院試過去問 2008年度専門科目数理のバックアップ(No.4) - PukiWiki

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院試勉強会

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/admission.shtml
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/pdf/2008suuri-j.pdf

第一問
について、
の張る部分空間をとし、とする。
- (1)を示せ。
  - 自明…
    $\forall v=\sum_{i=0}^{k-1}a_{i}A^{i}b \in W_k$ について、
    $a_k=0$ ととれば、 $v=\sum_{i=0}^{k}a_{i}A^{i}b \in W_{k+1}$
- (2)を示せ。
  - $A^{k}b\in W_k \Rightarrow A^{k+1}b\in W_{k+1}$ を示せばよい。
    $A^{k}b\in W_k$ ならば、ある $\{a_i\}_{i=0}^{k-1}$ について、
    $A^{k}b=\sum_{i=0}^{k-1}a_{i}A^{i}b$ が成立。
    よって $A^{k+1}b=\sum_{i=1}^{k}a_{i-1}A^{i}b \in W_{k+1}$
- (3)を示せ。
  - 自明…？
    $A^{k}b\in W_k$ のとき、 $W_k=W_{k+1}=W_{k+2}$ なので両辺ともに0となり、成立。
    そうでないとき、 $W_{k+1}$ は $W_k$ の基底に $A^{k}b$ を追加したものを基底とする線形空間なので、
    $d_{k+1}-d_{k}=1$ 、右辺も同様に高々1なので、不等式成立。
- (4)任意のに対して、となることを示せ。
  - 帰納法を使う。
    まず、 $W_1(A-\lambda I,b)=W_1(A,b)$ は成立している。
    $W_k(A-\lambda I,b)=W_k(A,b)$ が成立しているなら、
    $A^{k-1}b\in W_{k}(A-\lambda I,b)$
    $(A-\lambda I)A^{k-1}b\in W_{k+1}(A-\lambda I,b)$ なので
    $A^{k}b = (A-\lambda I)A^{k-1}b+\lambda A^{k-1}b \in W_{k+1}(A-\lambda I,b)$ であり、
    ついでに $(A-\lambda I)^{k}b$ は $A^{i}b,\ (i=0,\cdots,k)$ の線形結合で書けるので
    $(A-\lambda I)^{k}b\in W_{k+1}(A-\lambda I,b)$
    よって $W_{k+1}(A-\lambda,b)=W_{k+1}(A,b)$ が成立。
    以上から、帰納的に任意の $k$ について、 $W_{k+1}(A-\lambda,b)=W_{k+1}(A,b)$ が成立。
- (5)について、
  となるためのの必要十分条件を求めよ。
  - (4)を使うと、対角に定数を足す分だけ調整できるので、 $\alpha$ には制限は付かない。
    さらに、一般性を失なうことなく $\alpha=0$ としてよい。
    $\{b,Ab,A^2b\}$ が線型独立ならば $d_3=3$ なので，
    $\begin{align*}|b\ Ab\ A^2b|=\left|\begin{matrix}b_1&b_2&b_3\\b_2&b_3&0\\b_3&0&0\end{matrix}\right|=-b_3^3\end{align*}$ が非ゼロであればよい．よって， $b_3\ne 0$ がとなる必要十分条件．
- (6)について，
  となるためのの必要十分条件を求めよ．
  - (4)より， $A=\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&\beta-\alpha&1\\0&0&0&0&\beta-\alpha\end{pmatrix}$ と変形できる。
    $\det\left(b,Ab,A^{2}b,A^{3}b,A^{4}b\right)\neq 0$ であればよい。
    $\tilde{A}=\begin{pmatrix}\beta-\alpha&1\\0&\beta-\alpha\end{pmatrix},\ \tilde{b}=\tilde{A}^{3}\begin{pmatrix}b_4\\b_5\end{pmatrix}$ と置くと、
    $\det\begin{pmatrix}b_1&b_2&b_3&&\\b_2&b_3&0&&\\b_3&0&0&&\\ *&*&*&\tilde{b}&\tilde{A}\tilde{b}\end{pmatrix}=(\beta-\alpha)^{6}b_{3}^{3}b_{5}^{2}$
    よって、 $b_{3}b_{5}(\alpha-\beta)\neq 0$ が必要十分条件．

第二問
力学系l

について、かつを満たしている。
- 、を示せ。
  を示せ。
  - $\frac{d}{dt}\left(p(t)+q(t)+r(t)\right)=0$ と
    $\frac{d}{dt}\left(p(t)q(t)r(t)\right)=0$ となるので、両方共定数。
    なので、
    $p(t)q(t)r(t)\neq 0$ だから $p,q,r$ はどれも0にはなれない。
    は連続で、初期値は正だから任意の時刻で正。
    また、も成立。
- (2)となるためのの条件を示せ。
  となるためのの条件を示せ。
  - $\dot{p}=p(q-r)=p(2q+p-1)>0 \iff q > \frac{1-p}{2}$
    $\dot{q}=p(q-r)=q(2p+q-1)>0 \iff q < 1-2p$

以後睡眠中