[[院試過去問 2007年度 専門科目 システム]]

解答に対するつっこみと議論はこちらで。~

**第一問 [#o00151fb]
***(1) [#d56fd86e]
-&imgtex(\[\operatorname{rect}(t)=\left\{\begin{array}{ll}1 & (|t|\leq \frac{1}{2})\\0 & (otherwise)\end{array}\right.\]);について。~
&imgtex(\[\mathcal{F}[\operatorname{rect}(t)](\omega)=2\operatorname{sinc}(\frac{\omega}{2})\]);になってるみたいだけれど、~
これのFourier変換は~
&imgtex(\begin{align*}\mathcal{F}[\operatorname{rect}(t)](\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{rect}(t) \exp(-j\omega t)dt\\&=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\exp(-j\omega t)dt\\&=\left[\frac{j}{\omega}\exp(-j\omega t)\right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\\&=\frac{j}{\omega}\left(-2j\sin(\frac{\omega}{2})\right)\\&=\frac{\sin(\frac{\omega}{2})}{\frac{\omega}{2}}\\&=\operatorname{sinc}(\frac{\omega}{2})\end{align*});~
にならないかなと思った。(GoK)~
--sinc関数の定義のしかたにもよるけれど。(GoK)
--文責です。すいません、おっしゃるとおりだと思います。（niikura）

**第四問 [#y651b68e]
***(4) [#k9979099]
-これの安定性の話ですが、結局のところ~
&imgtex($\left[ \begin{array}{c}  \bm{F}\\  m \end{array}\right]=B \frac{d^2}{dt^2}\left[ \begin{array}{c}  \Delta\bm{r}_0\\  \Delta\theta \end{array}\right]$);~
となるからして~
&imgtex($\frac{d^2}{dt^2}h(t) = -\alpha h(t)$);~
の形になっているわけで、&imgtex($\alpha \geq 0$);で振動するか&imgtex($\alpha <0$);で位置と速度の初期条件次第で安定か不安定かが分岐するだけの気がします。~
もし振動解を安定平衡点に含めるのならば、条件は&imgtex($k_x>0,k_y>0$);になるのでしょうが……~
誰か任せた。(GoK)

**第五問 [#wce9223d]
***(1) [#v79d8b17]
-(d)~
多分(c)を使うともう少し楽にいける気がする。~
&imgtex(\begin{align*}x_1\oplus x_2 \oplus (x_1\cdot x_2)&=x_1\oplus (x_2\cdot 1) \oplus (x_2\cdot x_1)=x_1\oplus (x_2 \cdot (1\oplus x_1))\\&=x_1\oplus (x_2 \cdot \bar{x}_1) =\bar{x}_1 \cdot \bar{x}_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot (\bar{x}_2 + x_1)\\&=\bar{x}_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot \bar{x}_2 + x_1 = \bar{x}_1 \cdot x_2 + x_1 \\ &= \bar{x}_1 \cdot x_2 +  x_1\cdot ( 1 + x_2) = x_2\cdot (x_1 + \bar{x}_1 )+ x_1\\&=x_1 + x_2\end{align*});
--ゴメン、そんなでも無かった(GoK)
***(2) [#t10f2d68]
-(b)~
&imgtex(\[ (x_1 \cdot x_2) \oplus (x_2 \cdot x_3) \oplus (x_3 \cdot x_1) \oplus (x_1 \cdot x_2 \cdot x_3) \]);　に　&imgtex($(x_1,x_2,x_3)=(1,1,1)$);　を代入すると、~
&imgtex($=1\oplus 1\oplus 1\oplus 1 = 0 \oplus 0 = 0$);~
になるけれど、定義からは&imgtex($f(1,1,1) = 1$);になるはずだよね。~
多分最後の変形のところで~
&imgtex(\begin{align*}&(x_1\cdot x_2)\oplus(x_2\cdot x_3)\oplus(x_1\cdot x_2\cdot x_3) + (x_3\cdot x_1)\\&=(x_1\cdot x_2)\oplus(x_2\cdot x_3)\oplus(x_1\cdot x_2\cdot x_3)\oplus(x_3\cdot x_1)\oplus((x_3\cdot x_1)\cdot ((x_1\cdot x_2)\oplus(x_2\cdot x_3)\oplus(x_1\cdot x_2\cdot x_3)))\\&=(x_1\cdot x_2)\oplus(x_2\cdot x_3)\oplus(x_3\cdot x_1)\oplus(x_1\cdot x_2\cdot x_3)\oplus(x_1\cdot x_2\cdot x_3)\oplus(x_1\cdot x_2\cdot x_3)\oplus(x_1\cdot x_2\cdot x_3)\\&=(x_1\cdot x_2)\oplus(x_2\cdot x_3)\oplus(x_3\cdot x_1)\oplus 0 \oplus 0\\&=(x_1\cdot x_2)\oplus(x_2\cdot x_3)\oplus(x_3\cdot x_1)\oplus 0\\&=(x_1\cdot x_2)\oplus(x_2\cdot x_3)\oplus(x_3\cdot x_1)\end{align*});~
になるんじゃないかと思うのだけれど。(GoK)

--文責です。勘違いしてました。その通りだと思います。（niikura）
***(3) [#l93976ec]
-排他的論理和に関するド・モルガン則~
&imgtex(\begin{align*}\overline{x\oplus y}&=\overline{x \bar{y} + y \bar{x}}\\&=\overline{(x\bar{y})}\cdot\overline{(y\bar{x})}\\&=(\bar{x}+y)\cdot (x + \bar{y})\\&=xy + \bar{x}\bar{y}\\&=x\oplus \bar{y} = \bar{x} \oplus y\end{align*});~
から、任意の&imgtex($k\hspace*{0.5em}(k=1,2,\dots,n)$);について~
&imgtex(\begin{align*}\overline{g(x_1,x_2,\dots x_n)}&=\overline{a_0\oplus(a_1\cdot x_1)\oplus\cdots\oplus(a_k\cdot x_k)\oplus\cdots\oplus(a_n\cdot x_n) }\\&=a_0\oplus(a_1\cdot x_1)\oplus\cdots\oplus(a_{k-1}\cdot x_{k-1})\oplus \overline{(a_k\cdot x_k)}\oplus(a_{k+1}\cdot x_{k+1})\oplus\cdots\oplus(a_n\cdot x_n)\end{align*});~
と出来て、これと自己双対関数である必要十分条件~
&imgtex($$\overline{g(x_1,x_2,\dots x_n)}=a_0\oplus(a_1\cdot \bar{x}_1)\oplus\cdots\oplus(a_{k-1}\cdot \bar{x}_{k-1})\oplus (a_k\cdot \bar{x}_k)\oplus(a_{k+1}\cdot\bar{x}_{k+1})\oplus\cdots\oplus(a_n\cdot \bar{x}_n)$$);~
を比べて~
&imgtex(\begin{equation*}\left\{\begin{array}{ll}\bar{a}_i + \bar{x}_i = a_i\cdot\bar{x}_i  & (i=k)\\a_i\cdot x_i = a_i \cdot \bar{x}_i & (i\neq k)\end{array}\right.\end{equation*});~
となるから、つまり求める条件は~
&imgtex(\begin{equation*}\left\{\begin{array}{ll} a_i = 1 & (i=k)\\ a_i = 0 & (i\neq k)\end{array}\right.\end{equation*});~
を満たす&imgtex($k\hspace*{0.5em}(k=1,2,\dots,n)$);が存在すること。~
とか考えたんだけどどうなんだろう。(GoK)
--とりあえず十分条件っぽいけど本当に必要条件になってるだろうか。(GoK)
--必要条件かどうかはちょっとあやしいけどとりあえず解答の方に載せてもいいんじゃないかな？(niikura)

**第7問 [#g93bc744]
***(1) [#tdc01cd3]
これ角度alphaによって変わる？
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