院試過去問 2002年度専門科目システムのバックアップ(No.5) - PukiWiki

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院試勉強会

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml

ノート院試過去問 2002年度専門科目システム

院試過去問 2002年度専門科目システム †

第1問 †

(1)
仮想接地の原理から
$V_{in1}=\frac{R}{R+R_f}V_{out1}$
対称性より $V_{in[2,3]},V_{out[2,3]}$ についても同様。

(2)
図(c)の左端の節点の電位をとする。
この時、 $V_{in1}=\frac{RV_{out1}+R_fV_0}{R+R_f}$ より、 $\frac{R+R_f}{R_f}V_{in1}-\frac{R}{R_f}V_{out1}=V_0$
対称性よりについても同様であるので
$\therefore \frac{R+R_f}{R_f}V_{in1}-\frac{R}{R_f}V_{out1} = \frac{R+R_f}{R_f}V_{in2}-\frac{R}{R_f}V_{out2} = \frac{R+R_f}{R_f}V_{in3}-\frac{R}{R_f}V_{out3}$
ここで、の節点に関するキルヒホッフの電流則より
$\frac{1}{R}\left(V_{in1} - V_0 + V_{in2} - V_0 + V_{in3}- V_0\right)=0$
$\therefore V_0=\frac{V_{in1}+ V_{in2}+ V_{in3}}{3}$
よって、 $V_{in1}+ V_{in2}+ V_{in3}=0$ の時は、 $V_{in[1,2,3]}$ と $V_{out[1,2,3]}$ の関係は(1)と同じになる。

(3)
の間の抵抗に流れる電流を $i_{12}$ と置き、同様に $i_{23},i_{31}$ を置く。
この時、
$\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} i_{12}=\frac{V_{in1}-V_{in2}}{R}\\ i_{23}=\frac{V_{in2}-V_{in3}}{R}\\ i_{31}=\frac{V_{in3}-V_{in1}}{R}\\ \end{array} \right.\end{equation*}$
は容易にわかる。この時 $V_{out1}=V_{in1} +R_f(i_{31}-i_{12})$ であるので、
$\therefore V_{out1}=V_{in1} +\frac{R_f}{R}\left(-2V_{in1}+V_{in2}+V_{in3}\right)$
対称性より $V_{in[2,3]},V_{out[2,3]}$ についても同様にして
$\therefore V_{out2}=V_{in2} +\frac{R_f}{R}\left(V_{in1}-2V_{in2}+V_{in3}\right)$
$\therefore V_{out3}=V_{in3} +\frac{R_f}{R}\left(V_{in1}+V_{in2}-2V_{in3}\right)$

(4)
(3)より

よって
- の場合
  - $V_{in2}>V_{in1}$ ならば、が点灯
  - $V_{in3}>V_{in2}$ ならば、が点灯
  - $V_{in1}>V_{in3}$ ならば、が点灯
- の場合
  - $V_{in2}<V_{in1}$ ならば、が点灯
  - $V_{in3}<V_{in2}$ ならば、が点灯
  - $V_{in1}<V_{in3}$ ならば、が点灯

この問題についてノートでクダ巻いてます

第2問 †

4年夏のシステム演習(嵯峨山先生担当回)でよく似た問題をやってるはずなので、持ってる人はそっち参照。
文責の人は途中式の板書を写してなくて涙目でした。

(1)
自己相関関数の定義 $R(\tau)=\sum_{t=-\infty}^{infty}X(t)X(t-\tau)$ から、
与えられた信号について自己相関関数をとると
$R_1(\tau)=\left\{ \begin{array}{ll} R(\tau) & (\tau=2n)\\ -R(\tau) & (\tau=2n+1)\\ \end{array}\right.$
より
$R_1(\tau)=R(\tau)\cos(\pi \tau)$ と表せます。
これをFourier変換して、 $(0\leq \omega \leq \pi)$ を越えた部分については折り返しが生じるので
$\begin{align*} S_1(\omega)&=S(\omega)*(\frac{\delta(\omega+\pi) + \delta(\omega-\pi)}{2})\\ &= \left\{ \begin{array}{ll} S(\omega - \pi) & (0\leq \omega \leq \pi)\\ S(\omega + \pi) & (-\pi\leq \omega \leq 0)\\ \end{array} \right.\end{align*}$
となります。

(2)
ここでのディジタルフィルタの伝達関数は、と表せるので
$H(z)=z+z^{-1}$
となります。(周波数領域で表して $H(e^{j\omega})=e^{j\omega}+e^{-j\omega}$ の方がわかりやすいか)
パワースペクトルは、 $S(\omega)=|\mathcal{F}[X]|^2$ であるので、
$\begin{align*} S_2(\omega)&=|H(e^{j\omega})|^2S(\omega)\\ &=(4\cos^2(\omega))S(\omega)\\ &=2(1+\cos(2\omega))S(\omega)\end{align*}$

(3)
の自己相関関数 $R_4(\tau)$ について、
$R_4(\tau)=\frac{\cos(\pi\tau)+1}{4}R(\tau)$
が言えます。これをFourie変換してパワースペクトルを得ると
$\begin{align*} S_4(\omega)&=\frac{1}{4}\left(\frac{\delta(\omega + \pi)+\delta(\omega - \pi)}{2}+\delta(\omega)\right) 2 S(2\omega)\\ &=\left(\frac{\delta(\omega-\pi)}{4}+\frac{\delta(\omega)}{2}+\frac{\delta(\omega+\pi)}{4}\right)S(2\omega)\\ \therefore S_4(\omega)&= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}S(2\omega - \pi) & \left(\frac{\pi}{2} \leq \omega \leq \pi\right)\\ \frac{1}{2}S(2\omega) & \left(-\frac{\pi}{2} \leq \omega \leq \frac{\pi}{2}\right)\\ \frac{1}{2}S(2\omega + \pi) & \left(-\pi \leq \omega \leq -\frac{\pi}{2}\right) \end{array} \right.\end{align*}$
とわかる。

(4)
$\begin{align*} S_3(\omega)&=2S_4(\omega)\\ &= \left\{ \begin{array}{ll} S(2\omega - \pi) & \left(\frac{\pi}{2} \leq \omega \leq \pi\right)\\ S(2\omega) & \left(-\frac{\pi}{2} \leq \omega \leq \frac{\pi}{2}\right)\\ S(2\omega + \pi) & \left(-\pi \leq \omega \leq -\frac{\pi}{2}\right) \end{array} \right.\end{align*}$

第3問 †

(1)
動摩擦係数を速度に対する比例係数ととるか角速度に対するものととるかについてちょっと判断がつかないのですが、
ここでは取り合えず重りの速度に対するものとしておきます。
(角速度の場合も、以下の $b\rightarrow \frac{b}{l}$ と置き換えるだけです)
振り子の重りに関する運動方程式より
$Ml\ddot{\theta}=-Mg\sin\theta - bl\dot{\theta}$
よって
$\frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right)=f(\bm{x})= \left( \begin{array}{c} x_2\\-\frac{g}{l}\sin x_1 - \frac{b}{M}x_2 \end{array} \right)$

(2)
$f(\bm{x})=\bm{0}$ より、整数を用いて平衡点は $\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} n\pi \\ 0 \end{array} \right)$ と表される。

$(x_1,x_2)=(2m\pi,0)$ のまわりで線形化(は整数)すると $x_1^{\prime}=x_1-2m\pi$ として
$\frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} x_1^{\prime}\\ x_2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{g}{l} & -\frac{b}{M} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1^{\prime}\\ x_2 \end{array} \right)=A_1 \left( \begin{array}{c} x_1^{\prime}\\ x_2 \end{array} \right)$
$\det(sI-A_1)= \left| \begin{array}{cc} s & -1 \\ \frac{g}{l} & s+\frac{b}{M} \end{array} \right|=s^2+\frac{b}{M}s+\frac{g}{l}$
$\therefore s=-\frac{b}{2M}\pm \sqrt{(\frac{b}{2M})^2-\frac{g}{l}}$
よって固有値の実部が負であるので安定。

$(x_1,x_2)=((2m+1)\pi,0)$ のまわりで線形化(は整数)すると $x_1^{\prime}=x_1-(2m+1)\pi$ として
$\frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} x_1^{\prime}\\ x_2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{g}{l} & -\frac{b}{M} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1^{\prime}\\ x_2 \end{array} \right)=A_1 \left( \begin{array}{c} x_1^{\prime}\\ x_2 \end{array} \right)$
$\det(sI-A_1)= \left| \begin{array}{cc} s & -1 \\ -\frac{g}{l} & s+\frac{b}{M} \end{array} \right|=s^2+\frac{b}{M}s-\frac{g}{l}$
$\therefore s=-\frac{b}{2M}\pm \sqrt{(\frac{b}{2M})^2+\frac{g}{l}}$
よって $Re\left(-\frac{b}{2M} -\sqrt{(\frac{b}{2M})^2+\frac{g}{l}}\right)< 0 <Re\left(-\frac{b}{2M} + \sqrt{(\frac{b}{2M})^2+\frac{g}{l}}\right)$ より不安定。

(3)
図3より
$Y(s)=G(s)U(s)=\frac{1}{s^2+as+b}U(s)$
、より
$E(s)=\frac{s^2+as+b}{s^2+as+b+K_p}R(s)=\frac{s^2+as+b}{s(s^2+as+b+K_p)}$
よってラプラス編間の最終値定理 $e(\infty)=\lim_{t\rightarrow \infty}e(t)=\lim_{s\rightarrow 0}sE(s)$ より
$e(\infty)=\frac{b}{b+K_p}$

(4)
$U(s)=\left(K_p+\frac{K_i}{s}\right)E(s)$ より
$E(s)=\frac{s^3+as^2+bs}{s^3+as^2+(b+K_p)s+K_i}R(s)=\frac{s^3+as^2+bs}{s\left(s^3+as^2+\left(b+K_p\right)s+K_i\right)}$
であるので、(3)と同様にして
$e(\infty)=0$
この系の安定化条件は、分母に関するラウス・フルビッツ表

$b+K_p-\frac{K_i}{a}$
より、、 $b+K_p-\frac{K_i}{a} >0$ 、
つまり求める条件は