制御論第二のバックアップ(No.6) - PukiWiki

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行列 $A$ をジョルダン標準型に $TAT^{-1} = J$ に標準化すると、

$T \exp(At)T^{-1} = \exp(Jt)$
（中略）

$L[\exp(Jt)] = (sI-J)^{-1}$

$L[\exp(At)] = L[T^{-1}\exp(Jt)T] = T^{-1}(sI-J)^{-1} T = (sI-A)^{-1}$
状態空間表現での $\exp(At)$ をラプラス変換すると $(sI-A)^{-1}$
線形時不変システムの状態空間表現と伝達関数表現の対応。

安定性
- 平衡点
  状態空間表現でのシステム $(d/dt)x = f(x)$ について、
  $f(x[e]) = 0$ となる点を平衡点と呼ぶ。
- 平衡点まわりの安定性
  任意の正数 $\varepsilon$ に対して、 $x[e]$ からの距離が $\delta$ 未満である初期値から時間を進めたときに、
  それより先の任意の時点で $x[e]$ からの距離が $\varepsilon$ 未満に留まるような正数 $\delta$ が存在するなら、その系は安定。
  さらに $t\to\infty$ で $x[e]$ に収束するなら、その系は漸近安定であるという。
- 線形時不変システム
  $x = \exp(At)x[0]$ について、
  ジョルダン標準系に直して、 $Tx = T\exp(At)T^{-1}Tx[0] = \exp(Jt)Tx[0]$
  $x$ の安定性と $Tx$ の安定性は一致する。
  $J$ の固有値の実部が全て負ならば、 $x,Tx$ は原点に漸近安定。
  実部が正の固有値があれば、不安定。
  固有値の実部が全て正ではなく、実部が0の固有値がサイズ２以上のジョルダンブロックを成すなら不安定。
  それ以外なら安定。
- リアプノフの定理。
  $dx/dt = Ax$ について、
  $XA+A^T X+Q = O$ となる正定値行列 $Q$ と対称行列 $X$ について、
  $A$ が漸近安定であることと $X$ が正定値であることは同値。
  $X$ が一意であることは講義では証明略。
  $X$ として $X = \int_0^{\infty}\exp(A^T t)Q\exp(At)dt$ を選ぶと、正値対称。
  $[\exp(A^T t)Q\exp(At)]_0^{\infty} = \int_0^{\infty}(d/dt)\exp(A^T t)Q\exp(At)dt = A^T X+XA$
  $\exp(At)\to 0 (t\to \infty)$ ならば、左辺は $-Q$ になるから、 $X$ は $XA+A^T X+Q = O$ の正値対称な解になっている。
  もし $A$ が、実部が非負の固有値を持つなら、その固有値・固有ベクトルを $\lambda ,x$ として、
  $XA+A^T X+Q = 0$ から、
  $Re \lambda*(x,Xx) + (x,Qx) = 0$ だが、各項が正なので、
  この式は不成立。よって $A$ には実部が非負の固有値は存在しない。
  - $A^T$ は $A$ の転置

動的システムの構造
- 相似変換
  
  $dx/dt = Ax + Bu$
  
  $y = Cx + Du$
  について、
  $z = Tx$ と変数変換すると、各係数は
  
  $dz/dt = TAT^{-1}z + TBu = Ez + Fu$
  
  $y = CT^{-1}z + Du = Gz + Hu$
  と変換される。
  どちらも同じ入力に対して同じ出力を返す、同じシステムの別な表現になっている。
  入出力関係を変えない変換を、相似変換と呼ぶ。
  状態空間表現には、相似変換の分だけ任意性が残っている。
- モード分解
  状態空間表現の任意性を使って、方程式を理解しやすい形に書き直す。
  $A$ をジョルダン標準形に直すと、状態方程式をジョルダンブロックごとに
  独立した小さな微分方程式に分解できる。
  分解された各方程式は、各固有値に対応するモードと呼ばれる。