幾何数理工学演習のバックアップ(No.4) - PukiWiki

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幾何数理工学演習へ行く。
- 1 (2007-10-29 (月) 13:05:42)
- 2 (2007-10-29 (月) 13:58:42)
- 3 (2007-11-05 (月) 13:58:48)
- 4 (2007-11-22 (木) 14:36:27)
- 5 (2007-12-04 (火) 01:28:15)
- 6 (2007-12-10 (月) 14:15:09)
- 7 (2007-12-17 (月) 13:57:50)
- 8 (2008-01-24 (木) 14:15:32)

担当：谷口(やぐち)さん

yaguchi@mist.i.(東大ドメイン) ６号館３５６号室

演習はテスト形式。レポート用紙は持参してください。
序盤60分は前回分の解説や講義の補足。
中盤90分は問題演習。
終盤30分はポイントの解説。
途中に適宜休憩。
- レポート用紙はA4。
- なるべく大きい文字で、読める字で。消しゴム使って。
- ノート,プリントは持ち込み可。参考書は不可。ノートパソコンはノート？
- 友達との相談は可。むしろ推奨。ただし相談相手の名前を書いておくこと。
- 飲食物持ち込み可。軽いものなら。
  - ~~カフェイン、カフェイン、カフェイン~~
成績は算法数理工学演習と一緒に。
- 出席点(ほぼこれ)
- テスト点(相対評価)
- レポート点
  - 各回の重要な問題が解けなかったときは、次回までに。
  - 冬休みの宿題(任意)

位相幾何
- 距離空間
- 位相空間
- ホモトピー,ホモロジー
テンソル解析

位相幾何
連続的変形で不変な性質についての幾何学
- エルランゲン・プログラム
  クライン「幾何学とは、特定の変換で不変な性質を研究することだ。」
- 位相同型写像
  連続な全単射で、逆写像も連続。
  必ずしも距離の入っていない空間で、「連続」を定義する。

距離空間
- ある集合上の、非負,対称で,密着でなく、三角不等式を満たす２変数関数を距離と呼ぶ。
  距離の備わった集合を距離空間と呼ぶ。
  「関数」は $\mathbb{R}$ への写像。
  - 同値な別の定義もある。（問）
  - 距離は有限であることは必要。（問）
  - 距離は一意に定まるとは限らない。同値でない別な定義もある。
- 近傍
  距離空間 $X$ 上の点 $x\in X$ に対して、
  $N(x,\varepsilon) = \{ y \in X | d(x,y)\leq \varepsilon \}$
  を $x$ の $\varepsilon$ 近傍と呼ぶ。
- 距離空間における連続性
  距離空間 $X,Y$ について、写像 $f:X\to Y$ が $x_0 \in X$ で連続であるとは、
  $\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0. f(N(x,\delta)) \subset N(f(x_0),\varepsilon)$ となること。
- 距離がうまく定義できない空間について、連続写像や極限を扱いたいときには、
  なんとかして位相から連続写像や極限を使う。
  - 内積→ノルム→距離→位相
  - セミノルム系→位相

位相空間
- 位相同型,連続
- コンパクト性,連結性
- 弧状連結
- ハウスドルフ空間
- 群論の復習

弧状連結
- 位相空間における連結とは、空でない互いに疎な開集合では全空間を分割できないこと。
  互いに疎な開集合で全空間を分割したときに、必ず片方が空で片方が全空間になること。
- 弧状連結とは、空間中の任意の２点について、それらを繋ぐ連続曲線が存在すること。
  弧状連結なら連結。連結でも弧状連結とは限らない。
  - $x,y\in X$ を繋ぐ連続曲線とは、 $f:[0,1]\to X$ で $f(0)=x,f(1)=y$ を満たす連続写像。
ハウスドルフ空間
- 空間上の任意の２点を、互いに疎な開集合で分離できる空間。
  一点集合が閉集合になることと同値。
  ハウスドルフ空間では、数列の収束先が高々一つに定まる。
  複数の収束先を持つ数列を排除できる。

解説
- 位相空間での連続性を示すときにεδや点列で示すのはダメ。
- コンパクト性の証明のときには、

レポート
問４、(2)が5点以下の人。

ホモトピー
ホモロジー
- ホモトピーは計算がとても大変。
  システマティックな計算法がない。
  群の構造も複雑。
- ホモロジー群ならシステマティックな計算ができる。コンピュータでできるくらい。
  群の構造もホモトピー群に比べて単純。有限生成な自由加群。
  でもわかりにくい。
- 直感的には、
  ループで図形を切断したときに、破片がどうなるかに着目。
  ループの中身が詰まっていて、連続的に一点に縮むようなループと、
  中身が「穴」で、中身がないループの場合がある。
  中身が詰まっているループは、閉領域の「境界」になっているが、
  中身のないループはそうではない。
  複体の図形に、直感的に違和感の無いように境界を定義しよう！
  単体の各辺を境界にすると、複体に拡張したときに、
  内部の辺が２重の境界になって現れてしまう。
  うまく定義するためには、
  - $\mathbb{Z}_2$ 上で考え、２重になった辺を排除
    →トーラスとクラインの壷を区別できない。図形の向き付け可能性を検出できない。
  - 複体を構成する単体に向きをつけるとうまくいく。

複体 $K$ の $m$ 次元鎖群 $C_{m}(K)$
$K$ に含まれる $m$ 単体に $\mathbb{Z}$ を係数につけて
形式的に足したものからなる群。
$m$ 単体 $\Delta$ の境界、 $\partial \Delta$ は、
$\Delta = \langle p_{0}p_{1}\cdots p_{m} \rangle$
$\partial \Delta = \sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}\langle p_{0}p_{1}\cdots p_{i-1}p_{i+1}\cdots p_{m} \rangle$ で定義する。
単体に含まれる辺に、符号をつけて足し合わせたもの。
単体鎖の境界は、含まれる各単体の境界を、その係数を重みとして足し合わせたもの。
$\partial$ は境界作用素，境界準同型と呼ばれる。
複体 $K$ に $m$ 次元輪体群
$Z_{m}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_m)$ 、( $\partial_m$ は $\partial$ の定義域をm単体に限ったもの。)
$K$ のm次元境界輪体群
$B_{m}(K) = \mathrm{Im}(\partial_{m+1})$
$B_{m}(K)\subset Z_{m}(K)$ が成立。
$H_{m}(K) = Z_{m}(K) / B_{m}$ を調べると、図形の「穴」の状態がわかる。
これを $K$ の $m$ 次元ホモロジー群と呼ぶ。

cf)多様体上の微分形式 $\omega$ と、外微分作用素も同じ関係を持つ。

例)
$K = \{|p_0|,|p_1|,|p_2|,|p_{0}p_{1}|,|p_{1}p_{2}|,|p_{2}p_{0}|\}$ について、
$C_{0}(K) = \mathbb{Z}[\langle p_0 \rangle,\langle p_1 \rangle,\langle p_2 \rangle]$
$C_{1}(K) = \mathbb{Z}[\langle p_{0}p_{1} \rangle,\langle p_{1}p_{2} \rangle,\langle p_{2}p_{0} \rangle]$
$Z_{0}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_0) = C_{0}(K)$
$Z_{1}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_1) = \mathbb{Z}[\langle p_{0}p_{1} \rangle + \langle p_{1}p_{2} \rangle + c \langle p_{2}p_{0} \rangle]$
$B_{0}(K) = \mathrm{Im}(\partial_1) = \{a\langle p_0 \rangle + b\langle p_1 \rangle + c \langle p_2 \rangle | a,b,c \in \mathbb{Z} \}$
$B_{1}(K) = \mathrm{Im}(\partial_2) = \{0\}$
$H_{0}(K) = Z_{0} / B_{0} = \mathbb{Z}[\langle p_2 \rangle ]$
$H_{1}(K) = Z_{1} / B_{1} = Z_{1}(K)$