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[[講義日程-2007年度夏学期]]

** 解析数理工学 [#oc1af4b7]
-- 担当：杉原 正顯 教授
-- 1.5単位
--- 数理：限定選択A
--- システム：限定選択C
-- 08:30-10:00 工学部六号館 63講義室
-- レポート3回，期末テストあり
--- テストは90分で3題、ルベーグ積分から２題、関数解析から１題
-- 教科書なし
-- 参考書
--- [[伊藤清三,ルベーグ積分入門,裳華房>http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4785313048]]
--- [[志賀浩二,ルベーグ積分30講,朝倉書店>http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4254114842]]
--- [[猪狩惺,実解析入門,岩波書店>http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000054449]]

**内容 [#y178b870]
''4/5（第１回）''
- ''1 ルベーグ積分の意義,必要性''
- ''1.1 リーマン積分''
-- ''定義1.1''
--- リーマン和とリーマン積分の定義
--- 過剰和/不足和と上積分/下積分の定義
-- ''定理1.1 ダルブーの定理''
--- リーマン可積分⇔(上積分)=(下積分)
-- ''定理1.2''
--- リーマン可積分⇔(過剰和)-(不足和)→0
-- 例1.0 連続関数はリーマン可積分
-- 例1.1 不連続点の数が有限個ならばリーマン可積分
-- 例1.2 単調関数ならばリーマン可積分
-- 例1.3 ディリクレ関数はリーマン可積分ではない

- ''1.2 積分と極限の順序交換''
-- ''定理1.3''
--- 関数列が一様収束するならば積分と極限の順序交換が可能
-- 例1.4 一様収束はしないが積分と極限の順序交換が可能な例
--- 定理1.3の条件は強すぎる

''4/19（第２回）''
-
-- ''定理1.4 アルゼラの定理''
--- 関数列がリーマン可積分で、各点収束でも一様有界ならば積分と極限の順序交換が可能
-- 例1.5 一様有界でないと積分と極限の順序交換が不可能な例
-- 例1.6 各点収束先がリーマン可積分でないと積分と極限の順序交換が不可能な例
-- ''定理1.5 ルベーグの定理''
--- 定理1.4の「リーマン可積分」を「ルベーグ可積分」に拡張

- ''1.3 ルベーグ積分の導入''
-- ''定理1.6''
-- ''定義1.2''
--- ルベーグ積分の定義
-- 例1.7 ディリクレ関数のルベーグ積分での値は？
--- powerfulな区間の長さを測る方法が必要→ルベーグ測度論


''4/26（第３回）''
- ''2 ルベーグ測度''
- ''2.1 従来の素朴な面積の定義(ジョルダン測度)''
-- 「図形を囲む長方形の面積」と「図形に含まれる長方形の面積」の極限が一致するとき図形の面積

- ''2.2 新しい面積の定義(ルベーグ測度)''
-- ''定義2.1''
--- 外測度の定義
-- 例2.1 [0，1)上の有理数の集合の外測度は0
-- 例2.2 半開区間の外測度
-- ''定理2.1''
--- 外測度の性質

''5/10（第４回）'' 松尾先生が代講
-
-- 例2.3 [0，1)上の無理数の集合の外測度は1
-- ''定義2.3''
--- 内測度の定義
-- ''定理2.2''
--- 内測度の性質
-- 例2.4 [0，1)上の有理数の集合の内測度は0、無理数の集合の内測度は1
-- 例2.5 半開区間の内測度(外測度と等しくなる)
-- ''定義2.4''
--- ルベーグ可測性
-- 例2.6 [0，1)上の有理数の集合、[0，1)上の無理数の集合、半開区間はルベーグ可測

''5/17（第５回）''
-
-- 例2.7 ルベーグ可測でない集合が存在する
-- ''定理2.3''
--- <<ルベーグ可測集合の性質>> (L1)、(L2)、(L3)
--- <<ルベーグ測度の性質>> (M1)、(M2)、(M3)、(M4)
-- 定理2.3の証明(難しすぎるので試験には出せないらしい)
--- (L1)、(M1)、(M2)は自明
--- (M3)の証明(''補題2.4''が登場)
--- (L2)の証明(''補題2.5''が登場)

''5/24（第６回）''
-
--
--- (M4)の証明
--- (L3)の証明
-- ''定理2.6''
--- R^kの開集合、閉集合はルベーグ可測
-- ''定理2.7''
--- 他の可測性の定義
-- 抽象的な測度(カラテオドリの外測度)

''5/31（第７回）''
- ''2.3非可測集合''
-- バナッハ・タルスキーの逆理
-- バナッハ・タルスキーの定理

- ''3 可測関数''
-- ''定義3.1''
--- 可測関数の定義
-- ''定理3.1''
--- 定義3.1の別の表現
-- ''定理3.2''
--- 更に定義3.1の別の表現
-- ''定理3.3''
--- f，gが可測ならばE{f＞g}、E{f≧g}、E{f＝g}も可測

''6/7（第８回）''
-
-- ''定理3.4''
--- |f|^p (p＞0)も可測
--- af＋bg、f・g、f/gも可測
-- 例3.0 単関数は可測
-- 例3.1 R上の連続関数は可測
-- 例3.2 可測関数ではないものの例
-- 例3.3 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)でfがある区間上の可測関数ならばf(x)＝ax
-- ''定理3.5''
--- 可測な関数列に対してmax、min、sup、inf、limsup、liminf、lim(各点収束)も可測
-- ''定義3.2''
--- 「almost everywhere」の定義
-- ''定理3.6''
--- fは可測、g＝f a.e. in E ならば、gも可測
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