[[院試勉強会]]
*線形代数 [#e8e23dbd]
-さすがに書かなくていいよね。
*複素解析 [#o5eaebb6]
**正則 [#b441c117]
-複素微分可能~
&imgtex(\[\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\]);~
がただ一つの値に収束．
-正則~
&imgtex(D);の全ての点で複素微分可能であるとき、複素関数&imgtex(f(z));は 開集合 &imgtex(D);において正則であるといい，複素関数&imgtex(f(z));は&imgtex(D);上の正則関数であるという
-Cauchy-Riemannの方程式~
&imgtex($f(x+yi)=u(x,y)+i v(x,y)$);と置いた時，~
&imgtex(\[\frac{\partial}{\partial x}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\frac{\partial}{\partial y}\begin{pmatrix}v\\-u\end{pmatrix}\]);~
が成立することが正則であるための必要十分条件．
**積分 [#ye91fa9d]
-&imgtex(\[\oint_{C}\frac{1}{(z-a)^n}dz=\begin{cases}2\pi i\ (n=1)\\0\ (n>1)\end{cases}b\]);
-Cauchyの積分定理~
&imgtex($f(z)$);を正則な関数とするとき，
&imgtex(\[f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-a)}dz\]);
**留数 [#h327e126]
-&imgtex($n$);位の極の留数~
&imgtex(\[\mathrm{Res}_{z=a}=\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-a)^nf(z)\]);
-留数定理~
&imgtex(\[\oint_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{i=1}^n \mathrm{Res}_{z=a_i}f(z)\]);
*フーリエ解析 [#z4cd4acc]
*ベクトル解析 [#j7d028b4]
**基本的な定義 [#zcc7f815]
-内積~
&imgtex($\bm{a}\cdot\bm{b}=a_ib_i$);
-外積~
&imgtex($\bm{a}\times\bm{b}=\varepsilon_{ijk}a_jb_k\bm{e}_i$);
-Levi-Civita symbol（エディントンのイプシロン）~
&imgtex(\begin{align*}\varepsilon_{iab}\varepsilon_{icd}&=\delta_{ac}\delta_{bd}-\delta{ad}\delta_{bc}\\\varepsilon_{ija}\varepsilon_{ijb}&=2\delta_{ab}\\(\varepsilon_{ijk})^2&=1\end{align*});
-公式~
&imgtex(\begin{align*}(\bm{a}\times\bm{b})\cdot(\bm{c}\times\bm{d})&=(\bm{a}\cdot\bm{c})(\bm{b}\cdot\bm{d})-(\bm{a}\cdot\bm{d})(\bm{b}\cdot\bm{c})\\\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})&=\bm{b}(\bm{a}\cdot\bm{b})-\bm{c}(\bm{a}\cdot\bm{b})\\\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})&+\bm{b}\times(\bm{c}\times\bm{a})+\bm{c}\times(\bm{a}\times\bm{b})=\bm{0}\end{align*});
**場の演算 [#x9710bbf]
-勾配~
&imgtex($\grad\phi=\nabla\phi=\begin{pmatrix}\partial_x\phi\\\partial_y\phi\\\partial_z\phi\end{pmatrix}$);~
&imgtex($\grad\phi=d\phi$);（微分形式）~
&imgtex($\nabla f(r)=\frac{\bm{r}}{r}f'(r)$);~
&imgtex($\nabla \frac{1}{r}=-\frac{\bm{r}}{r^3}$);
-発散~
&imgtex($\div\bm{A}=\nabla\cdot\bm{A}=\partial_iA_i$);~
&imgtex($\div\bm{A}=*d*\bm{A}$);~
&imgtex($\div\frac{\bm{r}}{r^3}=4\pi\delta(\bm{r})$);
-回転~
&imgtex($\rot\bm{A}=\nabla\times\bm{A}=\begin{pmatrix}\partial_yA_z-\partial_zA_y\\\partial_zA_x-\partial_xA_z\\\partial_xA_y-\partial_yA_z\end{pmatrix}=\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k\bm{e}_i$);~
&imgtex($\rot\bm{A}=*d\bm{A}$);
-ラプラシアン~
&imgtex($\bigtriangleup\phi=\div\grad\phi=\nabla\cdot\nabla\phi=\partial_i\partial_i\phi$);~
&imgtex($\bigtriangleup\phi=*d*d\phi$);
-場の演算子の関係式~
&imgtex(\begin{align*}\rot\grad\phi&=*dd\phi=\bm{0}\\\div\rot\bm{A}&=*d**d\bm{A}=*d^2\bm{A}=\bm{0}\end{align*});~
**積分 [#me09e104]
-線積分~
&imgtex(\[\int_{C}d\bm{r}\cdot\bm{A}=\int_{t_1}^{t_2}dt\frac{d\bm{r}}{dt}\cdot\bm{A}\]);
-面積分~
&imgtex(\[\iint_S d\bm{S}\cdot\bm{B}=\iint_{S'}dudv\left(\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\bm{r}}{\partial v}\right)\cdot\bm{B}(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\]);
-曲面の面積~
&imgtex(\[\iint_S|d\bm{S}|=\iint_{S'}dudv\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\bm{r}}{\partial v}\right|\]);
-2次元Gauss-Stokesの定理~
&imgtex(\[\iint_D dxdy\left(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\right)=\oint_{\partial D}Xdx+Ydy\]);
-Stokesの定理~
&imgtex(\[\iint_S d\bm{S}\cdot\rot\bm{A}=\oint_{\partial S}d\bm{r}\cdot\bm{A}\]);
-3次元ガウスの定理~
&imgtex(\[\iiint_V dV \div\bm{A}=\iint_{\partial V}d\bm{S}\cdot\bm{A}\]);
-グリーンの公式~
&imgtex(\[\int_V dV\left(\nabla u\cdot\nabla v+u\bigtriangleup v\right)=\int_{\partial V}d\bm{S}\cdot u\nabla v\]);
**フレネセレの公式 [#y5d54ced]
-&imgtex($\bm{r}(s)$);を曲線の弧長パラメータ表示とする．
--接線~
&imgtex($\bm{e}_1=\frac{d\bm{r}(s)}{ds}$);
--法線~
&imgtex($\kappa\bm{e}_2=\frac{d^2 \bm{r}(s)}{ds^2}=\bm{e}'(s)$);
--従法線~
&imgtex($\bm{e}_3=\bm{e}_1\times \bm{e}_2$);
--フレネセレの定理~
&imgtex(\[\begin{pmatrix}\bm{e}_1'\\\bm{e}_2'\\\bm{e}_3'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&\tau&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\bm{e}_1\\\bm{e}_2\\\bm{e}_3\end{pmatrix}\]);
--曲率~
&imgtex($\kappa$);
--曲率半径~
&imgtex($R=\frac{1}{\kappa}$);
--ねじれ率~
&imgtex($\tau$);
*確率 [#u2778ec2]
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