (金) 10:00:38)
- 4 (2008-02-03 (日) 23:11:28)

講義日程-2007年度冬学期

講義 http://hagi.k.u-tokyo.ac.jp/~mio/note/dmm/501070.html

11月23日休講 11月30日演習（平方根の計算ができる電卓を持参すること）

フックの法則
- $t_{ij} = C_{ijkl}S_{k,l}$
- 等方的な弾性体については $C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il} \delta_{jk})$
  $t_{ij} = \lambda \delta_{ij}\partial_k u_k + 2\mu S_{ij}$
等方弾性体の変形の方程式
- つりあいの式 $\frac{Du}{dt} = 0$
  $S_{ij} = \frac{1}{2}(\partial_j u_i + \partial_i u_j)$
  $k_i + \partial_j t_{ij} = 0$
- $\partial_j t_{ij} = (\lambda + \mu)\partial_i \partial_j u_j + \mu \Delta u_i$

境界条件
- 方程式の解を決めるには境界条件が必要。
- 固定端条件：表面に垂直な成分が０。 $u_i n_i = 0$ ;
- 自由端条件：表面に垂直な応力が０。 $t_{ij} n_j = 0$ ;
- 一定の外力を与える。： $t_{ij}n_j = F_i$

弾性変形のエネルギー
- 変分をとると応力がでてくるようにエネルギーの表式を作る。
  歪みに対して線形な応力を考えているので、エネルギーは歪みに対する二次形式。
  応力 $\partial_j t_{ij}$ が働いている物体を $\delta u$ だけ変形させるのに必要な力は、 $\delta u_i \partial_j t_{ij}$
  物体全体に渡って積分すると、 $\delta W = \int \delta u_i \partial_j t_{ij}dV$
  $\delta W = \int \delta u_i t_{ij}dS_j + \int t_{ij} \partial_j \delta u_i dV$
  表面項を落として、内部でのエネルギーを取り出せば、
  $\delta W = \int t_{ij} \delta S_{ij} dV = \int C_{ijkl}S_{ij}S_{kl}dV$
  $\epsilon_{el} = \frac{1}{2}C_{ijkl}S_{ij}S_{kl}$