院試過去問 2008年度専門科目数理のバックアップ(No.6) - PukiWiki

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院試勉強会

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/admission.shtml
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/pdf/2008suuri-j.pdf

第一問
Krylov subspace
について、
の張る部分空間をとし、とする。
- (1)を示せ。
  - 自明…
    $\forall v=\sum_{i=0}^{k-1}a_{i}A^{i}b \in W_k$ について、
    $a_k=0$ ととれば、 $v=\sum_{i=0}^{k}a_{i}A^{i}b \in W_{k+1}$
- (2)を示せ。
  - $A^{k}b\in W_k \Rightarrow A^{k+1}b\in W_{k+1}$ を示せばよい。
    $A^{k}b\in W_k$ ならば、ある $\{a_i\}_{i=0}^{k-1}$ について、
    $A^{k}b=\sum_{i=0}^{k-1}a_{i}A^{i}b$ が成立。
    よって $A^{k+1}b=\sum_{i=1}^{k}a_{i-1}A^{i}b \in W_{k+1}$
- (3)を示せ。
  - 自明…？
    $A^{k}b\in W_k$ のとき、 $W_k=W_{k+1}=W_{k+2}$ なので両辺ともに0となり、成立。
    そうでないとき、 $W_{k+1}$ は $W_k$ の基底に $A^{k}b$ を追加したものを基底とする線形空間なので、
    $d_{k+1}-d_{k}=1$ 、右辺も同様に高々1なので、不等式成立。
- (4)任意のに対して、となることを示せ。
  - 帰納法を使う。
    まず、 $W_1(A-\lambda I,b)=W_1(A,b)$ は成立している。
    $W_k(A-\lambda I,b)=W_k(A,b)$ が成立しているなら、
    $A^{k-1}b\in W_{k}(A-\lambda I,b)$
    $(A-\lambda I)A^{k-1}b\in W_{k+1}(A-\lambda I,b)$ なので
    $A^{k}b = (A-\lambda I)A^{k-1}b+\lambda A^{k-1}b \in W_{k+1}(A-\lambda I,b)$ であり、
    ついでに $(A-\lambda I)^{k}b$ は $A^{i}b,\ (i=0,\cdots,k)$ の線形結合で書けるので
    $(A-\lambda I)^{k}b\in W_{k+1}(A-\lambda I,b)$
    よって $W_{k+1}(A-\lambda I,b)=W_{k+1}(A,b)$ が成立。
    以上から、帰納的に任意の $k$ について、 $W_{k+1}(A-\lambda I,b)=W_{k+1}(A,b)$ が成立。
- (5)について、
  となるためのの必要十分条件を求めよ。
  - (4)を使うと、対角に定数を足す分だけ調整できるので、 $\alpha$ には制限は付かない。
    さらに、一般性を失なうことなく $\alpha=0$ としてよい。
    $\{b,Ab,A^2b\}$ が線型独立ならば $d_3=3$ なので，
    $\begin{align*}|b\ Ab\ A^2b|=\left|\begin{matrix}b_1&b_2&b_3\\b_2&b_3&0\\b_3&0&0\end{matrix}\right|=-b_3^3\end{align*}$ が非ゼロであればよい．よって， $b_3\ne 0$ がとなる必要十分条件．
- (6)について，
  となるためのの必要十分条件を求めよ．
  - (4)より， $A=\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&\beta-\alpha&1\\0&0&0&0&\beta-\alpha\end{pmatrix}$ と変形できる。
    $\det\left(b,Ab,A^{2}b,A^{3}b,A^{4}b\right)\neq 0$ であればよい。
    $\tilde{A}=\begin{pmatrix}\beta-\alpha&1\\0&\beta-\alpha\end{pmatrix},\ \tilde{b}=\tilde{A}^{3}\begin{pmatrix}b_4\\b_5\end{pmatrix}$ と置くと、
    $\det\begin{pmatrix}b_1&b_2&b_3&&\\b_2&b_3&0&&\\b_3&0&0&&\\ *&*&*&\tilde{b}&\tilde{A}\tilde{b}\end{pmatrix}=(\beta-\alpha)^{6}b_{3}^{3}b_{5}^{2}$
    よって、 $b_{3}b_{5}(\alpha-\beta)\neq 0$ が必要十分条件．

第二問
力学系l

について、かつを満たしている。
- 、を示せ。
  を示せ。
  - $\frac{d}{dt}\left(p(t)+q(t)+r(t)\right)=0$ と
    $\frac{d}{dt}\left(p(t)q(t)r(t)\right)=0$ となるので、両方共定数。
    なので、
    $p(t)q(t)r(t)\neq 0$ だから $p,q,r$ はどれも0にはなれない。
    は連続で、初期値は正だから任意の時刻で正。
    また、も成立。
- (2)となるためのの条件を示せ。
  となるためのの条件を示せ。
  - $\dot{p}=p(q-r)=p(2q+p-1)>0 \iff q > \frac{1-p}{2}$
    $\dot{q}=p(q-r)=q(2p+q-1)>0 \iff q < 1-2p$
  - 実際にはの領域でもなければならない．
- (3) 不動点を求めよ．また，浮動点でないときの運動の外形を図示せよ．
  - 不動点は $\dot{p}=\dot{q}=\dot{r}=0$ のときなので， $p(t)q(t)r(t)\ne 0$ より．
  - 図は不動点の周りをを満たしつつ，の直線に対称に，原点に近い方のの点ではが増える方向に矢印を書けばよい．（図略）
- Euler法で $\frac{1}{h}\begin{pmatrix}p_{n+1}-p_n\\ q_{n+1}-q_n\\r_{n+1}-r_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_n(q_n-r_n)\\ q_n(r_n-p_n)\\ r_n(p_n-q_n)\end{pmatrix}$ と離散化し，近似的に解くことを考える．．
- (4) を十分小さくとれば，いかなる初期値に対しても，となることを示せ．
  - $\begin{align*}p_{n+1}+q_{n+1}+r{n+1}=p_n+q_n+r_n=\dots =p_0+q_0+r_0=1\tag{**}\end{align*}$ であることに注意する．
    帰納法で証明する．
    での成立は(1)で述べた通りである．
    のとき，(**)より $|q_n-r_n|\le 1-p_n$ なので，
    $\begin{align*}p_{n+1}&=p_n+hp_n(q_n-r_n)\\&\ge p_n-hp_n(1-p_n)\\&\ge (1-h)p_n+hp_n^2\end{align*}$
    である．これより， $h\le 1$ であれば， $p_{n+1}\ge 0$ ．同様にして， $q_{n+1},r_{n+1}>0$ である．ここで， $p_{n+1}+q_{n+1}+r_{n+1}=1$ なので， $0<p_{n+1},q_{n+1},r_{n+1}<1$ ．
    よって，数学的帰納法により題意は示せれた．
- (6) 初期値が定常解でないとき，刻み幅を十分小さくとれば，はに関して狭義単調減少となることを示せ．また，このときのの略図を図示せよ．
  - とし，とする．このとき，であることに注意すると，
    $\begin{align*}I_{n+1}&=I_n(1+a)(1+b)(1-a-b)\\&=I_n(1+(a+b)+ab)(1-(a+b))\\&=I_n(1-(a+b)^2+ab(1-(a+b)))\\&<I_n*\max((1-(a+b)^2),(1-(a+b)^2+2ab))\\&=I_n*\max((1-(a+b)^2),(1-a^2-b^2))<I_n\end{align*}$
    よって，は狭義単調減少．
  - は狭義単調減少であるから，(3)の閉曲線を不動点に向かう螺旋に変形すればよい.（図略）

第3問
Markov Chain

と定義する．
- (1) を示せ．
  - のとき， $Q^{(0)}(j,k)=\delta_{jk}$ ,
    のとき， $Q^{(n)}(j,k)=\sum_{s=0}^n f^{(s)}(j,k)Q^{n-s}(k,k)$ であるから，
    $\begin{align*}\bar{Q}_{jk}(z)&=\sum_{n=0}^{\infty}Q^{(n)}(j,k)z^n\\&=\delta_{jk}+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{s=0}^{n} f^{(s)}(j,k)Q^{(n-s)}(k,k)z^n\\&=\delta_{jk}+\sum_{s=0}^{\infty}\sum_{t=0}^{\infty} f^{(s)}(j,k)z^sQ^{(t)}(k,k)z^t\\&=\delta_{jk}+\bar{f}_{jk}(z)\bar{Q}_{kk}(z)\end{align*}$
- (2) 状態が再帰的であるとき，の値を求めよ．
  - $\bar{f}_{jj}(1)=\sum_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(j,j)$ であるので，有限ステップで状態に戻ってくる確率を表している．よって， $\bar{f}_{jj}(1)=1$ であることが，状態が再帰的であるための必要十分条件．
- (3) 条件
  
  は状態が再帰的であるための必要十分条件であることを示せ．
  - $\sum_{n=0}^{\infty}Q^{(n)}(j,j)=\bar{Q}_{jj}(1)$ であることに注意する．また(1)より， $(1-\bar{f}_{jj}(1))\bar{Q}_{jj}(1)=1$ である．これより， $\bar{Q}_{jj}(1)=\infty$ であることが $\bar{f}_{jj}(1)=1$ であるための必要十分条件，すなわちが再帰的であるための必要十分条件である．
- (4)
  で定義される1次元ランダムウォークを考える．このとき，を求めよ．
  - $\begin{align*}Q^{(2n)}(00)(z)&=\sum_{n=0}^{\infty} {2n \choose n}p^n(1-p)^n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}p^n(1-p)^n\end{align*}$ であるので，
    $\begin{align*}\bar{Q}_{00}(z)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}p^n(1-p)^nz^{2n}\\&=\frac{1}{\sqrt{1-p(1-p)z^2}}\end{align*}$

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