院試過去問 2006年度数学のバックアップ(No.5)

院試勉強会

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/examarchive.shtml

院試過去問 2006年度数学 †

第1問
要素数有限の集合と，写像について考える．

と定義する．
- (1)非負整数に対し，集合
  
  を定義する．なるが存在することを示せ．
  - 任意のについて $A_i\supseteq A_{i+1}$ が成り立つことを示せばよい．これが成り立てば無限降下法により $A_k=A_{k+1}$ なるが存在することが示せる．
    帰納法で証明する．
    $A_1=f(X)\subseteq X$ より $A_0\supseteq A_1$ は成立．
    での成立，すなわち $A_{k}\supseteq A_{k+1}$ の成立を仮定する．このときあるが存在して $x\not\in A_{k+1}, x\in A_{k+2}$ だったとする．すると，ある $y\in X$ が存在して $y\in A_{k+1}, f(y)=x\in A_{k+2}$ となるはずである．ところが，帰納法の仮定より $y\in A_k$ であるから $f(y)=x\in A_{k+1}$ となり矛盾である．よって， $A_{k+1}\subseteq A_{k+2}$ が成立する．
    以上の議論より $A_{k}\supseteq A_{k+1}$ が示されるので，題意は示された．

(2) (1)の条件を満たすの一つをとおく．は，のあらゆる不動点を含むことを示せ．
- ある不動点が $A_{k^*}$ に含まれていなかったと仮定する．すると， $Y\subseteq X$ であるから $Y\subseteq f(X),Y\subseteq f^2(X),\dots ,Y\in f^{k^*}(X)$ となり矛盾．よって， $A_{k^*}$ はのあらゆる不動点を含む．

(3)の要素に対し，集合

を定義する．がの不動点であることを示せ．
- $B(x)=\{f^{k^*}(x),f^{k^*+1}(x),f^{k^*+2}(x),\dots \}$ であるが， $f^{k^*}(x)=f^{k^*+l}$ なる正整数が存在すればよい．そのようなが存在すれば $B(x)=\{f^{k^*}(x),f^{k^*+1},\dots,f^{k^*+l-1}\}$ , $f(B(x))=\{f^{k^*+1}(x),f^{k^*+2},\dots,f^{k^*+l-1},f^{k^*+l}\}=\{f^{k^*+1}(x),f^{k^*+2},\dots,f^{k^*+l-1},f^{k^*}\}$ となりとなるからである．
  背理法で示す．
  そのようなが存在しなかったと仮定する．すると， $f^{k^*}(x)$ は不動点である $A_{k^*}$ に含まれているので，ある $y\in A_{k^*}\setminus B(x)$ が存在してでなければならない．ところが，そのもまた $z\in A_{k^*}\setminus (B(x)\cup\{y\})$ なるが存在してとならなければならず，以下帰納的にまだ使っていない $A_{k^*}$ の元が必要になるが， $A_{k^*}\subseteq X$ が有限集合であることに矛盾である．
  よって，条件を満たすは存在し，題意は示された．

(4)を示せ．
- どのも不動点であるので， $A_{k^*}\supseteq\bigcup_{x\in X}B(x)$ であることは明らか．逆に $x\in A_{k^*}$ ならば，(3)と同様の議論により，あるが存在して $f^{l}(x)$ であることが示せるので $x\in B(x)$ となるから $A_{k^*}\subseteq \bigcup_{x\in X}B(x)$ ．
  よって， $A_{k^*}=\bigcup_{x\in X}B(x)$ ．

第2問
とに対し，

を考える．
- (1)任意の実数に対してであるとき，(2.1)の解がの極限でゼロベクトルに収束しないことを示せ．
  - $\frac{d}{dt}\bm{x}(t)=-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_1(t)\\0\end{pmatrix}$ となるので，となりゼロベクトルに収束しない．
- (2)なる連続微分可能な関数を考える．
  
  に基づく変数変換
  
  を使い，(2.1)をに関する微分方程式に書き換えよ．
  - $P(t)P(t)^{\top}=I$ なので，
    $\begin{align*}\frac{d}{dt}(P(t)^{\top} y(t))&= -a(t)a(t)^{\top}P^{-1}(t)y(t)\\\frac{dy}{dt}&=-\left(P(t)a(t)a(t)^{\top}P(t)^{\top}+P(t)\frac{dP(t)^{\top}}{dt}\right)y(t)\end{align*}$
- (3)であるとき， (2.1)の解がゼロベクトルに収束することを示せ．
  - $p_1(t)=p_2(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ととれば，
    $\frac{d\bm{y}}{dt}=-\bm{y}(t)$
    これより， $y_1=C_1e^{-t}, y_2=C_2e^{-t}$ なので， $y_1\to 0, y_2\to 0$ ．よって， $\bm{x}\to\bm{0}$ ．
- (4) がどのような性質を持てば，(2.1)の解がゼロベクトルに収束するか．予想せよ．
  - $a_1(t)=\cos t, a_2(t)=\sin t$ という性質を持てばよいと予想する．というのはだめだと思うので，誰か変わりに予想してください.
    てか， $\bm{x}=\exp(-\bm{a}\bm{a}^{\top})\bm{c}$ だよね．

第3問
複素解析復習中.........

第4問
計算はとてもめんどくさい。
数直線上を点Pが動く。時刻のときPは上に存在し、単位時間毎に確率1/2で+1、確率1/2で-1移動する。
点Pが時刻tにxにいる確率をと置く。
- (1)時刻についてを全て列挙せよ。
  - 計算するだけ。
    
    x -2 0 2
    p 1/4 1/2 1/4
- (2)を求めよ。
  - x,tのそれぞれについて偶数と奇数で場合分けする。
    のとき、
    $x=\pm (2k+1)$ のとき、 $p(2n,\pm (2k+1))=0$
    $x=\pm 2k$ のとき、 $p(2n,\pm 2k)= \frac{1}{2^{2n}}\left( \begin{array}{c}2n \\ n+k \end{array}\right)$ (2n回中n+k回右に、n-k回左に動くとx=2k)
    のとき、
    $x=\pm 2k$ のとき、 $p((2n+1),\pm 2k)=0$
    $x=\pm (2k+1)$ のとき、 $p((2n+1),\pm (2k+1))= \frac{1}{2^{2n+1}}\left( \begin{array}{c}2n+1 \\ n+k+1 \end{array}\right)$
- (3)時刻tのxの平均と分散を求めよ。
  - この分布は二項分布(確率pで1,確率(1-p)で0をt回繰り返す)の和について、 $p=\frac{1}{2}$ とし、xに $\frac{1}{2}t$ を足したのちに2倍したものに他ならない。
    二項分布の平均はpt,分散はp(1-p)tであるため、この分布の平均と分散は
    $E(x)=(\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}t)\times 2 = 0$
    $V(x)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})t \times 2^2 = t$
    となる。
- (4)(ただし、,,tとxの偶奇が等しいとき)を示せ。またその意味を述べよ。
  - t,xが偶数の場合。
    $p(x,t)= \frac{1}{2^{t}} \left( \begin{array}{c}t \\ \frac{t}{2}+\frac{x}{2}\end{array} \right) = \frac{1}{2^{t}} \frac{t!}{\left(\frac{t}{2}-\frac{x}{2}\right)! \left(\frac{t}{2}+\frac{x}{2}\right)!} = \frac{1}{2^{t}} \frac{t!}{\left\{\frac{t}{2} \left( 1-\frac{x}{t} \right) \right\}! \left\{ \frac{t}{2} \left( 1+\frac{x}{t} \right) \right\}!}$
    $= \frac{1}{2^{t}} \frac{\sqrt{2 \pi t } t^t e^{-t}}{\sqrt{2 \pi \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right)} \sqrt{2 \pi \frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t} \right)} \left\{\frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t}\right) \right\}^{\frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right)} \left\{\frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t}\right) \right\}^{\frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t} \right)} e^{-\frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right)} e^{-\frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t} \right)}}$ (スターリングの公式)
    $= \frac{2}{\sqrt{2 \pi t \left(1-(\frac{x}{t})^2\right)}} \frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)} \left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)}}$
    ここで、 $\frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)} \left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)}}$ についてlogをとると、
    $\log{\frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)} \left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac{t}{2}\left(1-\frac{x}{t}\right)}}}$
    $= - \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right) \log{\left(1-\frac{x}{t} \right)} - \frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t} \right) \log{\left(1+\frac{x}{t} \right)}$
    $\simeq - \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right) \left(-\frac{x}{t}-\frac{1}{2} \left(\frac{x}{t}\right)^2\right) - \frac{t}{2} \left(1+\frac{x}{t}\right)\left(\frac{x}{t}-\frac{1}{2} \left(\frac{x}{t}\right)^2\right) \simeq -\frac{x^2}{2t}$ なので、
    $p(x,t) \simeq \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} e^{- \frac{x^2}{2t}}$
    これは、中心極限定理を表す。
    標本平均(ここではx/t)と真の平均(ここでは0)の誤差はtが大きくなると平均0で分散が標本の母集団の分散(ここでは1)の1/tである正規分布に近づく。
    これを中心極限定理という。
    よって、xの分布については平均が0、分散が(各々の値がt倍されたので分散はt^2倍されて)tの正規分布に近づく。
    この正規分布は、
    $p(x,t) \simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{- \frac{x^2}{2t}}$
    であり、これは先ほどの結果と合致する。
    (先ほど求めたの近似は偶奇を分けていたため係数が2倍になっている)

第6問
有名な『ビュッホンの針』の応用問題。図がないと説明しづらい。どのパラメータを固定するかで難易度がかなり変わる。
- (1)一辺の正方形と間隔imgtex(\[2\]);の直線の交わる確率。
  - 対称性より、正方形の中心と直線の距離xが $0 \leq x \leq 1$ のときのみ考えればよい。
    以下、直線の法線と正方形の一辺のなす角を $\theta(0 \leq \theta \leq 2 \pi )$ とおく。
    $\theta$ を $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ に固定して考えると、正方形と直線が交わるのは、 $0 \leq \cos \left(\frac{\pi}{4} - \theta \right) \leq x$ のとき。
    よって求める確率は、
    $\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^{\cos \left(\frac{\pi}{4} - \theta \right)}_0 dx d\theta$
    $= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \theta \right) d\theta$
    $= \frac{4}{\pi} \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos \phi d\phi$
    $=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$
  - (別解)を固定して考える。
    以下、直線の法線と正方形の一辺のなす角を $\varphi (0 \leq \varphi \leq 2 \pi)$ とおく。
    $0 \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、正方形は常に直線と交わる。
    $\frac{1}{\sqrt{2}} < x \leq 1$ のとき、正方形と直線が交わるのは $0 \leq \varphi \leq \arccos x$ のとき(と、これと同値、あるいは対称な位置関係のとき(全部で8通り))。
    よって求める確率は、
    $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{8}{2\pi} \int^1_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \arccos x dx$
    $=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\pi} \int^{\frac{\pi}{4}}_0 t \sin t dt$
    $=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\pi} \left[-t \sin t + \sin t \right]^{\frac{\pi}{4}}_0$
    $=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$
- (2)長辺短辺の長方形と間隔imgtex(\[2\]);の直線の交わる確率。
  - 対称性より、長方形の中心と直線の距離xが $0 \leq x \leq 1$ のときのみ考えればよい。
    以下、直線の法線と長方形の長辺のなす角を $\theta(0 \leq \theta \leq 2 \pi )$ とおく。
    $\theta$ を $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ に固定して考えると、長方形と直線が交わるのは、 $0 \leq \cos \left(\frac{\pi}{6} - \theta \right) \leq x$ のとき。
    よって求める確率は、
    $\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^{\cos \left(\frac{\pi}{6} - \theta \right)}_0 dx d\theta$
    $= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos \left(\frac{\pi}{6} - \theta \right) d\theta$
    $= \frac{4}{\pi} \int^{\frac{\pi}{3}}_{-\frac{\pi}{6}} \cos \phi d\phi$
    $= \frac{\sqrt{3}+1}{\pi}$
  - (別解)対称性より、長方形の中心と直線の距離xが $0 \leq x \leq 1$ のときのみ考えればよい。
    以下、直線の法線と長方形の対角線のなす角を $\varphi(0 \leq \varphi \leq 2 \pi )$ とおく。
    $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ のとき、長方形は常に直線と交わる。
    $\frac{1}{2} < x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、長方形と直線が交わるのは $-\frac{\pi}{6} \leq \varphi \leq \arccos x$ のとき(と、これと同値、あるいは対称な位置関係のとき(全部で4通り))。
    $\frac{\sqrt{3}}{2} < x \leq 1$ のとき、長方形と直線が交わるのは $-\arccos x \leq \varphi \leq \arccos x$ のとき(と、これと同値、あるいは対称な位置関係のとき(全部で4通り))。
    よって求める確率は、
    $\frac{1}{2}+\frac{4}{2\pi} \frac{\pi}{6} \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)+\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{\frac{1}{2}} \arccos x dx + \frac{8}{2\pi} \int^1_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arccos x dx$
    ((1)と同様の計算につき省略) $= \frac{\sqrt{3}+1}{\pi}$
- (3)長辺短辺の長方形と間隔imgtex(\[2\]);の格子の交わる確率。
  - 『長方形が格子の横方向の直線と交わる』事象を、『長方形が格子の縦方向の直線と交わる』事象をとおくと、求める確率は、 $P(X)+P(Y)-P(X \cap Y)$
    $P(X)=P(Y)=\frac{\sqrt{3}+1}{\pi}$ なので、 $P(X \cap Y)$ を求めればよい。
    対称性より、長方形の中心と横向きの直線との距離x、縦向きの直線との距離yが $0 \leq x,y \leq 1$ のときのみ考えればよい。
    以下、縦向きの直線と長方形の長辺のなす角を $\theta(0 \leq \theta \leq 2 \pi )$ とおく。
    $\theta$ を $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ に固定して考えると、長方形と両直線が交わるのは、 $0 \leq \cos \left(\frac{\pi}{6} - \theta \right) \leq x$ かつ $0 \leq \sin \left(\frac{\pi}{6} + \theta \right) \leq x$ のとき。よって、
    $P(X \cap Y)=\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^{\sin \left(\frac{\pi}{6} + \theta \right)}_0\int^{\cos \left(\frac{\pi}{6} - \theta \right)}_0 dx dy d\theta$
    $= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin \left(\frac{\pi}{6} + \theta \right) \cos \left(\frac{\pi}{6} - \theta \right) d\theta$
    $= \frac{1}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \left(\sin 2\theta + \sin \frac{\pi}{3} \right) d\theta$
    $= \frac{1}{\pi}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
    よって求める確率は、 $2\frac{\sqrt{3}+1}{\pi}-\left(\frac{1}{\pi}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right) =　\frac{2\sqrt{3} +1}{\pi} - \frac{\sqrt{3}}{4}$
  - (別解)煩雑すぎて無理。
- ちなみに、計算すると、(1)は90.0%、(2)は87.0%、(3)は98.8%ぐらいになる。