院試過去問 2002年度専門科目システムのバックアップ(No.4) - PukiWiki

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院試勉強会

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml

ノート院試過去問 2002年度専門科目システム

院試過去問 2002年度専門科目システム †

第1問 †

(1)
仮想接地の原理から
$V_{in1}=\frac{R}{R+R_f}V_{out1}$
対称性より $V_{in[2,3]},V_{out[2,3]}$ についても同様。

(2)
図(c)の左端の節点の電位をとする。
この時、 $V_{in1}=\frac{RV_{out1}+R_fV_0}{R+R_f}$ より、 $\frac{R+R_f}{R_f}V_{in1}-\frac{R}{R_f}V_{out1}=V_0$
対称性よりについても同様であるので
$\therefore \frac{R+R_f}{R_f}V_{in1}-\frac{R}{R_f}V_{out1} = \frac{R+R_f}{R_f}V_{in2}-\frac{R}{R_f}V_{out2} = \frac{R+R_f}{R_f}V_{in3}-\frac{R}{R_f}V_{out3}$
ここで、の節点に関するキルヒホッフの電流則より
$\frac{1}{R}\left(V_{in1} - V_0 + V_{in2} - V_0 + V_{in3}- V_0\right)=0$
$\therefore V_0=\frac{V_{in1}+ V_{in2}+ V_{in3}}{3}$
よって、 $V_{in1}+ V_{in2}+ V_{in3}=0$ の時は、 $V_{in[1,2,3]}$ と $V_{out[1,2,3]}$ の関係は(1)と同じになる。

(3)
の間の抵抗に流れる電流を $i_{12}$ と置き、同様に $i_{23},i_{31}$ を置く。
この時、
$\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} i_{12}=\frac{V_{in1}-V_{in2}}{R}\\ i_{23}=\frac{V_{in2}-V_{in3}}{R}\\ i_{31}=\frac{V_{in3}-V_{in1}}{R}\\ \end{array} \right.\end{equation*}$
は容易にわかる。この時 $V_{out1}=V_{in1} +R_f(i_{31}-i_{12})$ であるので、
$\therefore V_{out1}=V_{in1} +\frac{R_f}{R}\left(-2V_{in1}+V_{in2}+V_{in3}\right)$
対称性より $V_{in[2,3]},V_{out[2,3]}$ についても同様にして
$\therefore V_{out2}=V_{in2} +\frac{R_f}{R}\left(V_{in1}-2V_{in2}+V_{in3}\right)$
$\therefore V_{out3}=V_{in3} +\frac{R_f}{R}\left(V_{in1}+V_{in2}-2V_{in3}\right)$

(4)
(3)より

よって
- の場合
  - $V_{in2}>V_{in1}$ ならば、が点灯
  - $V_{in3}>V_{in2}$ ならば、が点灯
  - $V_{in1}>V_{in3}$ ならば、が点灯
- の場合
  - $V_{in2}<V_{in1}$ ならば、が点灯
  - $V_{in3}<V_{in2}$ ならば、が点灯
  - $V_{in1}<V_{in3}$ ならば、が点灯

この問題についてノートでクダ巻いてます

第2問 †

4年夏のシステム演習(嵯峨山先生担当回)でよく似た問題をやってるはずなので、持ってる人はそっち参照。
文責の人は途中式の板書を写してなくて涙目でした。

(1)
自己相関関数の定義 $R(\tau)=\sum_{t=-\infty}^{infty}X(t)X(t-\tau)$ から、
与えられた信号について自己相関関数をとると
$R_1(\tau)=\left\{ \begin{array}{ll} R(\tau) & (\tau=2n)\\ -R(\tau) & (\tau=2n+1)\\ \end{array}\right.$
より
$R_1(\tau)=R(\tau)\cos(\pi \tau)$ と表せます。
これをFourier変換して、 $(0\leq \omega \leq \pi)$ を越えた部分については折り返しが生じるので
$\begin{align*} S_1(\omega)&=S(\omega)*(\frac{\delta(\omega+\pi) + \delta(\omega-\pi)}{2})\\ &= \left\{ \begin{array}{ll} S(\omega - \pi) & (0\leq \omega \leq \pi)\\ S(\omega + \pi) & (-\pi\leq \omega \leq 0)\\ \end{array} \right.\end{align*}$
となります。

(2)
ここでのディジタルフィルタの伝達関数は、と表せるので
$H(z)=z+z^{-1}$
となります。(周波数領域で表して $H(e^{j\omega})=e^{j\omega}+e^{-j\omega}$ の方がわかりやすいか)
パワースペクトルは、 $S(\omega)=|\mathcal{F}[X]|^2$ であるので、
$\begin{align*} S_2(\omega)&=|H(e^{j\omega})|^2S(\omega)\\ &=(4\cos^2(\omega))S(\omega)\\ &=2(1+\cos(2\omega))S(\omega)\end{align*}$

(3)
の自己相関関数 $R_4(\tau)$ について、
$R_4(\tau)=\frac{\cos(\pi\tau)+1}{4}R(\tau)$
が言えます。これをFourie変換してパワースペクトルを得ると
$\begin{align*} S_4(\omega)&=\frac{1}{4}\left(\frac{\delta(\omega + \pi)+\delta(\omega - \pi)}{2}+\delta(\omega)\right) 2 S(2\omega)\\ &=\left(\frac{\delta(\omega-\pi)}{4}+\frac{\delta(\omega)}{2}+\frac{\delta(\omega+\pi)}{4}\right)S(2\omega)\\ \therefore S_4(\omega)&= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}S(2\omega - \pi) & \left(\frac{\pi}{2} \leq \omega \leq \pi\right)\\ \frac{1}{2}S(2\omega) & \left(-\frac{\pi}{2} \leq \omega \leq \frac{\pi}{2}\right)\\ \frac{1}{2}S(2\omega + \pi) & \left(-\pi \leq \omega \leq -\frac{\pi}{2}\right) \end{array} \right.\end{align*}$
とわかる。

(4)
$\begin{align*} S_3(\omega)&=2S_4(\omega)\\ &= \left\{ \begin{array}{ll} S(2\omega - \pi) & \left(\frac{\pi}{2} \leq \omega \leq \pi\right)\\ S(2\omega) & \left(-\frac{\pi}{2} \leq \omega \leq \frac{\pi}{2}\right)\\ S(2\omega + \pi) & \left(-\pi \leq \omega \leq -\frac{\pi}{2}\right) \end{array} \right.\end{align*}$