信号処理論第二
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開始行:
[[講義日程-2007年度冬学期]]
- 信号処理論第二
-- 出席点あり
- δ関数再考
- δ関数を含む関数のフーリエ変換
- 相関関数とスペクトル
- 線形システム
- 特性関数
- 正規不規則信号
- 線形二乗平均推定
- ウィーナーフィルタ
- カルマンフィルタ
- 10/19 休講
** δ関数再考 [#zbcdebf2]
- 超関数
-- 適当に条件をつけて位相を入れた関数空間から複素数への線...
-- 任意回微分可能で、任意のpについて|x|→∞で|x|^|p|・|∂^p ...
-- 超関数は形式的には積分で表現できる。g[φ] = ∫g(x)φ(x)dx...
- δ関数
-- δ[φ] = φ(0)
-- 急減少超関数で測度でもある。δ測度、ディラック測度とも...
-- 特筆すべき性質は~~f(x)δ(x) = f(0)δ(x)~~xf(x) = 0 ⇒ f(x...
- 超関数微分
-- 普通の関数を超関数を見ることで、微分の概念を拡張できる...
- 超関数の極限
-- 超関数列g_nについて、任意のテスト関数について~~g_n[φ]→...
-- exp(-iωt)はω→∞で0に収束する。
//マグカップ味噌汁には割り箸が必要。
- サンプリング定理
-- 連続関数を有限個の値だけで表現する。
-- 連続関数の空間は可算無限次元。何らかの制約が必要。
//早くもシステムバスター襲来。
-- サンプル値の系列をδ関数の列とみなし、もとの関数との関...
周期δ関数列のフーリエ変換は周期δ間数列、~
時間領域での掛け算は周波数領域では畳み込み、~
δ関数との畳み込みはシフト演算。~
時間領域で周期δ関数列を掛けることは、周波数領域では、~
もとの関数に、コピーをシフトして重ねたものになる。~
周波数領域で広い範囲に値を持っている関数は、~
サンプリングによって自身のコピーと重なってしまい、~
その部分ではコピーと区別できなくなってしまう。→Aliasing
-- 特定帯域のみを含む正弦波信号は、帯域幅の２倍以上の周波...
- サンプル系列から元の関数を復元するには
-- 最も近い点での値を元の関数の値とみなすなら、~
矩形パルスと畳み込む。周波数領域ではsinc関数を掛ける。
-- 直線で補完するなら、
三角波パルスと畳み込む。周波数領域ではsinc関数を二乗を掛...
- 教科書・参考書紹介
-- [[工学のための応用フーリエ積分>http://www.amazon.co.jp...
-- [[信号処理の基礎と応用>http://www.amazon.co.jp/exec/ob...
[[アナログとディジタルの信号解析>http://www.amazon.co.jp/...
- 確率過程
-- 確率に基づいて変数が時間的に変化する過程。
- 確率過程のn次分布関数
-- &mimetex(F\left(\{x_i\}_{i=1}^{n};\{t_i\}_{i=1}^{n}\ri...
確率過程をn個考え、その&mimetex(i);番目の値が時刻&mimetex...
確率分布関数は確率密度関数の情報を含む。~
高次の確率分布関数は低次の確率分布関数の情報を含む。~
エルゴードな確率過程では、高次の分布関数は１次の分布関数...
- n次密度関数
- 集合平均
-- &mimetex(\eta(t) = E[x(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}x ...
- 自己相関関数
-- &mimetex(R(t_1,t_2) = E[x(t_1)x(t_2)]);
- 自己共分散
- 相互相関関数
- 直交
- 無相関
- 独立
-- 独立&mimetex(\Rightarrow);無相関
- 強定常過程
-- 確率密度が時間変化しない。
- 弱定常過程
-- 平均が時間変化しない。
-- 変化が時間差にのみ依存。
----
ここに間違えがあったとしても私は責任を負えません．~
責任はtzikにあります．~
誤植は見つけた人が直すものです．~
-問題1 用語説明
-- &mimetex(\delta);関数~
任意のテスト関数&mimetex(\phi);に対し&mimetex(\int_{-\inf...
-- エルゴード性~
定常的な確率過程において，集合平均が時間平均に等しいこと．
-- 確率密度関数の特性関数~
確率密度関数を逆フーリエ変換したものを&mimetex(2\pi);倍し...
-- 最小位相関数~
Laplace変換したものが右半平面に極も零点も有さないような関...
-- カルマンフィルタ~
離散的な誤差のある観測から、時々刻々と時間変化する量を推...
-問題2
--&mimetex(\int_0^{\infty}\sin wt dw);を求めよ．~
#mimetex(\begin{align}\int_0^{\infty}\sin wt dw&=\left[\f...
--&mimetex(H(w)=\begin{cases}-j&(w>0)\\ 0& (w=0)\\ j &(w<...
の逆Fourier変換を求めよ．~
#mimetex(\begin{align}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\inft...
--&mimetex(f*h);で定義される変換はHilbert変換と呼ぶか？ま...
#mimetex(z(t)=f(t)+j\tilde{f}(t));
で定義される複素信号&mimetex(z(t));の性質を述べよ．~
&mimetex(z(t));は解析信号と呼ばれ，
&mimetex(\mathcal{F}[z(t)]=2F(w)U(w));が成り立つ．~
-問題3 &mimetex(x(t));を実数値をとる定常過程とし，&mimete...
-- &mimetex(\forall \tau, |R_{xx}(\tau)|\le R_{xx}(0));？~
&mimetex(E[(x(t+\tau)\pm x(t))^2\ge 0);より
&mimetex(E[(x(t+\tau))^2]\pm 2E[x(t+\tau)x(t)]+E[(x(t))^2...
&mimetex(|R_{xx}(\tau)|\le R_{xx}(0));
--&mimetex(x(t));のパワースペクトル&mimetex(S(w));を，
有限の観測時間&mimetex([-T,T]);から推定するための式は？~
#mimetex(\mathcal{F}[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t-\tau)x^...
--&mimetex(R_{xx}(\tau)=\begin{cases}1&(|\tau|\le 1)\\ 0 ...
ない~
なぜならば，フーリエ変換するとsinc関数が出てくるが，これ...
-問題4 信号&mimetex(s(t));に雑音&mimetex(n(t));が重畳した
&mimetex(x(t)=s(t)+n(t));が観測信号として得られるものとす...
ただし，&mimetex(s(t), n(t)\in \mathbb{R});で，
互いに無相関な定常過程であり，それぞれのパワースペクトル...
#mimetex(S_{ss}(w)=\frac{A^2}{w^2+w_0^2}, S_{nn}(w)=N^2);
であるものとする．
いま，観測信号に対する線形フィルタリング
#mimetex(\hat{s}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)h(\t...
により&mimetex(s(t));の推定値&mimetex(\hat{s}(t));を得る...
誤差の二乗平均&mimetex(J=E[(s(t)-\hat{s}(t))^2]);を最小と...
線形フィルタ&mimetex(h(t));をWiener Filterと呼ぶ．
--&mimetex(J);を最小とする&mimetex(\hat{s}(t));は
#mimetex(E[(s(t)-\hat{s}(t))x(t-\tau)]=0);
を満たす（直交原理）を用いて，
#mimetex(R_{sx}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}(t-\tau)h...
を導け．
#mimetex(\begin{align}R_{sx}(t)&=E[s(\tau)x(\tau-t)]\\&=E...
--前問をFourier変換して&mimetex(h(t));の周波数応答を求め...
#mimetex(R_{xx}=E[(s+n)^2]=R_{ss}+R_{nn});
#mimetex(R_{sx}=E[s(s+n)]=R_{ss});
#mimetex(S_{sx}(w)=S_{xx}(t)\cdot \mathcal{F}[h(t)]);
より，
#mimetex(\begin{align}\mathcal{F}[h(t)]&=\frac{S_{sx}(w)}...
--因果性のある&mimetex(h(t));の周波数応答は？~
darekatoite~
takuraメモの因果性があると、
#mimetex(H(p)=\sum_{i=1}^m \frac{A_i}{p-p_i},h(t)=\sum_{i...
とかけて、p=jωとおいたものが周波数応答。(さらにすべての極...
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- 相関関数とスペクトル
- 線形システム
- 特性関数
- 正規不規則信号
- 線形二乗平均推定
- ウィーナーフィルタ
- カルマンフィルタ
- 10/19 休講
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- 超関数
-- 適当に条件をつけて位相を入れた関数空間から複素数への線...
-- 任意回微分可能で、任意のpについて|x|→∞で|x|^|p|・|∂^p ...
-- 超関数は形式的には積分で表現できる。g[φ] = ∫g(x)φ(x)dx...
- δ関数
-- δ[φ] = φ(0)
-- 急減少超関数で測度でもある。δ測度、ディラック測度とも...
-- 特筆すべき性質は~~f(x)δ(x) = f(0)δ(x)~~xf(x) = 0 ⇒ f(x...
- 超関数微分
-- 普通の関数を超関数を見ることで、微分の概念を拡張できる...
- 超関数の極限
-- 超関数列g_nについて、任意のテスト関数について~~g_n[φ]→...
-- exp(-iωt)はω→∞で0に収束する。
//マグカップ味噌汁には割り箸が必要。
- サンプリング定理
-- 連続関数を有限個の値だけで表現する。
-- 連続関数の空間は可算無限次元。何らかの制約が必要。
//早くもシステムバスター襲来。
-- サンプル値の系列をδ関数の列とみなし、もとの関数との関...
周期δ関数列のフーリエ変換は周期δ間数列、~
時間領域での掛け算は周波数領域では畳み込み、~
δ関数との畳み込みはシフト演算。~
時間領域で周期δ関数列を掛けることは、周波数領域では、~
もとの関数に、コピーをシフトして重ねたものになる。~
周波数領域で広い範囲に値を持っている関数は、~
サンプリングによって自身のコピーと重なってしまい、~
その部分ではコピーと区別できなくなってしまう。→Aliasing
-- 特定帯域のみを含む正弦波信号は、帯域幅の２倍以上の周波...
- サンプル系列から元の関数を復元するには
-- 最も近い点での値を元の関数の値とみなすなら、~
矩形パルスと畳み込む。周波数領域ではsinc関数を掛ける。
-- 直線で補完するなら、
三角波パルスと畳み込む。周波数領域ではsinc関数を二乗を掛...
- 教科書・参考書紹介
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-- [[信号処理の基礎と応用>http://www.amazon.co.jp/exec/ob...
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- 確率過程
-- 確率に基づいて変数が時間的に変化する過程。
- 確率過程のn次分布関数
-- &mimetex(F\left(\{x_i\}_{i=1}^{n};\{t_i\}_{i=1}^{n}\ri...
確率過程をn個考え、その&mimetex(i);番目の値が時刻&mimetex...
確率分布関数は確率密度関数の情報を含む。~
高次の確率分布関数は低次の確率分布関数の情報を含む。~
エルゴードな確率過程では、高次の分布関数は１次の分布関数...
- n次密度関数
- 集合平均
-- &mimetex(\eta(t) = E[x(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}x ...
- 自己相関関数
-- &mimetex(R(t_1,t_2) = E[x(t_1)x(t_2)]);
- 自己共分散
- 相互相関関数
- 直交
- 無相関
- 独立
-- 独立&mimetex(\Rightarrow);無相関
- 強定常過程
-- 確率密度が時間変化しない。
- 弱定常過程
-- 平均が時間変化しない。
-- 変化が時間差にのみ依存。
----
ここに間違えがあったとしても私は責任を負えません．~
責任はtzikにあります．~
誤植は見つけた人が直すものです．~
-問題1 用語説明
-- &mimetex(\delta);関数~
任意のテスト関数&mimetex(\phi);に対し&mimetex(\int_{-\inf...
-- エルゴード性~
定常的な確率過程において，集合平均が時間平均に等しいこと．
-- 確率密度関数の特性関数~
確率密度関数を逆フーリエ変換したものを&mimetex(2\pi);倍し...
-- 最小位相関数~
Laplace変換したものが右半平面に極も零点も有さないような関...
-- カルマンフィルタ~
離散的な誤差のある観測から、時々刻々と時間変化する量を推...
-問題2
--&mimetex(\int_0^{\infty}\sin wt dw);を求めよ．~
#mimetex(\begin{align}\int_0^{\infty}\sin wt dw&=\left[\f...
--&mimetex(H(w)=\begin{cases}-j&(w>0)\\ 0& (w=0)\\ j &(w<...
の逆Fourier変換を求めよ．~
#mimetex(\begin{align}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\inft...
--&mimetex(f*h);で定義される変換はHilbert変換と呼ぶか？ま...
#mimetex(z(t)=f(t)+j\tilde{f}(t));
で定義される複素信号&mimetex(z(t));の性質を述べよ．~
&mimetex(z(t));は解析信号と呼ばれ，
&mimetex(\mathcal{F}[z(t)]=2F(w)U(w));が成り立つ．~
-問題3 &mimetex(x(t));を実数値をとる定常過程とし，&mimete...
-- &mimetex(\forall \tau, |R_{xx}(\tau)|\le R_{xx}(0));？~
&mimetex(E[(x(t+\tau)\pm x(t))^2\ge 0);より
&mimetex(E[(x(t+\tau))^2]\pm 2E[x(t+\tau)x(t)]+E[(x(t))^2...
&mimetex(|R_{xx}(\tau)|\le R_{xx}(0));
--&mimetex(x(t));のパワースペクトル&mimetex(S(w));を，
有限の観測時間&mimetex([-T,T]);から推定するための式は？~
#mimetex(\mathcal{F}[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t-\tau)x^...
--&mimetex(R_{xx}(\tau)=\begin{cases}1&(|\tau|\le 1)\\ 0 ...
ない~
なぜならば，フーリエ変換するとsinc関数が出てくるが，これ...
-問題4 信号&mimetex(s(t));に雑音&mimetex(n(t));が重畳した
&mimetex(x(t)=s(t)+n(t));が観測信号として得られるものとす...
ただし，&mimetex(s(t), n(t)\in \mathbb{R});で，
互いに無相関な定常過程であり，それぞれのパワースペクトル...
#mimetex(S_{ss}(w)=\frac{A^2}{w^2+w_0^2}, S_{nn}(w)=N^2);
であるものとする．
いま，観測信号に対する線形フィルタリング
#mimetex(\hat{s}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)h(\t...
により&mimetex(s(t));の推定値&mimetex(\hat{s}(t));を得る...
誤差の二乗平均&mimetex(J=E[(s(t)-\hat{s}(t))^2]);を最小と...
線形フィルタ&mimetex(h(t));をWiener Filterと呼ぶ．
--&mimetex(J);を最小とする&mimetex(\hat{s}(t));は
#mimetex(E[(s(t)-\hat{s}(t))x(t-\tau)]=0);
を満たす（直交原理）を用いて，
#mimetex(R_{sx}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}(t-\tau)h...
を導け．
#mimetex(\begin{align}R_{sx}(t)&=E[s(\tau)x(\tau-t)]\\&=E...
--前問をFourier変換して&mimetex(h(t));の周波数応答を求め...
#mimetex(R_{xx}=E[(s+n)^2]=R_{ss}+R_{nn});
#mimetex(R_{sx}=E[s(s+n)]=R_{ss});
#mimetex(S_{sx}(w)=S_{xx}(t)\cdot \mathcal{F}[h(t)]);
より，
#mimetex(\begin{align}\mathcal{F}[h(t)]&=\frac{S_{sx}(w)}...
--因果性のある&mimetex(h(t));の周波数応答は？~
darekatoite~
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#mimetex(H(p)=\sum_{i=1}^m \frac{A_i}{p-p_i},h(t)=\sum_{i...
とかけて、p=jωとおいたものが周波数応答。(さらにすべての極...
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