制御論第二のバックアップ(No.7)

制御論第二
- 担当：津村幸治准教授
- 1.5単位
  - 数理：限定選択C
  - システム：限定選択B
- 10:15-11:45 工学部六号館 63講義室
- 教科書
  - システム制御理論入門実教出版

序論
- 古典制御理論から現代制御理論へ
  - 古典制御理論:(19世紀後半～1930年代)~~マクスウェルによるガバナーの解析。蒸気機関の制御。~~ラウス・フルビッツの安定判別法。~~伝達関数によるシステムの表現。~~周波数領域。ナイキストの安定判別。~~時間領域。PID制御。~~ウィナーフィルタ。
  - 古典制御の利点~~実験的に得やすい入出力特性に基づいて解析・設計する。~~計算量は少ない。~~直感的
  - 古典制御の欠点~~複雑なシステムの設計には向かない。~~システムの内部状態を無視している。~~方法論としての工学。理論よりも実践が優先。
  - シャノンの情報理論(1948年)~~「通信」の一般化~~情報量と通信容量の関係。~~情報量についての普遍的法則を発見。~~モデルや表現法に依存しない一般法則。
  - カルマンの最終目標~~制御に関する純粋理論~~望ましい制御を実現するためにはどのような、そしてどれくらいの情報が必要であるか？~~与えられたプラントを、制御という観点から完全に特徴付ける本質的な特徴は何か？
  - カルマン(1959年～1960年代)~~制御問題の本質を明らかにすること。~~内部状態変数。~~可制御性・可観測性。~~状態推定とフィードバック制御

動的システムと状態方程式
- 動的システム
  - 粘性抵抗とダンパのシステム。~~c dx/dt = u(t)~~dx/dt = u(t)/c = f(u(t))~~ある時点でのシステムの状態は、初期状態と入力の履歴で定まる。~~x = (1/c)∫[0,t]u(τ)dτ + x(0)~~力 u(t) を入力、位置 x(t) を出力とするシステムと見なせる。
  - 動的システム(Dynamical System)~~入力と出力のあるシステムで、初期状態と入力の履歴により、任意の時刻の状態が定まるもの。
  - 静的システム(Static System)~~入力と出力のあるシステムで、その時刻での入力だけからその時刻の出力が定まるもの。~~内部状態のないシステム。
  - 因果性(Causality)~~ある時刻の出力が、それより過去の入力のと初期状態のみによって定まること。~~出力が未来の入力に依存しないこと。~~ある時点から先の入力をカットしても、それ以前の出力はカットしないときと同じになること。~~物理的なシステムは全て因果的。音声フィルタなど、因果的でないシステムも作り得る。

状態方程式
- マス・バネ・ダンパー系。~~運動方程式：{M(d/dt)^2 + c(d/dt) + k}x(t) = u(t)~~出力方程式：y(t) = x(t)~~内部状態の次元を増やして、運動方程式を一階微分にする。~~ x = (x[1],x[2]) = (x,dx/dt)~~ (d/dt)x[1] = x[2]~~ (d/dt)x[2] = (u-cx[2]-kx[1])/M~~y = x[1]~~と変形すると。~~x = f(x,u)~~ y=g(x,u) の形で表せる。
- システムの状態方程式表示~~入力：u(t)~~出力：y(t)~~状態変数：x(t)を使って、~~状態方程式：dx/dt = f(x,u,t)~~出力方程式：y = g(x,u,t)の形でシステムを記述する。~~入力・出力・状態変数は多次元になりうる。~~入出力が共に一次元のシステムを、一入出力システム(SISO System)~~入出力が多次元のシステムを、多入出力システム(MIMO System)と呼ぶ。

線形時不変システム
- 十分長い時間、入出力が共に0となっているとする。~~動的システムP：y(t)=P[u(t)]について、~~任意の入出力関係 y_1 = P[u_1], y_2 = P[u_2] の間に、~~線形性：αy_1 + βy_2 = P[αu_1+βu_2]が成り立つとき、~~Pは線形であるという。~~状態方程式・出力方程式が線形。
- システムが任意の時間シフトについて~~y(t+τ) = P[u(t+τ)]となるとき、~~Pは時不変であるという。~~状態方程式・出力方程式に陽にtを含まない。
- 例）dx/dt = ax + u, y = x~~y = ∫[-∞,t]exp(a(t-τ))u(τ)dτ は線形時不変システム。~~t→t+t'と時間をずらすと、~~y(t+t') = ∫[-∞,t+t']exp(a(t+t'-τ))u(τ)dτ = ∫[-∞,t]exp(a(t-τ))u(τ+t')dτ
- システムが y(t) = ∫[-∞,t]p(t-τ)u(τ)dτ と、たたみこみの形で書かれていれば線形時不変システム。

伝達関数
- t<0でx(t)=0、∫[0,∞]|x(t)|e^(-at)dt＜∞となる滑らかな関数はラプラス変換でき、~~x(t)→X(s)=∫[0,∞]x(t)exp(-st)dt と表す。~~逆変換も存在し、x(t)=(1/(2πi))∫[c-i∞,c+i∞]X(s)exp(st)ds
- 二つの関数のたたみこみを変換すると、変換後にはただの乗算になっている。~~線形時不変システムはたたみこみで表せるので、ラプラス変換すればシステム全体を関数一つで表現できる。~~これが伝達関数で、二年冬や三年夏に扱ったもの。

線形時不変システム←[ラプラス変換]→伝達関数線形時変システム←[？？]→？非線形システム←[？？]→？線形時不変システム以外は伝達関数では扱えない。状態空間表現や元々の微分方程式を直接扱う必要がある。

状態空間法
- システムに内部状態を表す変数を導入して、~~内部状態についての連立一階微分方程式と、内部状態から出力を導く方程式で表現する。
- 伝達関数での表現と比べて広い範囲のシステムを表現できる。~~システムが線形ならば状態方程式・観測方程式は線形にでき、時不変ならば方程式に陽に時間変数が現れないようにできる。
- x : 状態ベクトル~~dx/dt = f(x,t,u) ：状態方程式~~y = g(x,t,u)：観測方程式。出力方程式。~~状態方程式と観測方程式を合わせてシステム方程式と呼ぶ。~~講義では主に線形時不変システムを扱う。

線形システムの解
- dx/dt = Ax + Bu~~y = Cx + Du~~Aはtに依存してもよいとする。
- まず同次方程式を解く。~~dx/dt = Ax
- 標準基底e[i]を使って、初期値e[i]のときの解をφ[i]、それを横に並べたものをΦとすると、~~dφ[i]/dt = Aφ[i]~~dΦ/dt = AΦ~~Φ(0) = Iが成立。~~一般解はx(t) = Φ(t)x(0) で表せる。
- 元の方程式の解は、x(t) = Φ(t)x(0) + ∫[0,t]Φ(t-τ)B(τ)u(τ)dτ

線形時不変システムの解
- dx/dt = Ax + Bu~~y = Cx + Du~~Aはtに依存しない定行列
- (d/dt - A)x = exp(At)(d/dt)exp(-At)x(t) = Bu(t)~~x(t) = exp(At)x(0) + ∫[0,t]exp(A(t-τ))Bu(τ)dτ
- 伝達関数表現では、X(s) =(sI-A)^(-1){x(0)+BU(s)}~~(sI-A)^(-1)にあたるのがexp(At)、(たたみこみが積に変わっている)

exp(At)？
- (d/dt)exp(At) = Aexp(At)~~Aの固有ベクトル Au = λu への作用させると、exp(At)u = exp(λt)u~~固有ベクトルの方向にexp(λt)だけ伸ばす。
- detP≠0となる行列について、~~P exp(At) P^(-1) = exp(PAP^(-i)t) ：合同変換は中に素通り。
- AとBが可換ならば、exp(At)exp(Bt)＝exp((A+B)t)が成立。非可換ならばそうなるとは限らない。

行列 $A$ をジョルダン標準型に $TAT^{-1} = J$ に標準化すると、

$T \exp(At)T^{-1} = \exp(Jt)$
（中略）

$L[\exp(Jt)] = (sI-J)^{-1}$

$L[\exp(At)] = L[T^{-1}\exp(Jt)T] = T^{-1}(sI-J)^{-1} T = (sI-A)^{-1}$
状態空間表現での $\exp(At)$ をラプラス変換すると $(sI-A)^{-1}$
線形時不変システムの状態空間表現と伝達関数表現の対応。

安定性
- 平衡点
  状態空間表現でのシステム $(d/dt)x = f(x)$ について、
  $f(x[e]) = 0$ となる点を平衡点と呼ぶ。
- 平衡点まわりの安定性
  任意の正数 $\varepsilon$ に対して、 $x[e]$ からの距離が $\delta$ 未満である初期値から時間を進めたときに、
  それより先の任意の時点で $x[e]$ からの距離が $\varepsilon$ 未満に留まるような正数 $\delta$ が存在するなら、その系は安定。
  さらに $t\to\infty$ で $x[e]$ に収束するなら、その系は漸近安定であるという。
- 線形時不変システム
  $x = \exp(At)x[0]$ について、
  ジョルダン標準系に直して、 $Tx = T\exp(At)T^{-1}Tx[0] = \exp(Jt)Tx[0]$
  $x$ の安定性と $Tx$ の安定性は一致する。
  $J$ の固有値の実部が全て負ならば、 $x,Tx$ は原点に漸近安定。
  実部が正の固有値があれば、不安定。
  固有値の実部が全て正ではなく、実部が0の固有値がサイズ２以上のジョルダンブロックを成すなら不安定。
  それ以外なら安定。
- リアプノフの定理。
  $dx/dt = Ax$ について、
  $XA+A^T X+Q = O$ となる正定値行列 $Q$ と対称行列 $X$ について、
  $A$ が漸近安定であることと $X$ が正定値であることは同値。
  $X$ が一意であることは講義では証明略。
  $X$ として $X = \int_0^{\infty}\exp(A^T t)Q\exp(At)dt$ を選ぶと、正値対称。
  $[\exp(A^T t)Q\exp(At)]_0^{\infty} = \int_0^{\infty}(d/dt)\exp(A^T t)Q\exp(At)dt = A^T X+XA$
  $\exp(At)\to 0 (t\to \infty)$ ならば、左辺は $-Q$ になるから、 $X$ は $XA+A^T X+Q = O$ の正値対称な解になっている。
  もし $A$ が、実部が非負の固有値を持つなら、その固有値・固有ベクトルを $\lambda ,x$ として、
  $XA+A^T X+Q = 0$ から、
  $Re \lambda*(x,Xx) + (x,Qx) = 0$ だが、各項が正なので、
  この式は不成立。よって $A$ には実部が非負の固有値は存在しない。
  - $A^T$ は $A$ の転置

動的システムの構造
- 相似変換
  
  $dx/dt = Ax + Bu$
  
  $y = Cx + Du$
  について、
  $z = Tx$ と変数変換すると、各係数は
  
  $dz/dt = TAT^{-1}z + TBu = Ez + Fu$
  
  $y = CT^{-1}z + Du = Gz + Hu$
  と変換される。
  どちらも同じ入力に対して同じ出力を返す、同じシステムの別な表現になっている。
  入出力関係を変えない変換を、相似変換と呼ぶ。
  状態空間表現には、相似変換の分だけ任意性が残っている。
- モード分解
  状態空間表現の任意性を使って、方程式を理解しやすい形に書き直す。
  $A$ をジョルダン標準形に直すと、状態方程式をジョルダンブロックごとに
  独立した小さな微分方程式に分解できる。
  分解された各方程式は、各固有値に対応するモードと呼ばれる。

制御論第二 のバックアップ(No.7)

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