院試過去問 2005年度専門科目システムのバックアップ(No.4)

院試勉強会
 院試過去問の解答
 ノート院試過去問 2005年度専門科目システム

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml

院試過去問 2005年度専門科目システム †

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第1問 †

(1)
線形補間なので
$h_n=\left\{ \begin{array}{cl} 1 & (n=0)\\ 2/3 & (n\pm 1)\\ 1/3 & (n\pm 2)\\ 0 & (otherwise)\\ \end{array}\right.$
(2)
(1)より
$\begin{align*} H(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_nz^{-n}\\ &=\frac{1}{3}(z^{-2}+z^2)+\frac{2}{3}(z^{-1}+z) + 1\end{align*}$

(3)
$H(e^{j\omega})=\frac{2}{3}\cos 2\omega + \frac{4}{3}\cos\omega +1$
は、(2)で図示してあれば $\omega=\pm\frac{2\pi}{3}$ で最小値 $H(e^{\pm j\frac{2\pi}{3}})=0$ をとることが容易にわかる。

(4)
誰かお願い

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第2問 †

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(1) †

もう分かるよね？
$\frac{V_o}{V_i} = -j\omega RC$
これは微分回路である。

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(2) †

$\frac{V_o}{V_i} = -\frac{1}{j\omega RC}$
これは積分回路である。

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(3) †

入力とコンデンサの間へ抵抗を挟む。
(1)の微分回路では、入力周波数に比例してゲインが増大するが、実際のオペアンプは裸利得以上のゲインを得ることができないので、高周波成分で発振する。
抵抗を入れることによって、高周波成分でのゲインが制限され、発振を起こさなくなるものと考えられる。

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(4) †

地道に計算すると、 $\frac{V_o}{V_i} = - \frac{j\omega R_2 C_1}{(j\omega)^2R_1R_2C_1C_2 + j\omega (R_1C_1 + R_2C_2) + 1}$

$C_1R_1 = C_2R_2 = \frac{1}{\omega_c}$ であるから、
$\frac{V_o}{V_i} = -\frac{R_2}{R_1}\frac{j\Omega}{(j\Omega + 1)^2}$ ただし、 $\frac{\omega}{\omega_c} = \Omega$ と置いた。

これより、低周波数 ( $\omega<<\omega_c$ ? )で微分回路
高周波数 ( $\omega>>\omega_c$ ? )で積分回路
[要出典]

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