幾何数理工学のバックアップ(No.4)

講義日程-2007年度冬学期

幾何数理工学 †

担当：増田直紀講師
1.5単位
- 数理：限定選択A
8:30-10:00 工学部六号館 62講義室
レポート1～2回、中間試験、期末試験

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内容 †

幾何学(Geometry)~~様々な図形を一定の視点の下で眺め、これらの図形の性質を研究。~~一定の視点とは、何らかの変換。図形の性質とは、その変換で不変な性質。
- 位相幾何学(Topology)：位相同型変換によって不変な位相空間の性質を扱う。
- テンソルの幾何学：座標変換（C^∞級同型）によって不変な多様体の性質？

トポロジー
- ユークリッド幾何学(Euclidean Geometry)~~合同変換(Congrument Transformation)によって不変な図形の幾何学。~~合同変換：二点間の距離を変えない変換。(平行移動・回転・鏡映とその合成)~~長さ・角度・面積などが不変量。
- 位相幾何学(Topological Geometry)~~位相同型写像で~~位相同型写像：連続な全単射で逆写像も同型なもの。~~長さ・角度・面積などは変化する。~~図形のつながり方が不変。図形に空いた穴や図形のねじれ、境界の開・閉。~~伸縮させて同じ形にできる図形は同じものとみなす。~~コーヒーカップとドーナツは位相同型。

距離空間(Metric Space)：距離関数の備わった集合。
- 距離関数：三角不等式を満たす、非負で対称な二変数関数で、密着でないもの。
- 距離空間X,Yについて、~~ {a[n]}_{n∈N}~~lim[x→∞]a[n]=a~~⇔(∀ε＞0.∃n∈N.∀m＞n⇒d(a[m],a)＜ε)で極限を定義し、~~f:X→Yについて、Xの任意の収束列{x[n]}について~~lim[n→∞]f(x[n])=f(lim[n→∞]x[n])ならばfは連続と定義する。~~∀ε＞0.∃δ＞0. ∀x,y∈X. d(x,y)＜δ⇒d(f(x),f(y))＜ε~~∀x∈X.∀ε＞0.∃δ＞0. f(N(x,δ))⊂N(f(x),ε)~~も同値。
- 連続でない写像で図形を変換すると、片方の空間で収束するものがもう片方では収束しない場合がある。~~図形が破れている。
- 単射でない写像を使うと、異なる二点を同じ点に移すので、図形を張り合わせてしまっている。
- 逆写像が連続でない全単射では、境界の開の部分と閉の部分を張り合わせる場合が残っている。

位相空間(Topological Space)：位相の備わった集合。距離空間の一般化。
- 位相：連続写像や極限を定義するための仕組み。
  - 開集合系：有限積と加算和について閉じた集合族。~~この集合族に属する集合を「開集合」とみなし、開集合の逆像が開集合になるような写像が連続写像。
  - 閉集合系：有限和と加算積について閉じた集合族。~~開集合系と同様に位相を定める。
  - 近傍系：
  - 閉包作用素：部分集合から部分集合への写像で、空を空に移し、合併とついて分配でき、冪等で拡大なもの。
- 位相同型写像：連続な全単射で逆写像も連続なもの。~~「切り取らず」(連続)~~貼り付けず（単射）、変形を許す写像（全射）。

距離空間の位相
- 距離空間X中の部分集合Aの点xについて、~~Xに含まれるx周りの開球が存在すれば、xはAの内点。~~存在しなければxはAの外点。~~Aの外点全体を∂Aと書き、∂AをAの境界と呼ぶ。~~(多様体の境界とは別物。)
- 開集合・閉集合の定義、その１
  - 境界と交わりの無い集合が開集合。
  - 境界を含む集合が閉集合。
  - 開集合の補集合は閉集合。~~閉集合の補集合は開集合。~~空間と全体は開かつ閉な集合。~~開でも閉でも無い集合もある。
- 開集合・閉集合の定義、その２~~距離空間Xの部分集合Aについて
  - A中の任意の点について、その点まわりの開球が存在すれば、Aは開集合。
  - Aの補集合が開集合ならAは閉集合。
  - この二種類の定義は同値だが、後者の方が位相空間に一般化しやすい。
- この開集合・閉集合の定義は距離に依存する。~~例えば離散距離を入れれば任意のの部分集合は開かつ閉になる。

連続写像
- 距離空間X,Yとf:X→Yについて、次の3つは同値
  - fが連続(⇔∀x∈X.∀U∈N(f(x))).∃V∈N(x). s.t. f(V)⊂U)
  - Yの任意の開集合の逆像はXの開集合。~~連続写像は開写像とは限らない。開を開へ移すとは限らない。
  - Yの任意の閉集合の逆像はXの閉集合。
- 開集合・閉集合を距離に依存しない形で定義してやれば、~~距離に依存せずに写像の連続性を定義できる。
- 「f:X→Yが位相同型写像」⇔「fは全単射で連続な開写像」

開集合の公理
- 距離空間Xの開集合全体をOとすると、Oは以下の開集合の公理を満たす。
  - φ∈O, X∈O
  - U,V∈O ⇒ U∩V∈O ~~(二つについて言えば再帰的に有限個について言った事になる)~~∀x∈U∩V⇒∃α＞0.∃β＞0.N(x,α)⊂U∧N(x,β)⊂V⇒N(x,min(α,β))⊂U∩V
  - {O[i]}_(i∈I). O[i]∈O. について、∪[i∈I]O[i] ∈ O~~(Iの濃度については言及していない。任意の濃度でよい)~~∀x∈∪[i∈I]O[i].∃i∈I.x∈O[i]⇒∃ε＞0.N(x,ε)⊂O[i]⊂∪[i∈I]O[i]

閉集合の公理
- 距離空間Xの閉集合全体をFとすると、Fは以下の閉集合の公理を満たす。
  - φ∈F, X∈F
  - U,V∈F ⇒ U∪V∈F
  - {O[i]}_(i∈I). O[i]∈O. について、∩[i∈I]O[i] ∈ O

補)集合論から
- 任意の集合Aについて、その部分集合全体は集合を成すと見なし、それを2^Aと表す。(冪集合の公理)
- 集合A,Bについて、AからBへの写像全体は集合を成し、B^Aと書く。~~2={0,1}と見ると、冪集合2^AはAから2への写像全体と同型。

位相空間~~必ずしも距離の入っていない集合について、開集合の公理を満たすように人工的に開集合を指定する。
- 開集合による位相
  - 集合Xについて、開集合の公理を満たすXの部分集合族Tを、開集合系によるXの位相と呼び、位相を伴った集合(X,T)を位相空間と呼ぶ。~~毎回ペアで書くのは面倒なので、どの位相を入れているか明らかなときにはTは省略されることが多い。~~Tは一意には定まらない。位相の入れ方は複数考えられる。~~位相には包含関係による順序づけができる。~~開集合系による位相の定義以外にも閉集合系・近傍系・閉包作用素・開核作用素などでも位相を定義できる。~~どれが一つで定義すればそこからほかのも定義できる。
  - 位相空間(X,T)について、開集合系に含まれる集合を開集合。開集合の補集合を閉集合と呼ぶ。
  - 最も弱い位相として密着位相{φ,X},最も強い位相として離散位相2^Xがある。

連続写像
- 位相空間 X,Y 間の写像 f:X→Y について、~~fが連続であるとは、Yの任意の開集合の逆像がXの開集合であること。
- fが開写像であるとは、任意のXの開集合の像がYの開集合であること。

位相同型写像
- 位相空間の間の連続で全単射な開写像を位相同型写像・同相写像であるという。
- 二つの位相空間の間に位相同型写像が存在するとき、その位相空間は互いに同相であるという。

近傍系
- 位相空間X上の点xについて、xを含む開集合を開近傍。xの開近傍を含む集合を近傍と呼び、その全体をN(x)と表す。
- 「xを内点のとして含む集合」や「開核がxを含む集合」としても同値。
- AがXの開集合であることと、A上の任意の点についてAに含まれる近傍が存在することは同値。
- AがXの閉集合であることと、A^C上の任意の点についてAと交わらない近傍が存在することは同値。
- 位相空間X,Yについて、f:X→YがX上の点xにおいて連続であるとは、Yにおけるf(x)の任意の近傍Vについて、f(U)⊂Vとなるxの近傍Uが存在すること。~~fがX上の任意の点で連続ならば、fはX全体で連続。

距離空間と位相空間
- 距離空間は距離に伴う通常の開集合系を使って位相を定められる。~~特に(R^n,d_2)の位相をEuclid位相と呼ぶ。

11/1は休講

連結性
- 開かつ閉な集合が全体と空集合以外になければ連結。
- 空でない互いに疎な開集合で全空間を分割できるなら不連結。
コンパクト性
- ある集合族で集合を覆えるとき、その集合族を被覆という。
- 被覆に含まれる集合が全部開集合なら開被覆という。
- 開被覆の要素の数が有限なら有限開被覆という。
- 要素数を指定しない任意の開被覆から、有限開被覆を選び出せるとき、その集合はコンパクトだという。
- ユークリッド空間については、コンパクトであることと有界閉集合であることは同値。

直和分割
- 全空間を互いに疎な集合族に分割すること。
- 同値関係で同値類を作ると、同値類全部を集めたものは直和分割。
  同値類による分割を分類と呼び、同値類全体の集合を商集合と呼ぶ。
  集合の要素から、その要素が属する同値類への写像を標準全射と呼ぶ。
  - 標準全射は全射。同値関係の別表現ともとれる。

路，道，弧，パス
- 位相空間 $X$ と任意の２点 $p,q \in X$ に対して、
  連続写像 $f:[0,1]\to X$ で $f(0)=p \wedge f(1)=q$ となるものをpからqへの路という。
弧状連結
- 空間上の任意の２点について、それらを結ぶ路が存在すること。
- 弧状連結ならば連結。

路の変形，ホモトープ，ホモトピー
- 位相空間 $X$ 上の２点 $p,q$ と
  それらを結ぶ２つの路 $f,g : [0,1]\to X$ について、
  「 $f$ が $g$ に変形できる」とは、
  連続写像 $F:[0,1]\times [0,1] \to X$ で、
  $F(t,0) = f(t)\wedge F(t,1) = g(t)$ が存在するとき、
  fはgに変形できる、と言い、Fはfからgへのホモトピーと呼び、
  fとgは互いにホモトープと言う。
  ホモトープであることは同値関係。
  （空間上の２点を固定して）空間上の曲線をホモトープによる同値関係で分類できる。

ホモトープによる同値類の数は位相不変量（同相写像によって変わらない性質。）
この商集合は有限集合になるとは限らず、扱いが難しい。
商集合に適当な演算を定義して群を作り、代数的な構造から元の空間の性質を調べる。

基本群
- 位相空間X上に基点pを決めたとき、基本群 $\pi(X,p)$ は
  pを通る連続閉曲線をホモトープによる同値関係で割ったもの。

レポート、11/22の講義終了時まで。

単体
位相空間上のm単体は、空間上の $m+1$ 点を相互に交わらない曲線で結んだもの。
単体の辺は、m単体を構成する点から、任意にm個点を選んで作られた(m-1)単体。
点・線分・三角形・正四面体など、図形を構成するための基本図形。

複体
有限個の単体の集合 $K$ が複体であるとは、
$K$ に含まれる任意の単体の任意の辺が $K$ に含まれ、
$K$ に含まれる任意の２つの単体の共通部分は、空であるか $K$ にふくまれること。
異なる複数の複体が同一の図形を表すこともある。
図形を単体に分割する方法は一つには決まらない。

単体写像
複体Kから複体Lへの写像で、Kに含まれる単体を
Lに含まれる単体に移す写像を単体写像と呼ぶ。
特に全単射な単体写像を単体同型写像と呼び、
単体同型写像が存在する２つの複体は、単体同型であるという。
単体同型な複体が表す多面体は、互いに位相同型になる。

細分
多面体として等しい２つの複体 $K,K'$ で、
$\forall \Delta' \in K'$ に対して $\Delta' \subset \Delta \in K$ となるとき、
$K'$ は $K$ の細分であるという。

組み合わせ同型
２つの複体に、それぞれの細分に単体同型となるものがあれば
その２つの単体は組み合わせ同型と呼ばれる。

記法
- 位相同型、 $\approx$ 、位相空間同士に連続で開写像な全単射がある。
- 同値、 $\sim$ 、反射律・対称律・推移律を満たす２項関係。
- ホモトープ同値、 $\simeq$ 、位相空間上の曲線が連続的に移り変われること。
- 群の同型、 $\cong$ 、群同士に群演算と両立する全単射があること。
- 単体同型、 $\cong$ 、複体同士に構造を保つ全単射があること。
- 組み合わせ同型、 $\approx$ 、複体同士が、単体同型な細分を持つこと。
- 組み合わせ的にホモトープ、 $\sim$ 、折れ線同士が初等変形で移り変われる。

基本群を定義から直接求めて、同型かどうかを調べるのは難しい、
位相空間に複体構造を入れて、折れ線群を定義できると、計算が容易になる。

複体上の折れ線
複体上の１単体を連ねたものを、複体上の折れ線と呼ぶ。

折れ線の積
複体 $K$ 上の２つの折れ線 $\Gamma = l\{p_{0}p_{1}\cdots p_{r}\}$
$\Gamma' = l\{p'_{0}p'_{1}\cdots p'_{r}\}$ で、
$\Gamma$ の終点 $p_r$ と $\Gamma'$ の始点 $p'_0$ が一致するとき、
２つの折れ線に積が定義でき、 $\Gamma \Gamma' = l\{p_{0}p_{1}\cdots p_{r}p_{1}p_{2}\cdots p_{r'}\}$
と折れ線を繋いだものを積とする。

折れ線の初等変形
以下の操作とその逆を折れ線の初等変形という。
- 同じ点が２つ続いたら、１つを除くこと。
  $\Gamma = l\{p_{0}p_{1}\cdots p_{i}p_{i+1}p_{i+2} \cdots p_{r}\}$
  $p_i = p_{i+1}$
  $\Gamma = l\{p_{0}p_{1}\cdots p_{i}p_{i+2} \cdots p_{r}\}$
- 同じ点に挟まれた点を除くこと、
  $\Gamma = l\{p_{0}p_{1}\cdots p_{i}p_{i+1}p_{i+2} \cdots p_{r}\}$
  $p_{i} = p_{i+2}$
  $\Gamma = l\{p_{0}p_{1}\cdots p_{i}p_{i+2} \cdots p_{r}\}$
- 連続する３つの点からなる単体がもとの複体に含まれるとき、
  中間の点を除くこと。
  $\Gamma = l\{p_{0}p_{1}\cdots p_{i}p_{i+1}p_{i+2} \cdots p_{r}\}$
  $\{p_{i}p_{i+1}p_{i+2} \in K$
  $\Gamma = l\{p_{0}p_{1}\cdots p_{i}p_{i+2} \cdots p_{r}\}$

組み合わせ的にホモトープ、折れ線同値
始点と終点が一致する二つの折れ線が、初等変形で移り変われるとき、
その２つの折れ線は組み合わせ的にホモトープという。

折れ線群
複体上に基点を１つ選び、その点を通る閉折れ線を
組み合わせホモトピーの同値関係で割ったものは
折れ線の連結について群になり、それを複体上の折れ線群と呼ぶ。
複体の折れ線群と、複体が構成する多面体の基本群は群として同型。

ホモロジー
閉曲線による切断に注目する。
例えばトーラスをループで切断するとき、
トーラスを二つの部分に分割するループと
分割しないループがある。
球面上でなら、どのループで切断しても二つの部分に分かれる。

単体の向き
多角形として同じ単体が同じ向きであるとは、単体をなす点の列が互いに偶置換で移り変われること。
逆向きであるとは、奇置換で移り変われること。

複体の鎖群と境界凖同型
幾何数理工学演習のページを参照。

凖同型定理
２つの群の間の凖同型写像 $f:G \to G'$ について、
$G / \mathrm{Ker}(f) \simeq \mathrm{Im}(f)$

ホモロジー群
- 複体 $K$ の $m$ 次元サイクル： $Z_{m}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_m)$
- 複体 $K$ の $m$ 次元境界サイクル： $B_{m}(K) = \mathrm{Im}(\partial_{m+1})$
- $Z$ は切断を表す $C$ の部分群。
  $B$ は図形を分ける切断を表す $C$ の部分群。
  $Z-B$ が図形を分けない切断を表している。
  境界サイクル分の違いを無視して、
  ホモロジー群 $H_{m}(K) = Z_{m}(K)/B_{m}(K)$ を作れば複体の穴の状態を反映した群ができあがる。

ホモローグ
２つの $m$ 次元サイクル $c,c' \in Z_{m}(K)$ がホモローグであるとは、
$c-c' \in B_{m}(K)$ であること。
ホモローグは同値関係。ホモローグによる同値類はホモロジー類と呼ばれる。

来週は中間テスト。持ち込み可。折れ線まで。印刷物は５０枚まで。

幾何数理工学 のバックアップ(No.4)

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