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- 線形空間
-- 係数体&imgtex(\(\mathbb{F}\));でのスカラー倍と，加算の...
--- L1〜L4) 和について可換群
--- L5) &imgtex(\(1x=x\));
--- L6) &imgtex(\((\alpha \beta)x=\alpha (\beta x)\));
--- L7) &imgtex(\((\alpha + \beta)x=\alpha x + \beta x\));
--- L8) &imgtex(\(\alpha (x+y)=\alpha x + \beta y\));
-- この公理だけからいろいろ証明できる．
--- 0元の一意性，&imgtex(\(-x\));の一意性，&imgtex(\((-1)...
-- 閉区間上の連続関数は線形空間
- 一次独立
-- &imgtex(\(\{b_i\}_{i=1}^{n}\));が一次独立であるとは，~
&imgtex(\(\sum_i a_i b_i = 0 \iff \forall i. a_i=0\));と...
- （代数的）基底
-- &imgtex(\(\{b_i\}_{i\in I}\));が代数的基底であるとは，~
&imgtex(\(\{b_i\}\));のうち，任意の有限個のベクトルが一次...
任意のベクトル&imgtex(\(x\));が&imgtex(\(\{b_i\}_{i\in I}...
-- 無限和を扱うには位相が必要．この時点では位相は入ってい...
- 位相的基底
-- 扱う線形空間がバナッハ空間であるときには，~
任意のベクトル&imgtex(\(x\));を基底の無限和&imgtex(\(\sum...
&imgtex(\(\{b_i\}_{i\in I}\));を位相的基底と呼ぶ．
-- ここでの&imgtex(\(I\));は可算集合．
- 次元
-- 基底の位数．&imgtex(\(X\));に対して一意的．
- すべての線形空間には基底が存在する．（選択公理と同値,19...
-- なんか仮定が抜けているような…？
-- 可算な代数的基底は存在しない場合がある。~
例えば、&imgtex(\(\mathbb{R}\));から&imgtex(\(\mathbb{R}\...
&imgtex(\(\mathbb{R}^\mathbb{R}\));は&imgtex(\(\mathbb{R}...
もし存在するなら、任意の&imgtex(\(f\in\mathbb{R}^\mathbb{...
&imgtex(\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{N}\times\mathb...
&imgtex(\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{N}\times\mathb...
- 位相基底が存在するバナッハ空間は可分．
- 代数的基底での表現は一意．
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ノルム空間&imgtex(\(X\));が内積空間であるとは，
以下の公理を見たす写像&imgtex(\((\cdot,\cdot):X\times X\t...
- H1)&imgtex(\((x,y)=\bar{(y,x)}\));
- H2)&imgtex(\((\alpha x,y)=\alpha (x,y)\));
- H3)&imgtex(\((x+y,z)=(x,z)+(y,z)\));
- H4)&imgtex(\((x,x)\geq 0, (x,x)=0 \iff x=0\));
&imgtex(\(X\));を内積空間として，&imgtex(\(\|x\|=\sqrt{(x...
&imgtex(\(\|\cdot\|\));はノルムになっている．
三角不等式はSchwarzの不等式(&imgtex(\(|(x,y)|\leq \|x\|\|...
&imgtex(\(\|x+y\|^2 = (x+y,x+y) = \|x\|^2+\|y\|^2 +(x,y)+...
↑要整理
Scharzの不等式&imgtex(\(|(x,y)|\leq \|x\|\|\|y\|\));~
まず，&imgtex(\((x,y)\in \mathbb{R}\));のときには，
&imgtex(\(\forall\lambda \in \mathbb{R}, 0 \leq \|\lambda...
&imgtex(\(D = (x,y)^2 - \|x\|^2\|y\|^2 \leq 0\));
&imgtex(\((x,y)\in \mathbb{C}\));のときには，&imgtex(\(x'...
フォンノイマンの定理
『ノルム空間&imgtex(\(X\));に，&imgtex(\(\|x\|=\sqrt{(x,x...
&imgtex(\(\iff\));『&imgtex(\(\forall x,y \in X. \|x+y\|^...
&imgtex(\((x,y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+\mat...
とすると，求める内積になっている．
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ベクトル空間 &imgtex(\(\supseteq\)); ノルム空間 &imgtex(\...
ノルム空間 + 完備性 → バナッハ空間~
内積空間 + 完備性 → ヒルベルト空間
完備性~
ノルム空間&imgtex(\(X\));と，点列&imgtex(\(\{x_n\}_{n\in\...
- &imgtex(\(\lim_{n\to\infty}x_n=x \iff \lim_{n\to\infty}...
- &imgtex(\(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\));がコーシー列&imgt...
&imgtex(\(\varepsilon,\delta\));的には，&imgtex(\(\forall...
- &imgtex(\(\lim_{n\to\infty}x_n = x \Rightarrow \|x_n-x_...
『収束列 &imgtex(\(\Rightarrow\)); コーシー列』は常に成立...
コーシー列が常に収束するノルム空間は，完備であるという．
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&imgtex(\(X=\mathbb{R}^d\));は，以下の&imgtex(\(p\));ノル...
&imgtex(\(\|x\|_p=(\sum^{d}_{i=1}|x_i|^p)^{1/p}\));(&imgt...
&imgtex(\(\|x\|_\infty = \max_i |x_i|\));
これがノルムになっていることを示すために，
ミンコフスキの不等式から三角不等式を示せる．
完備性を証明するには，&imgtex(\(\mathbb{R}\));の完備性に...
コーシー列&imgtex(\(\{x_n\}_{n\in\mathbb{R}}\));は，定義...
&imgtex(\(\forall \varepsilon>0, \exists N\in \mathbb{N},...
&imgtex(\(|(x_n)_i-(x_m)_i| \leq \|x_n-x_m\|\));なので，
各成分も個別にコーシー列になっていて，&imgtex(\(\mathbb{R...
成分ごとの収束先を集めたものが，点列全体の収束先になって...
----
数列空間&imgtex(\[l^p = \left\{x\in\mathbb{R}^\mathbb{N}\...
&imgtex(\(\|x\|^p = (\sum_i |x_i|^p)^{1/p}\));(&imgtex(\(...
完備性の証明テンプレート~
コーシー列について，
- 収束先候補を見つける．
- 収束先候補が元の空間に入っていることを示す．
- 実際に収束先候補にコーシー列が収束することを示す．
コーシー列&imgtex(\(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}, x_n \in l^p...
- 成分ごとに&imgtex(\(\mathbb{R}\));中でコーシー列になっ...
成分ごとの収束先&imgtex(\(x_\infty\));がとれる．
- &imgtex(\(\|x_\infty\|<\infty\));を示す．~
数列を有限個で打ち切り，有限の&imgtex(\(d\));次元に射影す...
&imgtex(\(\pi_{\le d}(x_n)\to \pi_{\le d}(x_\infty)\));と...
さらに，&imgtex(\(\mathbb{R}^d\));の三角不等式から，~
&imgtex(\(\|\pi_{\le d}(x_\infty)\|_p \leq \|\pi_{\le d}(...
&imgtex(\(d\to\infty\));のとき，&imgtex(\(\|x_\infty\|_p ...
第一項は0へ行き，第二項は&imgtex(\(x\in l^p\));から有限値．
よって&imgtex(\(\|x_\infty\|_p < \infty\));であり，&imgte...
- &imgtex(\(\|\pi_d(x_n-x_\infty)\|_p \to 0\));
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閉区間からの連続関数&imgtex(\(C[a,b]\));に，supノルムを入...
- 収束先: 各点収束の極限←&imgtex(\(\mathbb{R}\));の完備性
- 収束先の連続性: 連続関数の一様収束極限は連続関数
- ちゃんと収束していることの確認
中線定理が不成立→ヒルベルト空間になっていない．
- &imgtex(\([-1,1]\subseteq\mathbb{R}\));のステップ関数&i...
&imgtex(\(C[a,b]\));に2乗積分ノルムを入れると，
内積空間ではあるが完備にはなっていない．
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Lebesgue空間&imgtex(\(L^p(a,b)=\{f:(a,b)\to\mathbb{R}\mid...
&imgtex(\(a\leq p<\infty\));~
ただし，&imgtex(\(f(x)=g(x).(a.e)\));な&imgtex(\(f,g\));...
&imgtex(\(\|f\|_p = \left(\int_a^b |f(x)|^p \mathrm{d}x\r...
&imgtex(\(L^\infty (a,b) = \{f:(a,b)\to\mathbb{R}|f:\math...
ただし，&imgtex(\(\mathrm{ess\ sup}|f| = \inf_{N | \mu(N)...
&imgtex(\(\|f\|_\infty=\mathrm{ess\ sup}|f|\));についてBa...
&imgtex(\(\|\cdot\|_p\));がノルムになっていることは，~
Minkowskiの不等式(&imgtex(\(\|u+v\|_p \leq \|u\|_p+\|v\|_...
そのうちレポートもしくは演習にするらしい．~
このノルムについて&imgtex(\(L^p\));が完備であることは，~
Lebesgue積分論に立ち入らないといけないので略．
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&imgtex(\(C^1[a,b]\));は&imgtex(\(\|f\|_{C^1} = \|f\|_\in...
証明~
- 収束先: &imgtex(\(x_n(t) = x_n(a)+\int_a^t x'_n(s)\math...
項別積分定理から，極限と積分の順序を交換すれば，&imgtex(\...
- &imgtex(\(x_\infty \in C^1[a,b]\));は&imgtex(\(x_\infty...
- &imgtex(\(x_n \to x_\infty\));もOK.
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Sobolev空間: &imgtex(\[W^{k,p}(a,b)=\left\{f:(a,b)\to\mat...
&imgtex(\[\|f\|_{W^{k,p}}=\left(\sum_{j=0}^k \int_a^b \le...
ただし，微分は弱微分．~
（超関数微分とは別モノ？）
弱微分~
&imgtex(\(\int_a^b u(x)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}...
&imgtex(\(u_j\));を&imgtex(\(u\));の&imgtex(\(j\));階弱導...
&imgtex(\(C^\infty_0\));は，台がコンパクトで滑らかな関数．
変分学の基本定理(&imgtex(\(\int_a^b f(x)\varphi(x)\mathrm...
弱微分の一意性を導ける．
弱微分は超関数微分と一致する．~
Sovolev空間を定義するときには，&imgtex(\(k\));階の弱微分が
関数になっているものだけを集めたもの．
Sovolev空間&imgtex(\(W^{k,p}\));は，&imgtex(\(C^{k,p}\));...
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位相まわりの準備と復習
&imgtex(\(X\));をノルム空間として，
- &imgtex(\(x\in X\));の&imgtex(\(\varepsilon\));近傍&img...
- &imgtex(\(A \subseteq X\));について
-- &imgtex(\(x\));が&imgtex(\(A\));の内点 &imgtex(\(\iff...
-- &imgtex(\(x\));が&imgtex(\(A\));の触点 &imgtex(\(\iff...
- &imgtex(\(A\));の開核&imgtex(\(A^o,A^i\));:&imgtex(\(A\...
-- open kernel
-- interior points
- &imgtex(\(A\));の閉包&imgtex(\(\bar{A},A^c\));:&imgtex(...
-- closure
-- &imgtex(\(A^c\));で補集合を表すこともあるので注意．
- &imgtex(\(A\));が開集合 &imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(A=...
- &imgtex(\(A\));が閉集合 &imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(A=...
- &imgtex(\(A\));が閉集合 &imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(X-...
- &imgtex(\(A\));が開集合 &imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(X-...
-- &imgtex(\(A\));が開~
&imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(\forall x\in A,\exists \vare...
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(\forall x\in X,\forall \va...
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(\forall x\in X,\forall \va...
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(x\));は&imgtex(\(X-A\));の...
&imgtex(\(\iff\));&imgtex(\(X-A\));は閉
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点列を用いた開・閉集合の特徴付け
- &imgtex(\(C \subseteq X\));が閉集合~
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(\forall \{x_i\}_{i\in\math...
-- 背理法で&imgtex(\(\Rightarrow\));を示す．~
&imgtex(\(C\));が閉で，&imgtex(\(\{x_i\}_{i\in \mathbb{N}...
もし&imgtex(\(x \notin C\));ならば，&imgtex(\(x \in X-C\)...
&imgtex(\(X-C\));は開集合なので，&imgtex(\(\exists \varep...
つまり点列&imgtex(\(\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}}\));は&imgtex...
よって&imgtex(\(x \in C\));．
-- こっちも背理法，&imgtex(\(\Leftarrow\));を示す．~
&imgtex(\(C\));が開でないならば，&imgtex(\(X-C\));は開で...
つまり，&imgtex(\(\exists x\in X-C,\forall \varepsilon > ...
この&imgtex(\(x\));について，&imgtex(\(\varepsilon = \fra...
&imgtex(\(U_{\frac{1}{n}}(x) \cap C \neq \emptyset\));で...
ここで，&imgtex(\(x_n \in U_{\frac{1}{n}}(x)\cap C\));と...
これは&imgtex(\(\Rightarrow\));の右側に矛盾するので，仮定...
- &imgtex(\(A \subseteq X\));が開集合~
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(\forall \{x_i\}_{i\in\math...
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ここから有界線形作用素の話
- &imgtex(\(X,Y\));:ノルム空間
- &imgtex(\(A:X\to Y\));:作用素
- 定義域:&imgtex(\(D(A)\));
- 地域:&imgtex(\(R(A)=A\ D(A)\));
- 単射:&imgtex(\(A\ u = A\ v \Rightarrow u=v\));
- 全射:&imgtex(\(A\ D(A) = Y\));
- 全単射: 単射かつ全射
- 逆作用素: &imgtex(\(A\));が全単射のとき，&imgtex(\(\exi...
- 原像(preimage): &imgtex(\(N\subseteq Y\));について，&im...
-- 逆作用素との混同に注意．
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Banachの縮小写像の原理~
- &imgtex(\(X\));: Banach空間
- &imgtex(\(M \subseteq X\));:閉集合
- &imgtex(\(A: M\to M\));:縮小写像
-- &imgtex(\(0\leq \exists \lambda < 1, \forall x,y \in M...
となるとき，&imgtex(\(x^* = A x^*\));となる&imgtex(\(x^* ...
- 不動点定理はいくつかあるが，Banachの不動点定理は，~
不動点の一意性や解の構成ができるあたりが好ましい．
証明~
&imgtex(\(x_{n+1} = A x_n\));と点列を作ると，&imgtex(\(\{...
- &imgtex(\(\|x_{n+1}-x_n\| = \|A x_n - A x_{n-1}\| \leq ...
&imgtex(\(\forall n,m \in \mathbb{N},n>m\));について，~
三角不等式から，~
&imgtex(\begin{eqnarray*}\|x_n - x_m\| &\leq& \|x_n - x_{...
&imgtex(\(X\));は完備なので，&imgtex(\(x_n\to x \in X\));
&imgtex(\(x_0 \in M\));なら，各&imgtex(\(n\in\mathbb{N}\)...
さらに，&imgtex(\(\|A x_n - A x^*\|\leq \lambda \|x_n-x^*...
&imgtex(\(\|A x_n - A x^*\| = \|x_{n+1} - A x^*\| \to 0\)...
&imgtex(\(A x^* = x^*\));
あとは一意性．~
&imgtex(\(A y = y\));となる&imgtex(\(y\in M\));が存在した...
&imgtex(\(\|x^*-y\| = \|A x^* - A y\|\leq \lambda \|x^*-y...
&imgtex(\((1-\lambda)\|x^*-y\| \leq 0\));で，&imgtex(\(\|...
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一回欠席．
たぶん前回はバナッハ空間の連続線形作用素を，ノルムから入...
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有界線形作用素
&imgtex(\[X,Y\]);をバナッハ空間，&imgtex(\[A:X\to Y\]);を...
&imgtex(\[A\]);が有界（bounded）であるとは，~
&imgtex(\[\forall r>0,\exists R>0,\forall x\in X,\|x\|_X ...
言い替えると，任意の有界な集合の像が有界であること．
『線形作用素&imgtex(\[A\]);が有界である』&imgtex(\[\iff\]...
(&imgtex(\[\Leftarrow \]);)は自明．~
(&imgtex(\[\Rightarrow\]);)は，&imgtex(\[A\]);を有界線形...
任意の&imgtex(\[x\in X\]);について，&imgtex(\[B=\left\{\f...
つまり，ある&imgtex(\[R>0\]);をとれて，任意の&imgtex(\[\f...
よって，&imgtex(\[\|Ax\|_Y \leq R \|x\|_X\]);
この命題から，線形有界作用素について，~
&imgtex(\[\sup_{x\in X-\{0\}} \frac{\|Ax\|_Y}{\|x\|_X}\])...
これは&imgtex(\[\mathfrak{L}(X,Y) = \{L:X\to Y \mid L:bou...
性質いくつか．
- &imgtex(\[\|Lx\|_Y \leq \|L\|_{\mathfrak{L}(X,Y)}\|x\|_...
-- &imgtex(\[forall \tilde{x}\in X,\|L\| = \sup_x \frac{\...
- &imgtex(\[\|L_1 + L_2\| \leq \|L_1\|_{\mathfrak{L}(X,Y)...
-- &imgtex(\[\|L_1+L_2\| = \sup_x \frac{\|(L_1+L_2)x\|}{\...
- &imgtex(\[\|L_1 L_2\|_{\mathfrak{L}(X,Z)}\leq \|L_1\|_{...
-- &imgtex(\[\|L_1L2\| = \sup_x \frac{\|L_1L_2x\|}{\|x\|}...
別表現．
&imgtex(\[\|L\|=\sup_{x\neq 0} \frac{\|Lx\|}{\|x\|} = \su...
有界線形作用素の例
- &imgtex(\[L:C[a,b]\to C[a,b]\]);~
&imgtex(\[(Lx)(t) = \int_a^t x(\tau)\mathrm{d}\tau\]);~
&imgtex(\[C[a,b]\]);のノルムは&imgtex(\[\sup\]);ノルム．
&imgtex(\[|(Lx)(t)|\leq \int_a^t \|x\|_\infty \mathrm{d}\...
&imgtex(\[\|Lx\|_\infty \leq (b-a)\|x\|_\infty\]);なので&...
さらに，&imgtex(\[x(t)=1\]);ととれば等号成立なので，&imgt...
レポートあり．締切は6/9正午．松尾先生のメールボックスへ．
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積分変換~
連続関数&imgtex(\[K:[a,b]\times [a,b] \to \mathbb{R}\]);...
線形作用素&imgtex(\[L:C[a,b]\to C[a,b]\]);を&imgtex(\[(Lx...
この&imgtex(\[L\]);は有界線形作用素．~
&imgtex(\[|(Lx)(t)| \leq \left(\int_a^b \|K(t,s)\|\mathrm...
&imgtex(\[X,Y\]);をBanach空間&imgtex(\[L:X\to Y\]);を線形...
『&imgtex(\[L\]);は有界』&imgtex(\[\iff\]);『&imgtex(\[L\...
- &imgtex(\[\Rightarrow\]);)任意の収束列&imgtex(\[x_n \to...
&imgtex(\[\|L x_n - L x\| = \|L(x_n-x)\| \leq \|L\|\|x_n-...
- &imgtex(\[\Leftarrow\]);)もし&imgtex(\[L\]);が連続かつ...
&imgtex(\[\sup_{\|x\|=1}\|Lx\|=\infty\]);なので
&imgtex(\[\forall n>0,\exists x_n \in X,\|x_n\|=1 \wedge ...
この点列を使って&imgtex(\[y_n = \frac{x_n}{n}\]);とすると...
&imgtex(\[\|Ly_n\| \geq 1\]);，&imgtex(\[\|y\|=\frac{1}{n...
&imgtex(\[y_n \to 0\]);なのに&imgtex(\[\|Ly_n\|\geq 1\]);...
&imgtex(\[L\]);の連続性い反する．~
よって&imgtex(\[L\]);は有界．
----
有界線形作用素のなす空間~
&imgtex(\[X,Y\]);をノルム空間，&imgtex(\[\mathfrak{L}(X,Y...
ノルムは作用素ノルム．
&imgtex(\[X\]);をノルム空間，&imgtex(\[Y\]);をBanach空間...
&imgtex(\[\mathfrak{L}(X,Y)\]);はバナッハ空間．
- 任意の&imgtex(\[\{L_n\}\]);を&imgtex(\[\mathfrak{L}(X,Y...
各&imgtex(\[x\in L\]);について，&imgtex(\[\{L_n x\}\]);は...
これを&imgtex(\[x\]);から&imgtex(\[y\]);の関数と見なして&...
- TODO:&imgtex(\[L\]);の有界性の証明
- TODO:&imgtex(\[L_n \to L\]);の証明
来週は多分休講
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このあたりでコンパクトとかの話をしたはず．
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- 閉グラフ定理と一様有界性定理
-- Baireの定理
Cantor's nested interval principle~
&imgtex(\[X\]);:Banach空間~
&imgtex(\[B_n(x_n,r_n)=\{x\in X \mid \|x-x_n\|\leq r_n\}\...
&imgtex(\[B_1 \supseteq B_2 \supseteq \dots,\ r_n\to 0\])...
&imgtex(\[B=\bigcap_{n=1}^\infty B_n\]);は&imgtex(\[X\]);...
（射影的極限っぽい？）
Proof．~
- まず&imgtex(\[\exists x \in B\]);を示す．~
&imgtex(\[r_n\to 0\]);なので，&imgtex(\[\{x_n\}\]);はCauc...
&imgtex(\[X\]);は完備なので，収束先&imgtex(\[x_n \to x\])...
各&imgtex(\[n\]);について，&imgtex(\[\forall k\geq n,x_k\...
&imgtex(\[B_n\]);は閉集合なので，&imgtex(\[\lim_{k\to\inf...
ゆえに&imgtex(\[x \in \bigcap_{n=1}^\infty B_n = B\]);
- 次は一意性．~
&imgtex(\[x,y \in B\]);とすると，&imgtex(\[\|x-y\|\leq \|...
BaireのCategory定理~
&imgtex(\[X\]);:Banach~
&imgtex(\[X=\cup_{n=1}^\infty X_n,\ X_n: \text{closed set...
&imgtex(\[X_n\]);のうち少なくとも1つは&imgtex(\[X\]);の開...
（測度0の集合可算個では覆えない，的なイメージ？）
- &imgtex(\[X_n\]);のうち少なくとも1つは内点を含む．
- Banach空間は第2類集合．
-- &imgtex(\[X\]);: norm space, &imgtex(\[M\subseteq X\])...
--- &imgtex(\[M\]);が全疎(nowhere dence)とは，~
&imgtex(\[\mathrm{internal}\ \mathrm{closure}M = \emptyse...
--- &imgtex(\[M\]);:第1類(first category)であるとは，~
全疎集合の列&imgtex(\[\{M_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]);によっ...
--- &imgtex(\[M\]);が第2類(second category)であるとは，第...
Proof.~
背理法で示す．&imgtex(\[\forall X_n\]);が開球を含まないと...
&imgtex(\[F_n = X-X_n\]);と置く．&imgtex(\[F_n\]);は開集...
まず&imgtex(\[F_1\]);は空でないので，~
&imgtex(\[\exists a_1 \in F_1,\ \exists r_1 < \frac{1}{2}...
次に，&imgtex(\[U(a_1,r_1)\cap F_2 \neq \emptyset\]);．~
もし&imgtex(\[=\emptyset\]);なら，&imgtex(\[U(a_1,r_1)\su...
仮定に反する．~
交わりも開集合なので，&imgtex(\[\exists a_2,\exists r_2<\...
これを繰り返して，開球列&imgtex(\[U(a_n,r_n)\]);で，
&imgtex(\[\mathrm{closure}\ U(a_n,r_n) \subseteq U(a_{n-1...
閉球列&imgtex(\[\{\mathrm{closure}\ U(a_n,r_n)\}\]);にCan...
ところで，&imgtex(\[\mathrm{closure}\ U(a_n,r_n) \subsete...
&imgtex(\[x \in F_n = X-X_n\]);であり，&imgtex(\[\forall ...
しかし，&imgtex(\[x\in X\]);なのでこれは&imgtex(\[X=\bigc...
ゆえに背理法の仮定である『&imgtex(\[\forall X_n\]);が開球...
一様有界性定理~
&imgtex(\[X\]);:Banach~
&imgtex(\[Y\]);:norm space~
&imgtex(\[L_n \in \mathcal{L}(X,Y),\ n=1,2,\dots\]);（線...
について，~
&imgtex(\[\left[\forall x\in X,\sup_n \|L_n x\|_Y < \inft...
となる．
Proof.~
&imgtex(\[\Leftarrow\]);）自明．~
&imgtex(\[\Rightarrow\]);）~
&imgtex(\[m=1,2,\dots\]);について，&imgtex(\[X_m = \left\...
&imgtex(\[X_m\]);はBaireのCategory定理の仮定を満たす．(&i...
- &imgtex(\[X_m\]);が閉であることの証明~
&imgtex(\[\{x_k\},\ x_k\in X_m,\ x_k\to x\in X\]);と収束...
&imgtex(\[x_k \in X_m\]);から，&imgtex(\[\|L_n x_k \|\leq...
&imgtex(\[L_n,\|\cdot\|\]);の連続性から，&imgtex(\[m \geq...
- &imgtex(\[X=\bigcup_{n=1}^\infty X_m\]);の証明~
&imgtex(\[\forall x\in X\]);について，&imgtex(\[\sup_n \|...
&imgtex(\[\sup_n\|L_n x\| \leq \exists M \|x\|\]);となる．~
&imgtex(\[m \geq M \|x\|\]);ととれば&imgtex(\[x \in X_m\]...
なので&imgtex(\[X = \bigcup_{n=1}^\infty X_n\]);
Baireの定理から，少なくとも1つの&imgtex(\[X_m\]);は開球を...
&imgtex(\[\exists M,U(a,r),\ \mathrm{closure}\ U(a,r) \su...
&imgtex(\[\Rightarrow \forall x \in U(a,r),\forall n, \|L...
ここから&imgtex(\[\forall x \in X\]);について，~
&imgtex(\[\| L_n x\|= \frac{\|x\|}{r}\left\|L_n \left(\fr...
&imgtex(\[\therefore \|L_n\| \leq \frac{2M}{r}\]);で，&im...
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6/16は休講
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開写像定理~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間~
&imgtex(\[L \in \mathfrak{L}(X,Y)\]);について，~
『&imgtex(\[L\]);は全射』&imgtex(\[\Rightarrow\]);『&imgt...
証明~
- まず『&imgtex(\[\exists \eta>0,LU_X(0,1)\supseteq U_Y(0...
&imgtex(\[U_X(x,r)\]);は，中心&imgtex(\[x\]);で半径&imgte...
&imgtex(\[L\]);の線形性から，(1)は&imgtex(\[\forall \delt...
&imgtex(\[X\]);の開集合&imgtex(\[G\]);と&imgtex(\[v\in LG...
&imgtex(\[u \in L^{-1}(\{v\})\]);を一つ選ぶ．~
&imgtex(\[G\]);は開なので&imgtex(\[\exists \delta>0,G\sup...
線形性から&imgtex(\[LG \supseteq LU_X(u,\delta) = Lu + LU...
&imgtex(\[\therefore v\]);は内点．任意の&imgtex(\[LG\]);...
- 次，&imgtex(\[\exists\rho,\overline{LU_X(0,1)}\supseteq...
&imgtex(\[L\]);の全射性&imgtex(\[LX=Y\]);の仮定から，~
&imgtex(\[Y=LX=L\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_X(0,n)=\bigcup_...
BaireのCategory定理から，&imgtex(\[LU_X(0,n),\ n\in\mathb...
ゆえに&imgtex(\[\exists n\in\mathbb{N},u\in Y,\delta>0,\o...
&imgtex(\[v\in U_Y(0,\delta)\]);を適当に選ぶ．~
&imgtex(\[v=(u+v)-u\]);と書き，&imgtex(\[u+v,u\in U_Y(0,\...
&imgtex(\[U_X(0,N)\]);内の点列&imgtex(\[\{u_k\},\{\tilde{...
&imgtex(\[u_k-\tilde{u}_k \in U_X(0,2N)\]);かつ&imgtex(\[...
&imgtex(\[\rho = \frac{\delta}{2N}\]);と全体をスケーリン...
&imgtex(\[\overline{LU_X(0,1)\supseteq U_Y(0,\rho)}\]);
- 最後，この&imgtex(\[\rho\]);について&imgtex(\[LU_X(0,2)...
示すべきは&imgtex(\[\forall v\in U_Y(0,\rho),\exists u\in...
&imgtex(\[\{\varepsilon_k\}_{k\in\mathbb{N}}\]);を
&imgtex(\[\varepsilon_k>0,\sum_{k\in\mathbb{N}} \varepsil...
&imgtex(\[\overline{LU_X(0,\varepsilon_k)}\supseteq U_Y(0...
&imgtex(\[\exists u_0\in U_X(0,1),\ \|v-Lu_0\|<\varepsilo...
&imgtex(\[\exists u_1\in U_X(0,\varepsilon_1),\ \|(v-Lu_0...
&imgtex(\[\exists u_k\in U_X(0,\varepsilon_k),\ \left\|\l...
&imgtex(\[u=\sum_{k\in\mathbb{N}}u_k\]);とすれば&imgtex(\...
&imgtex(\[u\in U_X(0,2)\]);かつ&imgtex(\[Lu=v\]);
開写像定理の応用~
Banachの連続逆写像定理~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間~
&imgtex(\[L\in \mathfrak{L}(X,Y)\]);について，~
『Lが全単射』&imgtex(\[\Rightarrow\]);『逆写像&imgtex(\[L...
well-posedness principle~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間~
&imgtex(\[L\in \mathfrak{L}(X,Y)\]);についての方程式，&im...
『&imgtex(\[\forall v\in Y,\exists! u\in X,Lu=v\]);であり...
&imgtex(\[\iff\]);『&imgtex(\[\forall v\in Y,\exists u\in...
（つまり&imgtex(\[\mathrm{ker}L=\{0\}\]);なら&imgtex(\[L\...
期末試験は7/21
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閉作用素~
微分作用素: &imgtex(\[L:x \in C^1[a,b]\mapsto \frac{dx}{d...
微分作用素は&imgtex(\[C[a,b]\]);のノルムについては，典型...
しかし，&imgtex(\[C^1[a,b]\]);に&imgtex(\[\|x\|_{C^1[a,b]...
&imgtex(\[L\]);はこのノルムのもとでは有界作用素．~
しかも&imgtex(\[C[a,b]\]);はこのノルムについて完備である．
これを一般化する．~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間，~
&imgtex(\[L:\mathrm{dom}(L) \subseteq X\to Y\]);:線型作用...
&imgtex(\[\mathrm{dom}(L)\]);に&imgtex(\[\|x\|_{\mathrm{d...
&imgtex(\[L: \mathrm{dom}(L) \to Y\]);が有界で，このノル...
&imgtex(\[L\]);を閉作用素と呼ぶ．
グラフ~
ノルム空間&imgtex(\[X,Y\]);上の&imgtex(\[\mathrm{dom}(L)\...
&imgtex(\[G(L) = \{\langle x,Lx \rangle \mid x \in \mathr...
&imgtex(\[\|x\|_{\mathrm{dom}(L)} = \|x\|_X+\|Lx\|_Y\]);...
さらに，&imgtex(\[X,Y\]);がBanach空間で，&imgtex(\[\mathr...
&imgtex(\[L\]);は閉作用素であるという．
Prop~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間，&imgtex(\[L:\mathrm{dom}(L)...
以下の3条件は同値
- &imgtex(\[L\]);は閉作用素．
- &imgtex(\[G(L)\]);は&imgtex(\[X\times Y\]);の閉部分空間
- 任意の点列&imgtex(\[\{x_n \in \mathrm{dom}(L)\}_{n\in\m...
-- 連続性: &imgtex(\[x_n \to x \Rightarrow Lx_n \to Lx\]);
-- 閉: &imgtex(\[x_n \to x \wedge Lx_n \to y \Rightarrow ...
Prop~
連続作用素は閉作用素~
証明は&imgtex(\[\|\cdot\|_X\]);と&imgtex(\[\|\cdot\|_{\ma...
閉グラフ定理~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間，&imgtex(\[L:\mathrm{dom}(L)...
&imgtex(\[\mathrm{dom}(L)=X \Rightarrow L \in \mathcal{L}...
証明~
仮定から&imgtex(\[X\]);は&imgtex(\[\|\cdot\|_{\mathrm{dom...
さらにBanach空間なので&imgtex(\[\|\cdot\|_X\]);についても...
&imgtex(\[\|x\|_X \leq \|X\|_{\mathrm{dom}(L)}\]);なので...
恒等作用素は全単射なので，開写像定理から
&imgtex(\[(X,\|\cdot\|_X)\]);から&imgtex(\[(X,\|\cdot\|_{...
よって&imgtex(\[\|Lx\|_Y \leq \|x\|_X + \|Lx\|_Y = \|x\|_...
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コンパクト作用素~
&imgtex(\[X\]);:Banach空間として，~
『&imgtex(\[C\subseteq X\]);が（点列）コンパクト』~
&imgtex(\[\iff\]);『任意の点列&imgtex(\[\{x_n\}_{n\in\mat...
『&imgtex(\[D\subseteq X\]);が相対コンパクト』&imgtex(\[\...
Prop.~
『&imgtex(\[D\]);が相対コンパクト』~
&imgtex(\[\iff\]);『任意の&imgtex(\[D\]);内の点列&imgtex(...
Proof.~
- (相対コンパクト&imgtex(\[\Rightarrow\]);収束部分列)~
&imgtex(\[x_n \in D \subseteq \overline{D}\]);なので，&im...
- (相対コンパクト&imgtex(\[\Leftarrow\]);収束部分列)~
任意の&imgtex(\[\overline{D}\]);内の点列
&imgtex(\[\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]);について，~
&imgtex(\[\|x_n-y_n\|<\frac{1}{n}\]);となるように&imgtex(...
この&imgtex(\[\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]);については収束...
それを&imgtex(\[x_{n_k}\to x x \in \overline{D}\]);とする...
&imgtex(\[\|x_{n_k}-y_{n_k}\|\leq \|x_{n_k}-x\|+\|x_{n_k}...
レポート問題の定理1は，&imgtex(\[M\]);が有限&imgtex(\[\va...
l&imgtex(\[\mathbb{R}^d\]);では，コンパクト&imgtex(\[\iff...
関数空間がコンパクトになるには？
Theorem (Ascoli-Arzela)~
&imgtex(\[X=C[a,b]\]);に一様ノルムを入れたとき，~
『&imgtex(\[M\subseteq X\]);が相対コンパクト』~
&imgtex(\[\Leftarrow\]);『&imgtex(\[M\]);が一様有界，(&im...
同程度連続~
&imgtex(\[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0,\fo...
『相対コンパクト』&imgtex(\[\iff\]);『全有界』&imgtex(\[\...
Proof.『相対コンパクト』&imgtex(\[\Leftarrow\]);『一様有...
任意の&imgtex(\[M\]);内の点列&imgtex(\[\{x_n\}_{n\in\math...
&imgtex(\[Q=\mathbb{Q}\cap [a,b]\]);として&imgtex(\[Q=\{r...
- 対角線論法で収束先の候補を作る．~
引数を&imgtex(\[r_1\]);に固定して&imgtex(\[x_n(r_1)\]);を...
&imgtex(\[\{x_n(r_1)\}_{n\in\mathbb{N}}\]);は有界な実数列...
収束部分列を取れて，&imgtex(\[x_n^{(1)}(r_1)\to w_1\in\ma...
&imgtex(\[r_1\]);上での値が&imgtex(\[w_1\]);に収束するよ...
同様に，関数列&imgtex(\[\{x_n^{(1)}\}_{n\in\mathbb{N}}\])...
以下同様にして，関数列&imgtex(\[\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\...
得られた&imgtex(\[\{x_n^{(i)}\}_{n\in\mathbb{N},i\in\math...
&imgtex(\[y_n=x_n^{(n)}\]);として関数列&imgtex(\[\{y_n\}_...
各&imgtex(\[r_i\]);について，&imgtex(\[y_n(r_i)\to w_i\])...
これで有理数上で収束する関数の部分列がとれた．
- &imgtex(\[\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]);はCauchy列．~
同程度連続性から，&imgtex(\[\forall \varepsilon>0\]);につ...
&imgtex(\[|t-t'|<\delta\]);ならば&imgtex(\[\|y_n(t)-y_n(t...
&imgtex(\[Q\]);を刻み幅&imgtex(\[\delta/2\]);未満に分割し...
&imgtex(\[\forall t\in [a,b]\]);について&imgtex(\[\exists...
step 1から，各&imgtex(\[t_i\]);について&imgtex(\[\{y_n(t_...
&imgtex(\[\forall \varepsilon >0,\exists N>0,\ \forall m,...
&imgtex(\[|y_n(t)-y_m(t)|\leq |y_n(t)-y_n(t_i)|+|y_n(t_i)...
よって&imgtex(\[\forall n,m>N,\ \|y_n-y_m\|\leq 3\varepsi...
l&imgtex(\[X\]);はBanachなので&imgtex(\[\{y_n\}_{n\in\mat...
コンパクト作用素~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banachと，線形とは限らない&imgtex(\[A:X...
『&imgtex(\[A\]);がコンパクト作用素』&imgtex(\[\iff\]);『...
本によってはコンパクト作用素の定義で&imgtex(\[A\]);に連続...
この講義では連続かつコンパクトな作用素は完全連続という．~
さらに，本によっては線形作用素に限定して考えているものも...
その場合はコンパクトなら自動的に連続．
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コンパクト作用素の例~
&imgtex(\[X=Y=C[a,b]\]);
&imgtex(\[Q=\{(s,t,r)\in\mathbb{R}^3\mid s,t\in [a,b],|x|...
&imgtex(\[F(t,s,x): Q \to \mathbb{R}\]);，連続関数．~
&imgtex(\[D=\{x\in X\mid \|x\|_\infty \leq r\}\]);
&imgtex(\[A:D\to Y\]);~
&imgtex(\[x(t)\mapsto (Ax)(t)=\int_a^b F(t,s,x(s))\mathrm...
という作用素&imgtex(\[A\]);は連続かつコンパクト．
コンパクト集合上の連続集合は一様連続なので，~
&imgtex(\[\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\max(|t-...
まずは&imgtex(\[Ax \in C[a,b]\]);を示す．~
これはついでに&imgtex(\[A(D)\]);の同程度連続性の証明にも...
&imgtex(\[\varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall t,t',\ |...
次，&imgtex(\[A\]);の連続性．~
&imgtex(\[\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\|x-y\|<...
&imgtex(\begin{eqnarray*}\|Ax-Ay\|&=&\max_t\left|\int_a^b...
&imgtex(\[A\]);のコンパクト性~
&imgtex(\[A(D)\]);が相対コンパクトであることを言えばよい．~
Ascoli-Arzelaの定理から，&imgtex(\[A(D)\]);が一様有界で同...
同程度連続であることは，&imgtex(\[Ax\]);の連続性証明で，&...
一様有界性の方は，&imgtex(\[\forall x\in D,\ |(Ax)(t)|\le...
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&imgtex(\[X\]);: Banach，&imgtex(\[L: X\to X,\ linear\]);...
&imgtex(\[Lx-\lambda x = y\]);が任意の&imgtex(\[y\in X\])...
無限次元のときには&imgtex(\[\lambda\in\mathbb{C}\]);の値...
- &imgtex(\[L-\lambda I\]);が単射でない．
-- &imgtex(\[\lambda\]);を固有値と呼ぶ．&imgtex(\[\lambda...
- &imgtex(\[L-\lambda I\]);は全単射だが，&imgtex(\[(L-\la...
-- &imgtex(\[\lambda\]);はレゾルベント．&imgtex(\[\lambda...
- &imgtex(\[L-\lambda I\]);は全単射だが，&imgtex(\[(L-\la...
-- &imgtex(\[\lambda\in\sigma(L)\]);
&imgtex(\[\sigma(L)\]);:スペクトル．~
&imgtex(\[\sigma_p(L)\]);:固有値の集合，点スペクトル．~
&imgtex(\[\rho(L)\]);:レゾルベント集合．
&imgtex(\[(Ax)(t)=\frac{dx}{dt},\ A:C[0,1]\to C[0,1]\]);...
&imgtex(\[\sigma_p(A)=\mathbb{C},\ \rho(A)=\emptyset\]);
&imgtex(\[(A_0x)(t)=\frac{dx}{dt},\ A_0:\{x\in C[0,1]\mid...
&imgtex(\[\sigma_p(A_0)=\emptyset,\ \rho(A_0)=\mathbb{C}\...
&imgtex(\[(Bx)(t)=tx,\ B:C[0,1]\to C[0,1]\]);では，~
&imgtex(\[\sigma(B)=[0,1],\ \sigma_p(B)=\emptyset,\ \rho(...
Prop.~
&imgtex(\[L\]);:コンパクトな線形作用素については，
&imgtex(\[\sigma(A)\]);は高々可算個の点から成り，~
&imgtex(\[\sigma(A)\]);に集積点があれば0のみ．~
0以外のスペクトルは&imgtex(\[\rho_p(L)\]);に属する．
Theorem (Riesz-Schauderの交代定理)~
&imgtex(\[L\]);:コンパクトな線形作用素と，
&imgtex(\[Lx-\lambda x=y\]);について，~
&imgtex(\[\lambda\in\mathbb{C}\]);の値に依って~
- &imgtex(\[\forall y,\exists x=(L-\lambda I)^{-1}y\]);
- &imgtex(\[Lx-\lambda x=0\]);が&imgtex(\[x\neq 0\]);の解...
のどちらか片方が起こる．
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レポート課題その2．
締切は7/21~
試験は7/21（火）~
A4一枚持ち込み可
終了行:
[[FrontPage]]
- 線形空間
-- 係数体&imgtex(\(\mathbb{F}\));でのスカラー倍と，加算の...
--- L1〜L4) 和について可換群
--- L5) &imgtex(\(1x=x\));
--- L6) &imgtex(\((\alpha \beta)x=\alpha (\beta x)\));
--- L7) &imgtex(\((\alpha + \beta)x=\alpha x + \beta x\));
--- L8) &imgtex(\(\alpha (x+y)=\alpha x + \beta y\));
-- この公理だけからいろいろ証明できる．
--- 0元の一意性，&imgtex(\(-x\));の一意性，&imgtex(\((-1)...
-- 閉区間上の連続関数は線形空間
- 一次独立
-- &imgtex(\(\{b_i\}_{i=1}^{n}\));が一次独立であるとは，~
&imgtex(\(\sum_i a_i b_i = 0 \iff \forall i. a_i=0\));と...
- （代数的）基底
-- &imgtex(\(\{b_i\}_{i\in I}\));が代数的基底であるとは，~
&imgtex(\(\{b_i\}\));のうち，任意の有限個のベクトルが一次...
任意のベクトル&imgtex(\(x\));が&imgtex(\(\{b_i\}_{i\in I}...
-- 無限和を扱うには位相が必要．この時点では位相は入ってい...
- 位相的基底
-- 扱う線形空間がバナッハ空間であるときには，~
任意のベクトル&imgtex(\(x\));を基底の無限和&imgtex(\(\sum...
&imgtex(\(\{b_i\}_{i\in I}\));を位相的基底と呼ぶ．
-- ここでの&imgtex(\(I\));は可算集合．
- 次元
-- 基底の位数．&imgtex(\(X\));に対して一意的．
- すべての線形空間には基底が存在する．（選択公理と同値,19...
-- なんか仮定が抜けているような…？
-- 可算な代数的基底は存在しない場合がある。~
例えば、&imgtex(\(\mathbb{R}\));から&imgtex(\(\mathbb{R}\...
&imgtex(\(\mathbb{R}^\mathbb{R}\));は&imgtex(\(\mathbb{R}...
もし存在するなら、任意の&imgtex(\(f\in\mathbb{R}^\mathbb{...
&imgtex(\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{N}\times\mathb...
&imgtex(\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{N}\times\mathb...
- 位相基底が存在するバナッハ空間は可分．
- 代数的基底での表現は一意．
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ノルム空間&imgtex(\(X\));が内積空間であるとは，
以下の公理を見たす写像&imgtex(\((\cdot,\cdot):X\times X\t...
- H1)&imgtex(\((x,y)=\bar{(y,x)}\));
- H2)&imgtex(\((\alpha x,y)=\alpha (x,y)\));
- H3)&imgtex(\((x+y,z)=(x,z)+(y,z)\));
- H4)&imgtex(\((x,x)\geq 0, (x,x)=0 \iff x=0\));
&imgtex(\(X\));を内積空間として，&imgtex(\(\|x\|=\sqrt{(x...
&imgtex(\(\|\cdot\|\));はノルムになっている．
三角不等式はSchwarzの不等式(&imgtex(\(|(x,y)|\leq \|x\|\|...
&imgtex(\(\|x+y\|^2 = (x+y,x+y) = \|x\|^2+\|y\|^2 +(x,y)+...
↑要整理
Scharzの不等式&imgtex(\(|(x,y)|\leq \|x\|\|\|y\|\));~
まず，&imgtex(\((x,y)\in \mathbb{R}\));のときには，
&imgtex(\(\forall\lambda \in \mathbb{R}, 0 \leq \|\lambda...
&imgtex(\(D = (x,y)^2 - \|x\|^2\|y\|^2 \leq 0\));
&imgtex(\((x,y)\in \mathbb{C}\));のときには，&imgtex(\(x'...
フォンノイマンの定理
『ノルム空間&imgtex(\(X\));に，&imgtex(\(\|x\|=\sqrt{(x,x...
&imgtex(\(\iff\));『&imgtex(\(\forall x,y \in X. \|x+y\|^...
&imgtex(\((x,y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+\mat...
とすると，求める内積になっている．
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ベクトル空間 &imgtex(\(\supseteq\)); ノルム空間 &imgtex(\...
ノルム空間 + 完備性 → バナッハ空間~
内積空間 + 完備性 → ヒルベルト空間
完備性~
ノルム空間&imgtex(\(X\));と，点列&imgtex(\(\{x_n\}_{n\in\...
- &imgtex(\(\lim_{n\to\infty}x_n=x \iff \lim_{n\to\infty}...
- &imgtex(\(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\));がコーシー列&imgt...
&imgtex(\(\varepsilon,\delta\));的には，&imgtex(\(\forall...
- &imgtex(\(\lim_{n\to\infty}x_n = x \Rightarrow \|x_n-x_...
『収束列 &imgtex(\(\Rightarrow\)); コーシー列』は常に成立...
コーシー列が常に収束するノルム空間は，完備であるという．
----
&imgtex(\(X=\mathbb{R}^d\));は，以下の&imgtex(\(p\));ノル...
&imgtex(\(\|x\|_p=(\sum^{d}_{i=1}|x_i|^p)^{1/p}\));(&imgt...
&imgtex(\(\|x\|_\infty = \max_i |x_i|\));
これがノルムになっていることを示すために，
ミンコフスキの不等式から三角不等式を示せる．
完備性を証明するには，&imgtex(\(\mathbb{R}\));の完備性に...
コーシー列&imgtex(\(\{x_n\}_{n\in\mathbb{R}}\));は，定義...
&imgtex(\(\forall \varepsilon>0, \exists N\in \mathbb{N},...
&imgtex(\(|(x_n)_i-(x_m)_i| \leq \|x_n-x_m\|\));なので，
各成分も個別にコーシー列になっていて，&imgtex(\(\mathbb{R...
成分ごとの収束先を集めたものが，点列全体の収束先になって...
----
数列空間&imgtex(\[l^p = \left\{x\in\mathbb{R}^\mathbb{N}\...
&imgtex(\(\|x\|^p = (\sum_i |x_i|^p)^{1/p}\));(&imgtex(\(...
完備性の証明テンプレート~
コーシー列について，
- 収束先候補を見つける．
- 収束先候補が元の空間に入っていることを示す．
- 実際に収束先候補にコーシー列が収束することを示す．
コーシー列&imgtex(\(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}, x_n \in l^p...
- 成分ごとに&imgtex(\(\mathbb{R}\));中でコーシー列になっ...
成分ごとの収束先&imgtex(\(x_\infty\));がとれる．
- &imgtex(\(\|x_\infty\|<\infty\));を示す．~
数列を有限個で打ち切り，有限の&imgtex(\(d\));次元に射影す...
&imgtex(\(\pi_{\le d}(x_n)\to \pi_{\le d}(x_\infty)\));と...
さらに，&imgtex(\(\mathbb{R}^d\));の三角不等式から，~
&imgtex(\(\|\pi_{\le d}(x_\infty)\|_p \leq \|\pi_{\le d}(...
&imgtex(\(d\to\infty\));のとき，&imgtex(\(\|x_\infty\|_p ...
第一項は0へ行き，第二項は&imgtex(\(x\in l^p\));から有限値．
よって&imgtex(\(\|x_\infty\|_p < \infty\));であり，&imgte...
- &imgtex(\(\|\pi_d(x_n-x_\infty)\|_p \to 0\));
----
閉区間からの連続関数&imgtex(\(C[a,b]\));に，supノルムを入...
- 収束先: 各点収束の極限←&imgtex(\(\mathbb{R}\));の完備性
- 収束先の連続性: 連続関数の一様収束極限は連続関数
- ちゃんと収束していることの確認
中線定理が不成立→ヒルベルト空間になっていない．
- &imgtex(\([-1,1]\subseteq\mathbb{R}\));のステップ関数&i...
&imgtex(\(C[a,b]\));に2乗積分ノルムを入れると，
内積空間ではあるが完備にはなっていない．
----
Lebesgue空間&imgtex(\(L^p(a,b)=\{f:(a,b)\to\mathbb{R}\mid...
&imgtex(\(a\leq p<\infty\));~
ただし，&imgtex(\(f(x)=g(x).(a.e)\));な&imgtex(\(f,g\));...
&imgtex(\(\|f\|_p = \left(\int_a^b |f(x)|^p \mathrm{d}x\r...
&imgtex(\(L^\infty (a,b) = \{f:(a,b)\to\mathbb{R}|f:\math...
ただし，&imgtex(\(\mathrm{ess\ sup}|f| = \inf_{N | \mu(N)...
&imgtex(\(\|f\|_\infty=\mathrm{ess\ sup}|f|\));についてBa...
&imgtex(\(\|\cdot\|_p\));がノルムになっていることは，~
Minkowskiの不等式(&imgtex(\(\|u+v\|_p \leq \|u\|_p+\|v\|_...
そのうちレポートもしくは演習にするらしい．~
このノルムについて&imgtex(\(L^p\));が完備であることは，~
Lebesgue積分論に立ち入らないといけないので略．
----
&imgtex(\(C^1[a,b]\));は&imgtex(\(\|f\|_{C^1} = \|f\|_\in...
証明~
- 収束先: &imgtex(\(x_n(t) = x_n(a)+\int_a^t x'_n(s)\math...
項別積分定理から，極限と積分の順序を交換すれば，&imgtex(\...
- &imgtex(\(x_\infty \in C^1[a,b]\));は&imgtex(\(x_\infty...
- &imgtex(\(x_n \to x_\infty\));もOK.
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Sobolev空間: &imgtex(\[W^{k,p}(a,b)=\left\{f:(a,b)\to\mat...
&imgtex(\[\|f\|_{W^{k,p}}=\left(\sum_{j=0}^k \int_a^b \le...
ただし，微分は弱微分．~
（超関数微分とは別モノ？）
弱微分~
&imgtex(\(\int_a^b u(x)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}...
&imgtex(\(u_j\));を&imgtex(\(u\));の&imgtex(\(j\));階弱導...
&imgtex(\(C^\infty_0\));は，台がコンパクトで滑らかな関数．
変分学の基本定理(&imgtex(\(\int_a^b f(x)\varphi(x)\mathrm...
弱微分の一意性を導ける．
弱微分は超関数微分と一致する．~
Sovolev空間を定義するときには，&imgtex(\(k\));階の弱微分が
関数になっているものだけを集めたもの．
Sovolev空間&imgtex(\(W^{k,p}\));は，&imgtex(\(C^{k,p}\));...
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位相まわりの準備と復習
&imgtex(\(X\));をノルム空間として，
- &imgtex(\(x\in X\));の&imgtex(\(\varepsilon\));近傍&img...
- &imgtex(\(A \subseteq X\));について
-- &imgtex(\(x\));が&imgtex(\(A\));の内点 &imgtex(\(\iff...
-- &imgtex(\(x\));が&imgtex(\(A\));の触点 &imgtex(\(\iff...
- &imgtex(\(A\));の開核&imgtex(\(A^o,A^i\));:&imgtex(\(A\...
-- open kernel
-- interior points
- &imgtex(\(A\));の閉包&imgtex(\(\bar{A},A^c\));:&imgtex(...
-- closure
-- &imgtex(\(A^c\));で補集合を表すこともあるので注意．
- &imgtex(\(A\));が開集合 &imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(A=...
- &imgtex(\(A\));が閉集合 &imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(A=...
- &imgtex(\(A\));が閉集合 &imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(X-...
- &imgtex(\(A\));が開集合 &imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(X-...
-- &imgtex(\(A\));が開~
&imgtex(\(\iff\)); &imgtex(\(\forall x\in A,\exists \vare...
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(\forall x\in X,\forall \va...
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(\forall x\in X,\forall \va...
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(x\));は&imgtex(\(X-A\));の...
&imgtex(\(\iff\));&imgtex(\(X-A\));は閉
----
点列を用いた開・閉集合の特徴付け
- &imgtex(\(C \subseteq X\));が閉集合~
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(\forall \{x_i\}_{i\in\math...
-- 背理法で&imgtex(\(\Rightarrow\));を示す．~
&imgtex(\(C\));が閉で，&imgtex(\(\{x_i\}_{i\in \mathbb{N}...
もし&imgtex(\(x \notin C\));ならば，&imgtex(\(x \in X-C\)...
&imgtex(\(X-C\));は開集合なので，&imgtex(\(\exists \varep...
つまり点列&imgtex(\(\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}}\));は&imgtex...
よって&imgtex(\(x \in C\));．
-- こっちも背理法，&imgtex(\(\Leftarrow\));を示す．~
&imgtex(\(C\));が開でないならば，&imgtex(\(X-C\));は開で...
つまり，&imgtex(\(\exists x\in X-C,\forall \varepsilon > ...
この&imgtex(\(x\));について，&imgtex(\(\varepsilon = \fra...
&imgtex(\(U_{\frac{1}{n}}(x) \cap C \neq \emptyset\));で...
ここで，&imgtex(\(x_n \in U_{\frac{1}{n}}(x)\cap C\));と...
これは&imgtex(\(\Rightarrow\));の右側に矛盾するので，仮定...
- &imgtex(\(A \subseteq X\));が開集合~
&imgtex(\(\iff\)); 『&imgtex(\(\forall \{x_i\}_{i\in\math...
----
ここから有界線形作用素の話
- &imgtex(\(X,Y\));:ノルム空間
- &imgtex(\(A:X\to Y\));:作用素
- 定義域:&imgtex(\(D(A)\));
- 地域:&imgtex(\(R(A)=A\ D(A)\));
- 単射:&imgtex(\(A\ u = A\ v \Rightarrow u=v\));
- 全射:&imgtex(\(A\ D(A) = Y\));
- 全単射: 単射かつ全射
- 逆作用素: &imgtex(\(A\));が全単射のとき，&imgtex(\(\exi...
- 原像(preimage): &imgtex(\(N\subseteq Y\));について，&im...
-- 逆作用素との混同に注意．
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Banachの縮小写像の原理~
- &imgtex(\(X\));: Banach空間
- &imgtex(\(M \subseteq X\));:閉集合
- &imgtex(\(A: M\to M\));:縮小写像
-- &imgtex(\(0\leq \exists \lambda < 1, \forall x,y \in M...
となるとき，&imgtex(\(x^* = A x^*\));となる&imgtex(\(x^* ...
- 不動点定理はいくつかあるが，Banachの不動点定理は，~
不動点の一意性や解の構成ができるあたりが好ましい．
証明~
&imgtex(\(x_{n+1} = A x_n\));と点列を作ると，&imgtex(\(\{...
- &imgtex(\(\|x_{n+1}-x_n\| = \|A x_n - A x_{n-1}\| \leq ...
&imgtex(\(\forall n,m \in \mathbb{N},n>m\));について，~
三角不等式から，~
&imgtex(\begin{eqnarray*}\|x_n - x_m\| &\leq& \|x_n - x_{...
&imgtex(\(X\));は完備なので，&imgtex(\(x_n\to x \in X\));
&imgtex(\(x_0 \in M\));なら，各&imgtex(\(n\in\mathbb{N}\)...
さらに，&imgtex(\(\|A x_n - A x^*\|\leq \lambda \|x_n-x^*...
&imgtex(\(\|A x_n - A x^*\| = \|x_{n+1} - A x^*\| \to 0\)...
&imgtex(\(A x^* = x^*\));
あとは一意性．~
&imgtex(\(A y = y\));となる&imgtex(\(y\in M\));が存在した...
&imgtex(\(\|x^*-y\| = \|A x^* - A y\|\leq \lambda \|x^*-y...
&imgtex(\((1-\lambda)\|x^*-y\| \leq 0\));で，&imgtex(\(\|...
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一回欠席．
たぶん前回はバナッハ空間の連続線形作用素を，ノルムから入...
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有界線形作用素
&imgtex(\[X,Y\]);をバナッハ空間，&imgtex(\[A:X\to Y\]);を...
&imgtex(\[A\]);が有界（bounded）であるとは，~
&imgtex(\[\forall r>0,\exists R>0,\forall x\in X,\|x\|_X ...
言い替えると，任意の有界な集合の像が有界であること．
『線形作用素&imgtex(\[A\]);が有界である』&imgtex(\[\iff\]...
(&imgtex(\[\Leftarrow \]);)は自明．~
(&imgtex(\[\Rightarrow\]);)は，&imgtex(\[A\]);を有界線形...
任意の&imgtex(\[x\in X\]);について，&imgtex(\[B=\left\{\f...
つまり，ある&imgtex(\[R>0\]);をとれて，任意の&imgtex(\[\f...
よって，&imgtex(\[\|Ax\|_Y \leq R \|x\|_X\]);
この命題から，線形有界作用素について，~
&imgtex(\[\sup_{x\in X-\{0\}} \frac{\|Ax\|_Y}{\|x\|_X}\])...
これは&imgtex(\[\mathfrak{L}(X,Y) = \{L:X\to Y \mid L:bou...
性質いくつか．
- &imgtex(\[\|Lx\|_Y \leq \|L\|_{\mathfrak{L}(X,Y)}\|x\|_...
-- &imgtex(\[forall \tilde{x}\in X,\|L\| = \sup_x \frac{\...
- &imgtex(\[\|L_1 + L_2\| \leq \|L_1\|_{\mathfrak{L}(X,Y)...
-- &imgtex(\[\|L_1+L_2\| = \sup_x \frac{\|(L_1+L_2)x\|}{\...
- &imgtex(\[\|L_1 L_2\|_{\mathfrak{L}(X,Z)}\leq \|L_1\|_{...
-- &imgtex(\[\|L_1L2\| = \sup_x \frac{\|L_1L_2x\|}{\|x\|}...
別表現．
&imgtex(\[\|L\|=\sup_{x\neq 0} \frac{\|Lx\|}{\|x\|} = \su...
有界線形作用素の例
- &imgtex(\[L:C[a,b]\to C[a,b]\]);~
&imgtex(\[(Lx)(t) = \int_a^t x(\tau)\mathrm{d}\tau\]);~
&imgtex(\[C[a,b]\]);のノルムは&imgtex(\[\sup\]);ノルム．
&imgtex(\[|(Lx)(t)|\leq \int_a^t \|x\|_\infty \mathrm{d}\...
&imgtex(\[\|Lx\|_\infty \leq (b-a)\|x\|_\infty\]);なので&...
さらに，&imgtex(\[x(t)=1\]);ととれば等号成立なので，&imgt...
レポートあり．締切は6/9正午．松尾先生のメールボックスへ．
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積分変換~
連続関数&imgtex(\[K:[a,b]\times [a,b] \to \mathbb{R}\]);...
線形作用素&imgtex(\[L:C[a,b]\to C[a,b]\]);を&imgtex(\[(Lx...
この&imgtex(\[L\]);は有界線形作用素．~
&imgtex(\[|(Lx)(t)| \leq \left(\int_a^b \|K(t,s)\|\mathrm...
&imgtex(\[X,Y\]);をBanach空間&imgtex(\[L:X\to Y\]);を線形...
『&imgtex(\[L\]);は有界』&imgtex(\[\iff\]);『&imgtex(\[L\...
- &imgtex(\[\Rightarrow\]);)任意の収束列&imgtex(\[x_n \to...
&imgtex(\[\|L x_n - L x\| = \|L(x_n-x)\| \leq \|L\|\|x_n-...
- &imgtex(\[\Leftarrow\]);)もし&imgtex(\[L\]);が連続かつ...
&imgtex(\[\sup_{\|x\|=1}\|Lx\|=\infty\]);なので
&imgtex(\[\forall n>0,\exists x_n \in X,\|x_n\|=1 \wedge ...
この点列を使って&imgtex(\[y_n = \frac{x_n}{n}\]);とすると...
&imgtex(\[\|Ly_n\| \geq 1\]);，&imgtex(\[\|y\|=\frac{1}{n...
&imgtex(\[y_n \to 0\]);なのに&imgtex(\[\|Ly_n\|\geq 1\]);...
&imgtex(\[L\]);の連続性い反する．~
よって&imgtex(\[L\]);は有界．
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有界線形作用素のなす空間~
&imgtex(\[X,Y\]);をノルム空間，&imgtex(\[\mathfrak{L}(X,Y...
ノルムは作用素ノルム．
&imgtex(\[X\]);をノルム空間，&imgtex(\[Y\]);をBanach空間...
&imgtex(\[\mathfrak{L}(X,Y)\]);はバナッハ空間．
- 任意の&imgtex(\[\{L_n\}\]);を&imgtex(\[\mathfrak{L}(X,Y...
各&imgtex(\[x\in L\]);について，&imgtex(\[\{L_n x\}\]);は...
これを&imgtex(\[x\]);から&imgtex(\[y\]);の関数と見なして&...
- TODO:&imgtex(\[L\]);の有界性の証明
- TODO:&imgtex(\[L_n \to L\]);の証明
来週は多分休講
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このあたりでコンパクトとかの話をしたはず．
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- 閉グラフ定理と一様有界性定理
-- Baireの定理
Cantor's nested interval principle~
&imgtex(\[X\]);:Banach空間~
&imgtex(\[B_n(x_n,r_n)=\{x\in X \mid \|x-x_n\|\leq r_n\}\...
&imgtex(\[B_1 \supseteq B_2 \supseteq \dots,\ r_n\to 0\])...
&imgtex(\[B=\bigcap_{n=1}^\infty B_n\]);は&imgtex(\[X\]);...
（射影的極限っぽい？）
Proof．~
- まず&imgtex(\[\exists x \in B\]);を示す．~
&imgtex(\[r_n\to 0\]);なので，&imgtex(\[\{x_n\}\]);はCauc...
&imgtex(\[X\]);は完備なので，収束先&imgtex(\[x_n \to x\])...
各&imgtex(\[n\]);について，&imgtex(\[\forall k\geq n,x_k\...
&imgtex(\[B_n\]);は閉集合なので，&imgtex(\[\lim_{k\to\inf...
ゆえに&imgtex(\[x \in \bigcap_{n=1}^\infty B_n = B\]);
- 次は一意性．~
&imgtex(\[x,y \in B\]);とすると，&imgtex(\[\|x-y\|\leq \|...
BaireのCategory定理~
&imgtex(\[X\]);:Banach~
&imgtex(\[X=\cup_{n=1}^\infty X_n,\ X_n: \text{closed set...
&imgtex(\[X_n\]);のうち少なくとも1つは&imgtex(\[X\]);の開...
（測度0の集合可算個では覆えない，的なイメージ？）
- &imgtex(\[X_n\]);のうち少なくとも1つは内点を含む．
- Banach空間は第2類集合．
-- &imgtex(\[X\]);: norm space, &imgtex(\[M\subseteq X\])...
--- &imgtex(\[M\]);が全疎(nowhere dence)とは，~
&imgtex(\[\mathrm{internal}\ \mathrm{closure}M = \emptyse...
--- &imgtex(\[M\]);:第1類(first category)であるとは，~
全疎集合の列&imgtex(\[\{M_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]);によっ...
--- &imgtex(\[M\]);が第2類(second category)であるとは，第...
Proof.~
背理法で示す．&imgtex(\[\forall X_n\]);が開球を含まないと...
&imgtex(\[F_n = X-X_n\]);と置く．&imgtex(\[F_n\]);は開集...
まず&imgtex(\[F_1\]);は空でないので，~
&imgtex(\[\exists a_1 \in F_1,\ \exists r_1 < \frac{1}{2}...
次に，&imgtex(\[U(a_1,r_1)\cap F_2 \neq \emptyset\]);．~
もし&imgtex(\[=\emptyset\]);なら，&imgtex(\[U(a_1,r_1)\su...
仮定に反する．~
交わりも開集合なので，&imgtex(\[\exists a_2,\exists r_2<\...
これを繰り返して，開球列&imgtex(\[U(a_n,r_n)\]);で，
&imgtex(\[\mathrm{closure}\ U(a_n,r_n) \subseteq U(a_{n-1...
閉球列&imgtex(\[\{\mathrm{closure}\ U(a_n,r_n)\}\]);にCan...
ところで，&imgtex(\[\mathrm{closure}\ U(a_n,r_n) \subsete...
&imgtex(\[x \in F_n = X-X_n\]);であり，&imgtex(\[\forall ...
しかし，&imgtex(\[x\in X\]);なのでこれは&imgtex(\[X=\bigc...
ゆえに背理法の仮定である『&imgtex(\[\forall X_n\]);が開球...
一様有界性定理~
&imgtex(\[X\]);:Banach~
&imgtex(\[Y\]);:norm space~
&imgtex(\[L_n \in \mathcal{L}(X,Y),\ n=1,2,\dots\]);（線...
について，~
&imgtex(\[\left[\forall x\in X,\sup_n \|L_n x\|_Y < \inft...
となる．
Proof.~
&imgtex(\[\Leftarrow\]);）自明．~
&imgtex(\[\Rightarrow\]);）~
&imgtex(\[m=1,2,\dots\]);について，&imgtex(\[X_m = \left\...
&imgtex(\[X_m\]);はBaireのCategory定理の仮定を満たす．(&i...
- &imgtex(\[X_m\]);が閉であることの証明~
&imgtex(\[\{x_k\},\ x_k\in X_m,\ x_k\to x\in X\]);と収束...
&imgtex(\[x_k \in X_m\]);から，&imgtex(\[\|L_n x_k \|\leq...
&imgtex(\[L_n,\|\cdot\|\]);の連続性から，&imgtex(\[m \geq...
- &imgtex(\[X=\bigcup_{n=1}^\infty X_m\]);の証明~
&imgtex(\[\forall x\in X\]);について，&imgtex(\[\sup_n \|...
&imgtex(\[\sup_n\|L_n x\| \leq \exists M \|x\|\]);となる．~
&imgtex(\[m \geq M \|x\|\]);ととれば&imgtex(\[x \in X_m\]...
なので&imgtex(\[X = \bigcup_{n=1}^\infty X_n\]);
Baireの定理から，少なくとも1つの&imgtex(\[X_m\]);は開球を...
&imgtex(\[\exists M,U(a,r),\ \mathrm{closure}\ U(a,r) \su...
&imgtex(\[\Rightarrow \forall x \in U(a,r),\forall n, \|L...
ここから&imgtex(\[\forall x \in X\]);について，~
&imgtex(\[\| L_n x\|= \frac{\|x\|}{r}\left\|L_n \left(\fr...
&imgtex(\[\therefore \|L_n\| \leq \frac{2M}{r}\]);で，&im...
----
6/16は休講
----
開写像定理~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間~
&imgtex(\[L \in \mathfrak{L}(X,Y)\]);について，~
『&imgtex(\[L\]);は全射』&imgtex(\[\Rightarrow\]);『&imgt...
証明~
- まず『&imgtex(\[\exists \eta>0,LU_X(0,1)\supseteq U_Y(0...
&imgtex(\[U_X(x,r)\]);は，中心&imgtex(\[x\]);で半径&imgte...
&imgtex(\[L\]);の線形性から，(1)は&imgtex(\[\forall \delt...
&imgtex(\[X\]);の開集合&imgtex(\[G\]);と&imgtex(\[v\in LG...
&imgtex(\[u \in L^{-1}(\{v\})\]);を一つ選ぶ．~
&imgtex(\[G\]);は開なので&imgtex(\[\exists \delta>0,G\sup...
線形性から&imgtex(\[LG \supseteq LU_X(u,\delta) = Lu + LU...
&imgtex(\[\therefore v\]);は内点．任意の&imgtex(\[LG\]);...
- 次，&imgtex(\[\exists\rho,\overline{LU_X(0,1)}\supseteq...
&imgtex(\[L\]);の全射性&imgtex(\[LX=Y\]);の仮定から，~
&imgtex(\[Y=LX=L\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_X(0,n)=\bigcup_...
BaireのCategory定理から，&imgtex(\[LU_X(0,n),\ n\in\mathb...
ゆえに&imgtex(\[\exists n\in\mathbb{N},u\in Y,\delta>0,\o...
&imgtex(\[v\in U_Y(0,\delta)\]);を適当に選ぶ．~
&imgtex(\[v=(u+v)-u\]);と書き，&imgtex(\[u+v,u\in U_Y(0,\...
&imgtex(\[U_X(0,N)\]);内の点列&imgtex(\[\{u_k\},\{\tilde{...
&imgtex(\[u_k-\tilde{u}_k \in U_X(0,2N)\]);かつ&imgtex(\[...
&imgtex(\[\rho = \frac{\delta}{2N}\]);と全体をスケーリン...
&imgtex(\[\overline{LU_X(0,1)\supseteq U_Y(0,\rho)}\]);
- 最後，この&imgtex(\[\rho\]);について&imgtex(\[LU_X(0,2)...
示すべきは&imgtex(\[\forall v\in U_Y(0,\rho),\exists u\in...
&imgtex(\[\{\varepsilon_k\}_{k\in\mathbb{N}}\]);を
&imgtex(\[\varepsilon_k>0,\sum_{k\in\mathbb{N}} \varepsil...
&imgtex(\[\overline{LU_X(0,\varepsilon_k)}\supseteq U_Y(0...
&imgtex(\[\exists u_0\in U_X(0,1),\ \|v-Lu_0\|<\varepsilo...
&imgtex(\[\exists u_1\in U_X(0,\varepsilon_1),\ \|(v-Lu_0...
&imgtex(\[\exists u_k\in U_X(0,\varepsilon_k),\ \left\|\l...
&imgtex(\[u=\sum_{k\in\mathbb{N}}u_k\]);とすれば&imgtex(\...
&imgtex(\[u\in U_X(0,2)\]);かつ&imgtex(\[Lu=v\]);
開写像定理の応用~
Banachの連続逆写像定理~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間~
&imgtex(\[L\in \mathfrak{L}(X,Y)\]);について，~
『Lが全単射』&imgtex(\[\Rightarrow\]);『逆写像&imgtex(\[L...
well-posedness principle~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間~
&imgtex(\[L\in \mathfrak{L}(X,Y)\]);についての方程式，&im...
『&imgtex(\[\forall v\in Y,\exists! u\in X,Lu=v\]);であり...
&imgtex(\[\iff\]);『&imgtex(\[\forall v\in Y,\exists u\in...
（つまり&imgtex(\[\mathrm{ker}L=\{0\}\]);なら&imgtex(\[L\...
期末試験は7/21
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閉作用素~
微分作用素: &imgtex(\[L:x \in C^1[a,b]\mapsto \frac{dx}{d...
微分作用素は&imgtex(\[C[a,b]\]);のノルムについては，典型...
しかし，&imgtex(\[C^1[a,b]\]);に&imgtex(\[\|x\|_{C^1[a,b]...
&imgtex(\[L\]);はこのノルムのもとでは有界作用素．~
しかも&imgtex(\[C[a,b]\]);はこのノルムについて完備である．
これを一般化する．~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間，~
&imgtex(\[L:\mathrm{dom}(L) \subseteq X\to Y\]);:線型作用...
&imgtex(\[\mathrm{dom}(L)\]);に&imgtex(\[\|x\|_{\mathrm{d...
&imgtex(\[L: \mathrm{dom}(L) \to Y\]);が有界で，このノル...
&imgtex(\[L\]);を閉作用素と呼ぶ．
グラフ~
ノルム空間&imgtex(\[X,Y\]);上の&imgtex(\[\mathrm{dom}(L)\...
&imgtex(\[G(L) = \{\langle x,Lx \rangle \mid x \in \mathr...
&imgtex(\[\|x\|_{\mathrm{dom}(L)} = \|x\|_X+\|Lx\|_Y\]);...
さらに，&imgtex(\[X,Y\]);がBanach空間で，&imgtex(\[\mathr...
&imgtex(\[L\]);は閉作用素であるという．
Prop~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間，&imgtex(\[L:\mathrm{dom}(L)...
以下の3条件は同値
- &imgtex(\[L\]);は閉作用素．
- &imgtex(\[G(L)\]);は&imgtex(\[X\times Y\]);の閉部分空間
- 任意の点列&imgtex(\[\{x_n \in \mathrm{dom}(L)\}_{n\in\m...
-- 連続性: &imgtex(\[x_n \to x \Rightarrow Lx_n \to Lx\]);
-- 閉: &imgtex(\[x_n \to x \wedge Lx_n \to y \Rightarrow ...
Prop~
連続作用素は閉作用素~
証明は&imgtex(\[\|\cdot\|_X\]);と&imgtex(\[\|\cdot\|_{\ma...
閉グラフ定理~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banach空間，&imgtex(\[L:\mathrm{dom}(L)...
&imgtex(\[\mathrm{dom}(L)=X \Rightarrow L \in \mathcal{L}...
証明~
仮定から&imgtex(\[X\]);は&imgtex(\[\|\cdot\|_{\mathrm{dom...
さらにBanach空間なので&imgtex(\[\|\cdot\|_X\]);についても...
&imgtex(\[\|x\|_X \leq \|X\|_{\mathrm{dom}(L)}\]);なので...
恒等作用素は全単射なので，開写像定理から
&imgtex(\[(X,\|\cdot\|_X)\]);から&imgtex(\[(X,\|\cdot\|_{...
よって&imgtex(\[\|Lx\|_Y \leq \|x\|_X + \|Lx\|_Y = \|x\|_...
----
コンパクト作用素~
&imgtex(\[X\]);:Banach空間として，~
『&imgtex(\[C\subseteq X\]);が（点列）コンパクト』~
&imgtex(\[\iff\]);『任意の点列&imgtex(\[\{x_n\}_{n\in\mat...
『&imgtex(\[D\subseteq X\]);が相対コンパクト』&imgtex(\[\...
Prop.~
『&imgtex(\[D\]);が相対コンパクト』~
&imgtex(\[\iff\]);『任意の&imgtex(\[D\]);内の点列&imgtex(...
Proof.~
- (相対コンパクト&imgtex(\[\Rightarrow\]);収束部分列)~
&imgtex(\[x_n \in D \subseteq \overline{D}\]);なので，&im...
- (相対コンパクト&imgtex(\[\Leftarrow\]);収束部分列)~
任意の&imgtex(\[\overline{D}\]);内の点列
&imgtex(\[\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]);について，~
&imgtex(\[\|x_n-y_n\|<\frac{1}{n}\]);となるように&imgtex(...
この&imgtex(\[\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]);については収束...
それを&imgtex(\[x_{n_k}\to x x \in \overline{D}\]);とする...
&imgtex(\[\|x_{n_k}-y_{n_k}\|\leq \|x_{n_k}-x\|+\|x_{n_k}...
レポート問題の定理1は，&imgtex(\[M\]);が有限&imgtex(\[\va...
l&imgtex(\[\mathbb{R}^d\]);では，コンパクト&imgtex(\[\iff...
関数空間がコンパクトになるには？
Theorem (Ascoli-Arzela)~
&imgtex(\[X=C[a,b]\]);に一様ノルムを入れたとき，~
『&imgtex(\[M\subseteq X\]);が相対コンパクト』~
&imgtex(\[\Leftarrow\]);『&imgtex(\[M\]);が一様有界，(&im...
同程度連続~
&imgtex(\[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0,\fo...
『相対コンパクト』&imgtex(\[\iff\]);『全有界』&imgtex(\[\...
Proof.『相対コンパクト』&imgtex(\[\Leftarrow\]);『一様有...
任意の&imgtex(\[M\]);内の点列&imgtex(\[\{x_n\}_{n\in\math...
&imgtex(\[Q=\mathbb{Q}\cap [a,b]\]);として&imgtex(\[Q=\{r...
- 対角線論法で収束先の候補を作る．~
引数を&imgtex(\[r_1\]);に固定して&imgtex(\[x_n(r_1)\]);を...
&imgtex(\[\{x_n(r_1)\}_{n\in\mathbb{N}}\]);は有界な実数列...
収束部分列を取れて，&imgtex(\[x_n^{(1)}(r_1)\to w_1\in\ma...
&imgtex(\[r_1\]);上での値が&imgtex(\[w_1\]);に収束するよ...
同様に，関数列&imgtex(\[\{x_n^{(1)}\}_{n\in\mathbb{N}}\])...
以下同様にして，関数列&imgtex(\[\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\...
得られた&imgtex(\[\{x_n^{(i)}\}_{n\in\mathbb{N},i\in\math...
&imgtex(\[y_n=x_n^{(n)}\]);として関数列&imgtex(\[\{y_n\}_...
各&imgtex(\[r_i\]);について，&imgtex(\[y_n(r_i)\to w_i\])...
これで有理数上で収束する関数の部分列がとれた．
- &imgtex(\[\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\]);はCauchy列．~
同程度連続性から，&imgtex(\[\forall \varepsilon>0\]);につ...
&imgtex(\[|t-t'|<\delta\]);ならば&imgtex(\[\|y_n(t)-y_n(t...
&imgtex(\[Q\]);を刻み幅&imgtex(\[\delta/2\]);未満に分割し...
&imgtex(\[\forall t\in [a,b]\]);について&imgtex(\[\exists...
step 1から，各&imgtex(\[t_i\]);について&imgtex(\[\{y_n(t_...
&imgtex(\[\forall \varepsilon >0,\exists N>0,\ \forall m,...
&imgtex(\[|y_n(t)-y_m(t)|\leq |y_n(t)-y_n(t_i)|+|y_n(t_i)...
よって&imgtex(\[\forall n,m>N,\ \|y_n-y_m\|\leq 3\varepsi...
l&imgtex(\[X\]);はBanachなので&imgtex(\[\{y_n\}_{n\in\mat...
コンパクト作用素~
&imgtex(\[X,Y\]);:Banachと，線形とは限らない&imgtex(\[A:X...
『&imgtex(\[A\]);がコンパクト作用素』&imgtex(\[\iff\]);『...
本によってはコンパクト作用素の定義で&imgtex(\[A\]);に連続...
この講義では連続かつコンパクトな作用素は完全連続という．~
さらに，本によっては線形作用素に限定して考えているものも...
その場合はコンパクトなら自動的に連続．
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コンパクト作用素の例~
&imgtex(\[X=Y=C[a,b]\]);
&imgtex(\[Q=\{(s,t,r)\in\mathbb{R}^3\mid s,t\in [a,b],|x|...
&imgtex(\[F(t,s,x): Q \to \mathbb{R}\]);，連続関数．~
&imgtex(\[D=\{x\in X\mid \|x\|_\infty \leq r\}\]);
&imgtex(\[A:D\to Y\]);~
&imgtex(\[x(t)\mapsto (Ax)(t)=\int_a^b F(t,s,x(s))\mathrm...
という作用素&imgtex(\[A\]);は連続かつコンパクト．
コンパクト集合上の連続集合は一様連続なので，~
&imgtex(\[\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\max(|t-...
まずは&imgtex(\[Ax \in C[a,b]\]);を示す．~
これはついでに&imgtex(\[A(D)\]);の同程度連続性の証明にも...
&imgtex(\[\varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall t,t',\ |...
次，&imgtex(\[A\]);の連続性．~
&imgtex(\[\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\|x-y\|<...
&imgtex(\begin{eqnarray*}\|Ax-Ay\|&=&\max_t\left|\int_a^b...
&imgtex(\[A\]);のコンパクト性~
&imgtex(\[A(D)\]);が相対コンパクトであることを言えばよい．~
Ascoli-Arzelaの定理から，&imgtex(\[A(D)\]);が一様有界で同...
同程度連続であることは，&imgtex(\[Ax\]);の連続性証明で，&...
一様有界性の方は，&imgtex(\[\forall x\in D,\ |(Ax)(t)|\le...
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&imgtex(\[X\]);: Banach，&imgtex(\[L: X\to X,\ linear\]);...
&imgtex(\[Lx-\lambda x = y\]);が任意の&imgtex(\[y\in X\])...
無限次元のときには&imgtex(\[\lambda\in\mathbb{C}\]);の値...
- &imgtex(\[L-\lambda I\]);が単射でない．
-- &imgtex(\[\lambda\]);を固有値と呼ぶ．&imgtex(\[\lambda...
- &imgtex(\[L-\lambda I\]);は全単射だが，&imgtex(\[(L-\la...
-- &imgtex(\[\lambda\]);はレゾルベント．&imgtex(\[\lambda...
- &imgtex(\[L-\lambda I\]);は全単射だが，&imgtex(\[(L-\la...
-- &imgtex(\[\lambda\in\sigma(L)\]);
&imgtex(\[\sigma(L)\]);:スペクトル．~
&imgtex(\[\sigma_p(L)\]);:固有値の集合，点スペクトル．~
&imgtex(\[\rho(L)\]);:レゾルベント集合．
&imgtex(\[(Ax)(t)=\frac{dx}{dt},\ A:C[0,1]\to C[0,1]\]);...
&imgtex(\[\sigma_p(A)=\mathbb{C},\ \rho(A)=\emptyset\]);
&imgtex(\[(A_0x)(t)=\frac{dx}{dt},\ A_0:\{x\in C[0,1]\mid...
&imgtex(\[\sigma_p(A_0)=\emptyset,\ \rho(A_0)=\mathbb{C}\...
&imgtex(\[(Bx)(t)=tx,\ B:C[0,1]\to C[0,1]\]);では，~
&imgtex(\[\sigma(B)=[0,1],\ \sigma_p(B)=\emptyset,\ \rho(...
Prop.~
&imgtex(\[L\]);:コンパクトな線形作用素については，
&imgtex(\[\sigma(A)\]);は高々可算個の点から成り，~
&imgtex(\[\sigma(A)\]);に集積点があれば0のみ．~
0以外のスペクトルは&imgtex(\[\rho_p(L)\]);に属する．
Theorem (Riesz-Schauderの交代定理)~
&imgtex(\[L\]);:コンパクトな線形作用素と，
&imgtex(\[Lx-\lambda x=y\]);について，~
&imgtex(\[\lambda\in\mathbb{C}\]);の値に依って~
- &imgtex(\[\forall y,\exists x=(L-\lambda I)^{-1}y\]);
- &imgtex(\[Lx-\lambda x=0\]);が&imgtex(\[x\neq 0\]);の解...
のどちらか片方が起こる．
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レポート課題その2．
締切は7/21~
試験は7/21（火）~
A4一枚持ち込み可
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