院試過去問 2003年度 数学 の変更点

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[[院試過去問の解答]]

#contents

*院試過去問 2003年度 数学 [#vf1cbc5d]
''このページには誤りや悪意のある人間の手によるデタラメが書き込まれている場合があります。''

''必ずご自身で確認された上、自己責任で利用されるようご注意ください。''

特に上の文がデタラメの可能性には注意してください．

また、上の三行の文は正しいですが、この行の文はでたらめの可能性があります。
** 第1問 [#yf05ae29]
tex表記は面倒なので、分かる範囲でタイプ数を減らしています(太字でない等)
-(1)~
--1.~
&imgtex(\[ \| Ax \| \ge 0 \Rightarrow \sigma (A) \ge 0 \]);~
&imgtex(\[ {}^\forall \| x \|=1, \| Ax\|=0 \Leftrightarrow A=O \]);~
--2.~
&imgtex(\[ \| \sigma Ax\|=|\sigma|\| Ax \| \]);~
--3.~
&imgtex(\[ \sigma(A+B) = \| (A+B)x\|=\| Ax +Bx \| \le \| Ax\| +\| Bx\|=\sigma(A)+\sigma(B) \]);~
-(2)~
...を計算に関係ない部分として、~
&imgtex(\[ A_1 =\begin{pmatrix} \alpha & w^T \\ z & A_2 \end{pmatrix}=U^T AV_1 = U_1^TA(x_1,x_2,...) = U_1^T (\sigma_1 y_1,...) =\begin{pmatrix} \sigma_1y_1^Ty_1 & \dots \\ \sigma_1y_2^Ty_1 & \dots \\ \vdots & \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sigma_1  & w^T \\ O & A_2 \end{pmatrix}\]);~
なので、&imgtex($ \alpha=\sigma_1,z=0 $);である。
-(3)~
&imgtex(\[ \| A_1 \begin{pmatrix}\sigma_1 \\ w \end{pmatrix}\| = \| \begin{pmatrix} \sigma_1^2 + w^Tw \\ A_2 w \end{pmatrix} \| \ge \sigma_1^2 + w^Tw \]);~
-(4)
&imgtex(\[ \| x\|=1 \Leftrightarrow \| V_1^T x\|=\| x' \|=1 \]);を用いる。
&imgtex(\[ \| Ax\|=\| U_1A_1V_1^T x \|=\| U_1\| \| A_1 x'\| = \| A_1 x'\| \]);~
であり、&imgtex($ \| Ax\|$);を最大にするxをとりx'に変換すれば、&imgtex($ \| A_1x'\|$);は最大になる。よって&imgtex($ \sigma(A)=\sigma(A_1) = \sigma_1$);
-(5)~
&imgtex(\[ \sigma_1 \ge \left\| A_1 \frac{1}{\| \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ w \end{pmatrix} \|} \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ w \end{pmatrix} \right\| \ge \frac{1}{\| \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ w \end{pmatrix} \|} (\sigma_1^2 + w^Tw)= \sqrt{\sigma_1^2 + w^Tw } \]);~
なので、w=0
-(6)~
&imgtex(\[ \sigma(A_2)=\sigma_2 \]);とおく。あるx2が存在し、x2,y2を単位ベクトルとして。&imgtex(\[ \sigma_2y_2=A_2x_2 \]);とできる。~
&imgtex(\[ \| A_1 \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \end{pmatrix} \| = \left\| \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \end{pmatrix} \right\| =\left\| \sigma_2 \begin{pmatrix} 0 \\ y_2 \end{pmatrix} \right\| = \sigma_2 \]);~
&imgtex(\[ \sigma(A_2) = \sigma_2 \le \sigma(A_1) \]);~
なぜならば、&imgtex($ \sigma $);の定義にはmaxを用いているから。
-(7)~
略、補完希望
** 第2問 [#jf681229]
-(1)~
&imgtex(\[ F' = \sqrt{f'} -\frac{1}{2} f f'^{-\frac{3}{2}} f'' \]);~
-(2)~
&imgtex(\[ F'' = \frac{3}{4} f f'^{-\frac{5}{2}} f'' -\frac{1}{2} f f'^{-\frac{3}{2}} f'' \]);~
-(3)~
&imgtex($ F(r)=0$);を用いる。~
&imgtex(\[ \lim_{x \rightarrow r} \frac{G(x) -r }{(x-r)^2}=\lim_{x \rightarrow r} \frac{x -r -\frac{F}{F'} }{(x-r)^2} = \lim_{x \rightarrow r} \frac{1 -\frac{F - F(r)}{(x-r)F'} }{(x-r)} = \lim_{x \rightarrow r} \frac{1 -\frac{F'}{F'} }{(x-r)} =0 \]);~
となる。
** 第3問 [#j4dfa602]
-(1)~
全てのi,jに対し、~
&imgtex(\[ \sigma(G_i^{l-1}) -\sigma(G_j^{l-1}) \le \max\{ a_1,\cdots,a_n \} \]);~
が成り立っているとき。&imgtex($ \sigma(G_i^{l-1}) \ge \sigma(G_j^{l-1}) $);ならば~
&imgtex(\[ \sigma(G_i^{l}) -\sigma(G_j^{l}) \le \sigma(G_i^{l-1}) - \sigma(G_j^{l-1}) -a_l \le \max\{ a_1,\cdots,a_n \} \]);~
不等号が逆の場合もほぼ同様。~
&imgtex($ \max\{ a_1,\cdots,a_n \} $);を満たすものをahとする。ahを含むグループの値はah以上なので、右側の不等号の成立が言える。
-(2)~
ahを特別視して、残りのn-1個をできるだけ均等に分割すると、&imgtex($ \frac{1}{m}\sum_{k\ne h} a_k$);となり、どの時点でもこの値と同じか小さいグループがあるので、これより大きいグループにahが足されることはあり得ない。よって~
&imgtex(\[ P(\Delta ) \le \frac{1}{m}\sum_{k\ne h} a_k + a_h = \frac{1}{m}\sum_{k=1}^n a_k + (1-\frac{1}{m}) \max\{ a_1,\cdots,a_n \} \]);
-(3)~
&imgtex(\[ \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{n}a_k \le P( \Delta_opt) \because \sum a_i =\sum \sigma(G_i) \le m \max \sigma(G_i) \]);~
(1)の右側の不等式、(2)を用いれば(3)が示せる。
-(4)~
添え字1からm(m-1)までai=1で、最後がmの数列を考える。合計m^2であり、最適な分割では全ての大きさをmにできるが、このアルゴリズムを用いると、m(m-1)個を分割した時点で全ての分割の大きさがm-1になり、最後、大きさmの数字を分割した時点で、最大のグループの大きさは2m-1となる。

** 第4問 [#te4e8dd5]
-行列&imgtex($A$);を&imgtex($n\times n$);実対称行列とし，
関数&imgtex($\psi :\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$);を
&imgtex($\psi(x)=x^{\top} Ax$);と定義する．
ただし，制約&imgtex($\|x\|=1,\ b^{\top}x=0$);の元で&imgtex($\psi(x)$);の極値を求める問題について議論する．ラグランジュ関数を&imgtex($L(x,\lambda,\mu)=\psi(x)+\lambda(1-\|x\|^2)-2\mu b^{\top}x$);と定義する．
--(1)&imgtex($\partial L/\partial x,\partial L/\partial \lambda, \partial L/\partial \mu$);を求めよ．
---&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial x}=2Ax-2\lambda x-2\mu b.\]);~
&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=1-\|x\|^2\]);~
&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial \mu}=-2b^{\top}x\]);
--(2)ベクトル&imgtex($b=0$);のとき，&imgtex($\bar{x}$);は行列Aの固有ベクトルになることを示せ．
---&imgtex($b=0$);のとき，&imgtex($2A\bar{x}-2\bar{\lambda} \bar{x}=0$);となるので，&imgtex($A\bar{x}=\bar{\lambda} \bar{x}$);より&imgtex($\bar{x}$);は&imgtex($\bar{\lambda}$);に対応する固有ベクトルとなる．
--(3)Aを&imgtex($a_{11}<a_{22}<\dots <a_{nn}$);を満たす対角行列とし，
&imgtex($b$);の要素は全て非ゼロとする．
--(3-1)&imgtex($\partial L/\partial x_i$);を求めよ．
---&imgtex(\[\partial L/\partial x_i=2(Ax-\lambda x-\mu b)_i=2(a_{ii}x-\lambda x_i-\mu b_i)\]);~
--(3-2)「&imgtex($\mu=0$);かつ&imgtex($\exists i\in\{1,2,\dots,n\},\bar{\lambda}=a_{ii}$);」が成り立たないことを示せ．
---成立を仮定すると，&imgtex($\bar{\lambda}=a_{jj}$);なる&imgtex($j$);が存在する．これより，&imgtex($\mu=0$);,&imgtex($i\ne j$);ならば&imgtex($x_i=0$);となり，&imgtex($x_j=\pm 1$);．これより，&imgtex($b^{\top}x=\pm b_j\ne 0$);となり矛盾．
--(3-3)「&imgtex($\mu=0$);かつ&imgtex($\forall i\in\{1,2,\dots,n\},\bar{\lambda}\ne a_{ii}$);」が成り立たないことを示せ．
---成立を仮定すると，任意の&imgtex($i$);について&imgtex($x_i=0$);となり&imgtex($\|x\|=1$);に矛盾．
--(3-4)「&imgtex($\mu\ne 0$);かつ&imgtex($\exists i\in\{1,2,\dots,n\},\bar{\lambda}=a_{ii}$);」が成り立たないことを示せ．
---成立を仮定すると，&imgtex($\mu=0$);となり矛盾．
--(4)行列&imgtex($A$);は&imgtex($(a_{11},a_{22},a_{33})=(2,4,6)$);を満たす&imgtex($3\times 3$);の対角行列とし，
&imgtex($b^{\top}=(\sqrt{3},\sqrt{2},\sqrt{3})$);とする．
&imgtex($\Omega$);の中の点を全て求めよ．
---束縛条件は，~
&imgtex(\begin{align*}x_1(2-\lambda)&=\sqrt{3}\mu\\x_2(4-\lambda)&=\sqrt{2}\mu\\x_3(6-\lambda)&=\sqrt{3}\mu\\x_1^2+x_2^2+x_3^2&=1\\\sqrt{3}x_1+\sqrt{2}x_2+\sqrt{3}x_3=0\end{align*});~
なので，&imgtex(\[\mu\left(\frac{3}{2-\lambda}+\frac{2}{4-\lambda}+\frac{3}{6-\lambda}=0\right).\]);~
ここで，&imgtex($\mu\ne 0$);ならば，&imgtex($\lambda=3,5$);．&imgtex($\mu=\pm\frac{\sqrt{3}}{4}$);．これより，
&imgtex($\mu=0$);のときは(3-2)と(3-3)が矛盾するので解なし．
--(5)&imgtex($\bar{x}$);が極値を与えないことを示せ．
---&imgtex($A=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$);とすれば良い．極値を与えないことは自明に明らか．


** 第5問 [#baacc6d2]
//文責：GoK
***(1) [#cf2344ff]
&imgtex($\bm{u}=|\bm{u}|\bm{e}_u$);なる単位ベクトル&imgtex($\bm{e}_u$);を考える。~
この時、&imgtex($v$);を&imgtex($\bm{e}_u,\bm{e}\times\bm{e}_u,\bm{e}$);の三つの直交するベクトルの和で表すことを考えると、~
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=|\bm{u}|\cos\theta \bm{e}_u + |\bm{u}|\sin\theta (\bm{e}\times\bm{e}_u) + 0\bm{e}\\ &=\bm{u}\cos\theta + (\bm{e}\times\bm{u})\sin\theta \end{align*});~
***(2) [#q3ec759c]
(1)と同様にして&imgtex($\bm{u}=u_0 \bm{e} + u_1 \bm{e}_1$);を満たし、&imgtex($\bm{e}$);に直交する単位ベクトル&imgtex($\bm{e}_1$);を考える。~
この時&imgtex($\bm{v}$);は、&imgtex($\bm{e}_1=\frac{\bm{u}-u_0\bm{e}}{u_1}$);より~
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=u_1\cos\theta\bm{e}_1 + u_1\sin\theta(\bm{e}\times\bm{e}_1) + u_0\bm{e}\\ &=\cos\theta(\bm{u}-u_0\bm{e}) + \sin\theta(\bm{e}\times\bm{u}) + u_0\bm{e}\\ &=\bm{u}\cos\theta + (\bm{e}\times\bm{u})\sin\theta + \bm{e}(\bm{u}\cdot\bm{e})(1-cos\theta)\end{align*});
***(3) [#g85207b6]
(2)より、&imgtex($\bm{u}=(x,y,z)$);として~
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=\cos\theta  \begin{pmatrix}   x \\ y \\ z  \end{pmatrix}+  \left(xl+ym+zn\right)(1-\cos\theta)  \begin{pmatrix}   l\\m\\n  \end{pmatrix}+\sin\theta  \begin{pmatrix}   mz-ny\\nx-lz\\ly-mx  \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}  (1-l^2)\cos\theta + l^2 & lm(1-\cos\theta)-n\sin\theta & nl(1-\cos\theta) + m\sin\theta\\  lm(1-\cos\theta) + n\sin\theta & (1-m^2)\cos\theta + m^2 & mn(1-\cos\theta) - l\sin\theta\\  nl(1-\cos\theta) - m\sin\theta & mn(1-\cos\theta)+l\sin\theta & (1-n^2)\cos\theta +n^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  x\\y\\z \end{pmatrix}\\ &=T\bm{u}\end{align*});

** 第6問 [#c77cb7e1]
-(1)~
4個のボールを2個の箱に分配するとき、(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),(0,4)の5通りが考えられるが、(4,0)を○○○○｜や、(1,3)を○｜○○○のように、ボールと(S-1)個の仕切りを並べる並べ方の問題と同一視できる。よって~
&imgtex(\[ \frac{(N+S-1)!}{N!(S-1)!} \]);~
通りの分配が存在する。
-(2)~
N<Sの時は考えないことにする。はじめに1個のボールを全ての箱に入れてしまう。そうすれば、残りのN-S個のボールをS個の箱に入れる問題に読み替えることができる。(1)の結果を用いて、~
&imgtex(\[ \frac{(N-1)!}{(N-S)!(S-1)!} \]);~
-(3)~
n>Nといった特殊な状況は考えないことにする。ある箱にn個のボールが入っていれば、残りはN-n個である。また、残りの箱はS-1個である。この分配の仕方は、(1)を用いて、~
&imgtex(\[ \frac{(N-n+S-2)!}{(N-n)!(S-2)!} \]);~
通りである。だから、全ての分配の数で割ることにより~
&imgtex(\begin{eqnarray*} P(n,N,S)&=&\frac{(N-n+S-2)! N!(S-1)!}{(N+S-1)!(N-n)!(S-2)!}=\frac{N(N-1)\cdots(N-n+1) \cdot (S-1)}{(N+S-1)(N+S-2)\cdots (N+S-n-1)} \\ &=& \frac{N^n \quad 1(1-\frac{1}{N})(1-\frac{2}{N})\cdots(1-\frac{n-1}{N}) S (1-\frac{1}{S})}{S^{n+1} (\frac{N}{S}+1-\frac{1}{S})(\frac{N}{S}+1-\frac{2}{S})\cdots (\frac{N}{S}+1-\frac{n+1}{S})} \\ &=& r^n \frac{1(1-\frac{1}{N})(1-\frac{2}{N})\cdots(1-\frac{n-1}{N})(1-\frac{1}{S})}{(r+1-\frac{1}{S})(r+1-\frac{2}{S})\cdots (r+1-\frac{n+1}{S})} \end{eqnarray*});~
なので、~
&imgtex(\[ \lim_{N,S \to \infty , N/S =r} P(n,N,S)= \lim_{N,S \to \infty , N/S =r} r^n \frac{1(1-\frac{1}{N})(1-\frac{2}{N})\cdots(1-\frac{n-1}{N})(1-\frac{1}{S})}{(r+1-\frac{1}{S})(r+1-\frac{2}{S})\cdots (r+1-\frac{n+1}{S})} = \frac{r^n}{(r+1)^{n+1}} \]);~

** コメント [#d43f3e47]
- 第４問の５はどうやって導き出したんですか？ -- [[ooas]] &new{2009-06-04 (木) 11:13:08};
- 2の（2）が、F’’=3/4ff’^(-5/2)f’’^2-1/2ff’^(-3/2)f’’’　と出たんだけど、俺の計算ミスなのかなぁ…？f’^(-3/2)の微分って-(3/2)f’^(-5/2)*f’’になる？ -- [[使途]] &new{2009-08-04 (火) 20:29:36};
- 文字化けするんですね。ごめんなさい。あ、編集で直してみました。 -- [[使途]] &new{2009-08-04 (火) 20:31:02};
- f'^(-3/2) の微分は合成関数の微分になりますね。 ((d/dx) f'^(-3/2)) = (df'/dx) ((d/df') f'^(-3/2)) = f'' *(-3/2) f'^(-5/2) で、-(3/2)f’^(-5/2)*f’’ と同じ結果になるのではないでしょうか。 -- [[tako]] &new{2009-08-05 (水) 00:34:39};
- f'^(-3/2) の微分は合成関数の微分になりますね。 ( (d/dx) f'^(-3/2) ) = (df'/dx) ( (d/df') f'^(-3/2) ) = f'' *(-3/2) f' ^(-5/2) で、-(3/2)f’^(-5/2)*f’’ と同じ結果になるのではないでしょうか。もう一度確認の上、解答が間違っていたら修正して構わないと思います。(tex だと(d が立体でないが)) &imgtex(\[ ( (\frac{d}{dx}) (f')^{-3/2} ) = (\frac{df'}{dx}) ( \frac{d}{df'} (f')^{-3/2} ) = f'' *(-3/2) (f')^{-5/2} \]); -- [[tako]] &new{2009-08-05 (水) 00:34:39};

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