[[数理計画法]]

微分可能な不等式制約条件下での最適化問題で、~
局所最適解が満たすべき必要条件。

- min. &mimetex(f(x));~
s.t. &mimetex(g(x)\leq 0);

- Karush-Kuhn-Tucker条件~
局所最適解&mimetex(\bar{x});について、~
&mimetex(\exists \bar{\lambda}\geq 0);~
&mimetex(\{\mathrm{grad}(f(x)+\bar{\lambda}g(x))\}_{x=\bar{x}}=0);~
&mimetex(\bar{\lambda}\g(\bar{x})=0);（非負ベクトルと非正ベクトルの内積が０なので、成分ごとに０。)
&mimetex(\bar{\lambda}g(\bar{x})=0);（非負ベクトルと非正ベクトルの内積が０なので、成分ごとに０。)
-- 付帯条件として、&mimetex(C_{s}(\bar{x})\subset \mathrm{co}T_{s}(\bar{x}));を仮定する。

- 許容領域~
制約条件を満たす領域。~
&mimetex(S=\{x | g(x)\leq 0 \});
- 接錐~
&mimetex(x);から許容領域の各点に半直線を引いて集めた錐。~
内点からの接錐は全空間。~
&mimetex(T_{S}(x));~
&mimetex(\mathrm{co}T_{S}(x));は&mimetex(T_{S}(x));の凸閉包。
- 法錐~
接錐の極錐。頂点についてひっくり返したもの。~
&mimetex(N_{S}(x)=T_{S}^{*}(x) = \{y | z \in T(x).\ \langle y,z \rangle\leq 0 \});
- 線形化錐~
&mimetex(I(x)=\{i | g_{i}(x)=0\ });~
&mimetex(C_{S}(x) = \{y|\forall i.g_{i}(x)=0\Rightarrow\langle \mathrm{grad}(g_{i}(x)),y \rangle < 0\});~
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