制御論第二
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** 制御論第二 [#x442f2b8]
- 担当：津村 幸治 准教授
- 1.5単位
-- 数理：限定選択C
-- システム：限定選択B
- 10:15-11:45 工学部六号館 63講義室
- 教科書
-- [[システム制御理論入門 実教出版>http://www.amazon.co.j...
--勉強に役立ちそうなページ
http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/course/c...
--[[誤植が稠密の例>http://www.tzik.mydns.jp:80/ap2007/wik...
（\begin{document}と\end{document}の間の全ての行頭に%を挿...
--試験前日で時間のないときに役立ちそうなページ
http://green.cc.tsukuba.ac.jp/tetsu/shibaura/ac.html
**過去問 [#z1bf5a31]
//もちろんtzik all blame res...
copyduty (c) tzik 2008. all blame reserved.
-1. マス・バネ・ダンパー系において
--運動方程式，出力方程式は？~
---解~
運動方程式
#mimetex(M\ddot{x}(t)=-c\dot{x}(t)-kx(t)+u(t));
出力方程式
#mimetex(y(t)=x(t));
--状態空間表現は？
---解~
#mimetex(\begin{cases}\dot{x}=\begin{pmatrix}0&1\\-k/M&-c...
なので，
#mimetex(\begin{align}A&=\begin{pmatrix}0&1\\-k/M&-c/M\en...
--可制御性，可観測性は？~
可制御性行列は，
#mimetex(U_c=[B,AB]=\begin{pmatrix}0&1/M\\1/M&-c/M^2\end{...
なので，&mimetex(M=0,\pm\infty);や&mimetex(k=0);でなけれ...
可観測性行列は，
#mimetex(U_o=[C|CA]^{\top}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pm...
//眠い
いつでも可観測．
---
--伝達関数は？
---解~
#mimetex(Y(s)=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatr...
よって，&mimetex(\frac{1}{s^2-2s-5});
--&mimetex(-3\pm 2i);に極配置せよ．
---解~
//特性方程式は
//&mimetex(|sI-A|=s^2+2s+5);なので，~
//可制御標準形
//#mimetex(\begin{align}\begin{pmatrix}B&BA\end{pmatrix}\...
この問題の方程式は可制御標準形となっているので，フィード...
#mimetex(|sI-A|=s^2+2s+5);
#mimetex((s-(-3+2i))(s-(-3-2i))=s^2+6s+13);
より，
#mimetex(f_1=5-13=-8);
#mimetex(f_2=2-6=-4);
-2. &mimetex(A=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-4\end{pmatrix}, B=...
#mimetex(\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t));
の時間応答を求めたい．
--(a) 遷移行列&mimetex(e^{At});を求めよ．~
#mimetex(\begin{align}e^{At}&=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1...
-- &mimetex(x(t));を求めよ．~
#mimetex(\begin{align}x(t)&=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^...
//このソースを理解できる人はいるのだろうか．．．
-3. 次のシステム
#mimetex(\begin{align}\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t...
に対して，恒等オブザーバーを
#mimetex(\begin{align}\dot{\tilde{x}}(t)&=A\tilde{x}(t)+B...
とする．また&mimetex(u(t)=F\tilde{x}(t));とフィードバック...
--(a) オブザーバー併合フィードバック系の状態方程式を示せ．
---解~
#mimetex(\begin{pmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{\tilde{x}}(t)\en...
--(b) 新たな状態ベクトル&mimetex(\begin{pmatrix}x(t)\\\ti...
についての状態方程式は？
---解~
&mimetex(T=\begin{pmatrix}I&0\\-I&I\end{pmatrix});を使う...
#mimetex(\begin{pmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{\tilde{x}}(t)-x(...
--(c) (b)の結果から，オブザーバー併合フィードバック系の極...
---解~
極は&mimetex(A+BF, A+LC);の固有値．
--オブザーバー状態変数が妥当な推定値となるための条件は？
--(d) (b)の結果から，オブザーバーの状態変数&mimetex(\tild...
オブザーバーが満たすべき条件について説明せよ．
---解~
&mimetex(A+LC);の固有値の実部が全て負ならばよい．
**内容 [#w8e71b84]
- 序論
-- 古典制御理論から現代制御理論へ
--- 古典制御理論:(19世紀後半～1930年代)~
マクスウェルによるガバナーの解析。蒸気機関の制御。~
ラウス・フルビッツの安定判別法。~
伝達関数によるシステムの表現。~
周波数領域。ナイキストの安定判別。~
時間領域。PID制御。~
ウィナーフィルタ。
--- 古典制御の利点~
実験的に得やすい入出力特性に基づいて解析・設計する。~
計算量は少ない。~
直感的
--- 古典制御の欠点~
複雑なシステムの設計には向かない。~
システムの内部状態を無視している。~
方法論としての工学。理論よりも実践が優先。
--- シャノンの情報理論(1948年)~
「通信」の一般化~
情報量と通信容量の関係。~
情報量についての普遍的法則を発見。~
モデルや表現法に依存しない一般法則。
--- カルマンの最終目標~
制御に関する純粋理論~
望ましい制御を実現するためにはどのような、そしてどれくら...
与えられたプラントを、制御という観点から完全に特徴付ける...
--- [[カルマン>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%...
制御問題の本質を明らかにすること。~
内部状態変数。~
可制御性・可観測性。~
状態推定とフィードバック制御
- 動的システムと状態方程式
-- 動的システム
--- 粘性抵抗とダンパのシステム。~~c dx/dt = u(t)~~dx/dt =...
--- 動的システム(Dynamical System)~~入力と出力のあるシス...
--- 静的システム(Static System)~~入力と出力のあるシステム...
--- 因果性(Causality)~~ある時刻の出力が、それより過去の入...
-- 状態方程式
--- マス・バネ・ダンパー系。~~運動方程式：{M(d/dt)^2 + c(...
--- システムの状態方程式表示~~入力：u(t)~~出力：y(t)~~状...
-- 線形時不変システム
--- 十分長い時間、入出力が共に0となっているとする。~~動的...
--- システムが任意の時間シフトについて~~y(t+τ) = P[u(t+τ)...
--- 例）dx/dt = ax + u, y = x~~y = ∫[-∞,t]exp(a(t-τ))u(τ)...
--- システムが y(t) = ∫[-∞,t]p(t-τ)u(τ)dτ と、たたみこみ...
-- 伝達関数
--- t<0でx(t)=0、∫[0,∞]|x(t)|e^(-at)dt＜∞となる滑らかな関...
--- 二つの関数のたたみこみを変換すると、変換後にはただの...
線形時不変システム←[ラプラス変換]→伝達関数
線形時変システム←[？？]→？
非線形システム←[？？]→？
線形時不変システム以外は伝達関数では扱えない。状態空間表...
-- 状態空間法
--- システムに内部状態を表す変数を導入して、~~内部状態に...
--- 伝達関数での表現と比べて広い範囲のシステムを表現でき...
--- ''x'' : 状態ベクトル~~d''x''/dt = ''f''(''x'',t,''u''...
-- 線形システムの解
--- dx/dt = Ax + Bu~~y = Cx + Du~~Aはtに依存してもよいと...
--- まず同次方程式を解く。~~dx/dt = Ax
--- 標準基底e[i]を使って、初期値e[i]のときの解をφ[i]、そ...
--- 元の方程式の解は、x(t) = Φ(t)x(0) + ∫[0,t]Φ(t-τ)B(τ)u...
-- 線形時不変システムの解
--- dx/dt = Ax + Bu~~y = Cx + Du~~Aはtに依存しない定行列
--- (d/dt - A)x = exp(At)(d/dt)exp(-At)x(t) = Bu(t)~~x(t)...
--- 伝達関数表現では、X(s) =(sI-A)^(-1){x(0)+BU(s)}~~(sI-...
-- exp(At)？
--- (d/dt)exp(At) = Aexp(At)~~Aの固有ベクトル Au = λu へ...
--- detP≠0となる行列について、~~P exp(At) P^(-1) = exp(PA...
--- AとBが可換ならば、exp(At)exp(Bt)＝exp((A+B)t)が成立。...
- 行列&mimetex(A);をジョルダン標準型に&mimetex(TAT^{-1} =...
#mimetex(T \exp(At)T^{-1} = \exp(Jt))~
（中略）~
#mimetex(L[\exp(Jt)] = (sI-J)^{-1})~
#mimetex(L[\exp(At)] = L[T^{-1}\exp(Jt)T] = T^{-1}(sI-J)^...
状態空間表現での&mimetex(\exp(At));をラプラス変換すると&m...
線形時不変システムの状態空間表現と伝達関数表現の対応。
- 安定性
-- 平衡点~
状態空間表現でのシステム &mimetex((d/dt)x = f(x)); につい...
&mimetex(f(x[e]) = 0); となる点を平衡点と呼ぶ。~
-- 平衡点まわりの安定性~
任意の正数&mimetex(\varepsilon);に対して、&mimetex(x[e]);...
それより先の任意の時点で&mimetex(x[e]);からの距離が&mimet...
さらに&mimetex(t\to\infty);で&mimetex(x[e]);に収束するな...
-- 線形時不変システム~
&mimetex(x = \exp(At)x[0]); について、~
ジョルダン標準系に直して、&mimetex(Tx = T\exp(At)T^{-1}Tx...
&mimetex(x);の安定性と&mimetex(Tx);の安定性は一致する。~
&mimetex(J);の固有値の実部が全て負ならば、&mimetex(x,Tx);...
実部が正の固有値があれば、不安定。~
固有値の実部が全て正ではなく、実部が0の固有値がサイズ２以...
それ以外なら安定。
-- リアプノフの定理。~
&mimetex(dx/dt = Ax); について、~
&mimetex(XA+A^T X+Q = O); となる正定値行列&mimetex(Q);と...
&mimetex(A);が漸近安定であることと&mimetex(X);が正定値で...
&mimetex(X);が一意であることは講義では証明略。~
&mimetex(X);として&mimetex(X = \int_0^{\infty}\exp(A^T t)...
&mimetex([\exp(A^T t)Q\exp(At)]_0^{\infty} = \int_0^{\inf...
&mimetex(\exp(At)\to 0 (t\to \infty));ならば、左辺は&mime...
もし&mimetex(A);が、実部が非負の固有値を持つなら、その固...
&mimetex(XA+A^T X+Q = 0);から、~
&mimetex(Re \lambda*(x,Xx) + (x,Qx) = 0);だが、各項が正な...
この式は不成立。よって&mimetex(A);には実部が非負の固有値...
--- &mimetex(A^T);は&mimetex(A);の転置
- 動的システムの構造
-- 相似変換~
#mimetex(dx/dt = Ax + Bu)~
#mimetex(y = Cx + Du) ~
について、~
&mimetex(z = Tx); と変数変換すると、各係数は~
#mimetex(dz/dt = TAT^{-1}z + TBu = Ez + Fu)~
#mimetex(y = CT^{-1}z + Du = Gz + Hu) ~
と変換される。~
どちらも同じ入力に対して同じ出力を返す、同じシステムの別...
入出力関係を変えない変換を、相似変換と呼ぶ。~
状態空間表現には、相似変換の分だけ任意性が残っている。~
-- モード分解~
状態空間表現の任意性を使って、方程式を理解しやすい形に書...
&mimetex(A);をジョルダン標準形に直すと、状態方程式をジョ...
独立した小さな微分方程式に分解できる。~
分解された各方程式は、各固有値に対応するモードと呼ばれる。
- 可制御性(Controllability)
-- 線形時不変システム&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);について...
任意の初期値に対して、適切な入力をとれば有限時間内に、~
&mimetex(x);を原点に到達させることができるとき、~
このシステムは可制御であるという。
-- この微分方程式の解は、&mimetex(x(t) = e^{At}x_0 + \int...
時刻&mimetex(t=T);で原点に到達したとすると、~
&mimetex(-x_0 = \int_0^T e^{-A\tau}Bu(\tau)d\tau); が成立...
この&mimetex(u);に対して、初期値&mimetex(x_2 = e^{-AT}x_1...
可制御性とは、任意の入力に対して任意の位置に持っていける...
-- 定理~
線形時不変システムが可制御であるための必要十分条件は、~
可制御性行列 &mimetex(U_c = [B,AB,A^2 B,...,A^{n-1}B]);の...
nは状態ベクトルの次元。
-- 証明~
--- 可制御であるためには&mimetex(\mathrm{rank} U_c = n);...
ケーリー・ハミルトンの定理を使えば、任意のn次正方行列の多...
&mimetex(e^{At});の各項を(n-1)次以下の多項式で書けば、~
&mimetex(e^{At} = \sum_{k=1}^n q_{k}(\tau)A^{k-1});と表せ...
これを使って解を変形すると、~
&mimetex(e^{-At}x(t) - x_0 = \int_0^t e^{(-A\tau)}Bu(\tau...
&mimetex(= \int_0^t \sum_{k=1}^n q_{k}(-\tau)A^{k-1}Bu(\t...
&mimetex(= \sum_{k=1}^n A^{k-1}B \int_0^t q_{k}(-\tau)u(\...
&mimetex(= \sum_{k=1}^n A^{k-1}B h_{k}(t));~
&mimetex(= U_c h);~
左辺は任意に動かしうる。任意の左辺に対して、等式を成り立...
&mimetex(\mathrm{rank} U_c = n);が必要。
--- &mimetex(\mathrm{rank} U_c = n);ならば可制御。~
&mimetex(W_s = \int_0^s e^{-A\tau}BB^{T}e^{-A^{T}\tau}d\t...
入力&mimetex(u);を&mimetex(u=B^{T}e^{-A^{T}\tau}W_s^{-1}\...
と取ってやれば、~
目標の&mimetex(x_s);を実現する入力になっている。~
途中で使っている&mimetex(W_s^{-1});が存在すれば可制御。~
もし、&mimetex(\det W_s = 0);となる&mimetex(s\gt 0);が存...
&mimetex(W_s a = 0);となる非零ベクトルaが存在する。~
&mimetex(a^{T}W_s a = \int_0^s ||B^{T}e^{-A^{T}\tau}a||d\...
ノルムの値は非負なので、等式が成り立つためには、被積分関...
&mimetex(B^{T}e^{-A^{T}\tau}a = 0 );~
この式を&mimetex(\tau);で&mimetex(k);階微分して&mimetex(\...
&mimetex(B^{T}(A^{T})^{k}a = 0);~
&mimetex(U_{c}^{T}a = 0);~
&mimetex(\mathrm{rank} U_c = n);ならば、このようなaは存在...
ゆえに、&mimetex(\det W_s);は常に非零で、このシステムは可...
- 演習問題１
-- レポート
- 可観測性
-- ある有限の時間&mimetex([0,s]);の入出力の測定から、~
内部状態の初期値&mimetex(x(0));を唯一に決定できるとき、~
そのシステムは可観測(observable)という。
-- 定理~
線形時不変システムが可観測であるための必要十分条件は、~
可観測性行列&mimetex(U_o=[C,CA,CA^2,...,CA^{n-1}]^{T});(&...
ランクがnであること。~
証明はプリントで。
- 正準分解と最小実現
-- 線形時不変システム,主システム~
&mimetex(x \in \mathbb{R}^{n}, u \in \mathbb{R}^{m}, y \i...
&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);~
&mimetex(y = Cx);に対して、~
双対システム~
&mimetex(\dot{x} = A^{T}x + C^{T}u);~
&mimetex(y = B^{T}x);を考えると、~
主システムの可制御性と双対システムの可観測性は同値。~
主システムの可観測性と双対システムの可制御性は同値。~
片方の可制御性行列は、もう片方の可観測性行列の転置。
-- &mimetex(W = \{ x^d \in \mathbb{R}^n | x^d = U_c h, h ...
可制御系については&mimetex(W=R^n);~
&mimetex(AW = \{ Ax^d | x^d \in W \});は、ケーリー・ハミ...
&mimetex(AW \subset W);が成立。可制御な空間からの時間発展...
&mimetex(M = \{ x^c \in \mathbb{R}^n | x^c = \tilde{U}_c ...
&mimetex(M);は可観測な部分空間。~
&mimetex(A^{T}M \subset M);も成立。可観測な空間の時間発展...
&mimetex(M);の直交補空間&mimetex(M^{\bot});を考えると、~
&mimetex(AM^{\bot} \subset M^{\bot});
-- 以上の集合を使って、以下の集合を定義すれば、~
&mimetex(R_a = W \cap M^{\bot}); 可制御で、可観測でない~
&mimetex(R_b = W \cap M); 可制御で可観測~
&mimetex(R_c = W^{\bot} \cap M^{\bot}); 可制御でなく、可...
&mimetex(R_d = W^{\bot} \cap M); 可制御でなく、可観測~
&mimetex(\mathbb{R}^n = R_a \oplus R_b \oplus R_c \oplus ...
-- それぞれの部分空間の時間発展を考えると、~
&mimetex(AR_a \subset R_a);~
&mimetex(AR_b \subset R_a \oplus R_b);~
&mimetex(AR_c \subset R_a \oplus R_c);~
&mimetex(AR_d \subset \mathbb{R}^n);となる。~
それぞれの空間の基底をとって、~
&mimetex(R_a = \langle x^a_i \rangle_{i=1}^{\nu_a});~
&mimetex(R_b = \langle x^b_i \rangle_{i=1}^{\nu_b});~
&mimetex(R_c = \langle x^c_i \rangle_{i=1}^{\nu_c});~
&mimetex(R_d = \langle x^d_i \rangle_{i=1}^{\nu_d});~
&mimetex(\nu_a + \nu_b + \nu_c + \nu_d = n);~
基底を初期値に時間発展を考えれば、~
&mimetex(Ax^a_i = \sum_{j=1}^{\nu_a}f^{aa}_{ji}x^a_j);~
&mimetex(Ax^b_i = \sum_{j=1}^{\nu_a}f^{ab}_{ji}x^a_j + \s...
&mimetex(Ax^c_i = \sum_{j=1}^{\nu_a}f^{ac}_{ji}x^a_j + \s...
&mimetex(Ax^d_i = \sum_{j=1}^{\nu_a}f^{ad}_{ji}x^a_j + \s...
-- 各部分空間の基底を使って、~
&mimetex(B = [x^{a}_1,x^{a}_2,...,x^{a}_{\nu_a}]G^a + [x^...
各部分空間の基底を横に並べた行列を&mimetex(T);として変換...
&mimetex(AT=TF,B=TG,CT=H);~
&mimetex(F=\left[\begin{matrix}F^{aa} & F^{ab}& F^{ac} & ...
(by yambi)
-- 以上の行列を使って、~
&mimetex(\xi = T^{-1}x);と変換すれば。~
&mimetex(\dot{\xi} = T^{-1}AT\xi + T^{-1}Bu = F\xi + Gu);~
&mimetex(y = CT\xi = H\xi);となる。これを正準分解という。~
これをブロック線図で表すと、入力は可制御な空間である&mime...
出力は可観測な空間である&mimetex(R_d,R_b);から繋がり、~
&mimetex(R_b,R_c);は独立。&mimetex(R_a);は他全てから影響...
&mimetex(R_d);は他全てに影響を及ぼす。
- 最小実現
-- 正準分解した上で入力から出力への伝達関数を書いてみると...
伝達関数が表しているのは、可制御かつ可観測な部分空間の成...
-- 可制御かつ可観測な部分空間の成分を取り出しても、入出力...
これをこのシステムの最小実現と呼ぶ。
- MIMOでの零点
-- システムを表す行列を[[(sI-A), B],[C,D]]と並べたときに、~
この行列をランク落ちさせるsをこのシステムの不変零点と呼ぶ...
この定義はSISOでの零点の定義の一般化になっている。
- SISOの可制御正準形
-- ケーリーハミルトンの定理を使って、Aのかかった連立常微...
&mimetex(x_n);についての高階の微分方程式に帰着。~
詳細は書ききれないのでググって見つけてください。[[http://...
-- &mimetex(\phi(A)=O);~
&mimetex(A x = \dot{x} - Bu);
&mimetex(A^2 x = \ddot{x} - AB\dot{u} - Bu);
&mimetex(A^3 x = \dddot{x} - B\ddot{u} - AB\dot{u} - A^2 ...
- SISOの可観測正準形
- 極配置問題
-- SISOの可制御系&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);について、~
内部状態&mimetex(x);を観測し、&mimetex(u=Fx);とフィードバ...
このようなフィードバックを『状態フィードバック』と呼ぶ。~
&mimetex(\dot{x} = Ax + BFx = (A+BF)x);~
可制御標準形に変換して、&mimetex(\dot{z} = \tilde{A}z + \...
&mimetex(\tilde{B});は最後の行が１で、それ以外がすべて０...
&mimetex(\tilde{F});の項は第n行にしか効いてこない。~
&mimetex(\tilde{A});の第n行は、Aの特性多項式の係数。~
&mimetex(F);を掛けてフィードバックすることは、特性多項式...
特定の場所に伝達関数の極を配置したいときには、その極を根...
&mimetex(\tilde{F});の値を調節して、特性多項式の係数をず...
こうして、可制御系については閉ループ系の極は任意の位置に...
&mimetex(F = \tilde{F}T^{-1});
- レポート問題、12/10まで。
-- コンデンサと抵抗を並列に繋げた回路と、コイルと抵抗を並...
回路全体に流れる電流を入力、出力電圧を出力、~
コンデンサにかかる電圧と、コイルに流れる電流を内部状態と...
可制御性行列と伝達関数を調べ、可制御性との関係を述べよ。
-- 長さ・質量の異なる振り子について、振り子の振れ幅とその...
振り子の長さ・重りの質量の関係を調べよ。振り子の振れ幅は...
-- SISO可制御正準系の&mimetex(\tilde{A});について、&mimet...
-- &mimetex(\dot{x} = [[1,2],[-3,-4]]x + [2,3]u);について...
状態フィードバックにより、極を&mimetex(-2,-3);に配置した...
--- 直接的にFを求めよ。
--- 可制御正準系に直してからFを求めよ。
- 状態推定
-- オブザーバ~
&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);~
&mimetex(y = Cx);について、入出力信号を観測して、&mimetex...
--- &mimetex(x);と同じ方程式に従う別な系&mimetex(\hat{x})...
誤差&mimetex(e = \hat{x}-x);は&mimetex(\dot{e} = Ae);に従...
&mimetex(A);が漸近安定ならば誤差は0へ漸近し、不安定ならば...
--- 代わりに&mimetex(\hat{x});として、&mimetex(\dot{\hat{...
----
- 今日は原さんの講義
- 最適レギュレータ問題~
アクチュエータに使うエネルギーと目標地点への制御の重み付...
- 可制御系は適当な係数を掛けた状態フィードバックで安定化...
&mimetex(\dot{x}\ =\ Ax\ +\ Bu);~
&mimetex(y\ =\ Cx);~
&mimetex(u\ =\ Fx); 状態フィードバック
-- このシステムの内部状態や出力の変化を明示すれば~
&mimetex(x\ =\ e^{(A+BF)t}x_0);~
&mimetex(y\ =\ Ce^{(A+BF)t}x_0);~
&mimetex(F);をうまく選んで、任意の初期値に対して~
&mimetex(\mathrm{lim}_{t\to \infty}x(t)\ =\ 0);となるよう...
システムが可制御であれば、&mimetex(A+BF);の固有値は任意に...
では具体的に&mimetex(F);はどう決めるのがよいか。
-- 評価関数(Performance Index)~
&mimetex(J\ =\ \int_{0}^{\infty}\left{x^{T}Qx + u^{T}Ru \...
&mimetex(Q,R);は状態，制御入力に対する重み行列。~
&mimetex(Q);は半正値対称、&mimetex(R);は正値対称に選ぶ。~
これは&mimetex(Q = C^{T}C);と選ぶと&mimetex(y);の値で評価...
&mimetex(J\ =\ \int_{0}^{\infty}x_{0}^{T}e^{A^{T}+F^{T}B^...
&mimetex(F_{\mathrm{opt}} = - R^{-1}BP);の形で与えられる。~
&mimetex(P);はRiccati方程式&mimetex(A^{T}P+PA+Q-PBR^{-1}B...
可制御で可観測なシステムについては、解は常に存在し、&mime...
--- &mimetex(x);の安定性を仮定すると、任意の正値対称行列&...
&mimetex(\int_{0}^{\infty}\frac{d}{dt}\left{x^{T}Px\right...
&mimetex(J = x_{0}^{T}Px_{0} + \int_{0}^{\infty}x^{T}\lef...
&mimetex(F);を変化させて&mimetex(J);を最小化するには、&mi...
- Riccati方程式の解法
-- ハミルトン行列&mimetex(H=[[A,-BR^{-1}B^{T}],[-Q,-A^T]]...
固有値は実軸・虚軸に対して対称に現れる。~
&mimetex((A,B));が可制御で、&mimetex((A,\sqrt{Q}));が可観...
&mimetex(H);の安定な固有値・固有ベクトルn個を並べたものを...
&mimetex([UV^{-1},-I]H[U,V]^{T} = [UV^{-1},-I][U,V]^{T}\L...
&mimetex(P);として&mimetex(P=UV^{-1});をとると、PはRiccat...
これでRiccati方程式を2n次正方行列であるハミルトン行列Hの...
- Riccati方程式の解について、~
&mimetex(F=-R^{-1}B^{T}P);~
&mimetex(A^{T}P+PA+Q-PBR^{-1}B^{T}P=0);~
-- &mimetex(Q=P(j\omega I-A)+(-j\omega I-A^{T})P+F^{T}RF)...
&mimetex(|I-F(j\omega-A)^{-1}B|_R);を考えると、~
&mimetex(||I-F(j\omega-A)^{-1}B||_R = B^{T}(-j \omega I-A...
&mimetex(||\cdot||_R);は&mimetex(R);を計量とする内積。~
&mimetex(I-F(j\omega-A)^{-1}B);は、最適レギュレータをかけ...
この不等式が意味するところは、任意の周波数の入力に対し、~
外乱に対する強度を示す感度関数の値を１より小さく保てるこ...
-制御入力に対する重みを無限大にして、最適制御をかけたとき...
開ループ伝達関数の不安定極を虚軸対称に反転させたもの。~
制御対象に対する重みを無限大にして、最適制御をかけたとき...
不安定極を虚軸対称に反転させ、他の極は∞に飛ばした形になる。
----
- 状態推定
-- オブザーバ~
&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);~
&mimetex(y = Cx);の入出力を観測してxを推定する。
-- &mimetex(\dot{\hat{x}} = A \hat{x}+Bu + L(C\hat{x}-y))...
これを恒等オブザーバと呼ぶ。~
誤差&mimetex(e = \hat{x}-x);の挙動を見ると、~
&mimetex(\dot{e} = Ae + LC\hat{x} - LCx = (A+LC)e);~
系が可制御ならば、&mimetex((A^{T},C^{T}));が可制御で、~
&mimetex((A+LC)^{T});の極は任意に配置可能、&mimetex(A+LC)...
&mimetex(A+LC);を安定化すれば&mimetex(\mathrm{lim}_{t\to ...
&mimetex(\hat{x});によって入出力だけから&mimetex(x);を観...
-- 最小次元オブザーバ~
&mimetex((A,C));が可観測で、&mimetex(C\in \mathbb{R}^{m\t...
&mimetex(C);に行を追加して、正則な行列&mimetex(T);を作り、~
&mimetex(T=\left[\begin{matrix} C \\ U \end{matrix}\right...
&mimetex(\tilde{A}=TAT^{-1});とする。&mimetex(C=[I\ 0]T);...
&mimetex(\tilde{C}=CT^{-1}=[I\ 0]);とすると、~
&mimetex((A,C)\to (\tilde{A},\tilde{C}));は&mimetex(T);に...
&mimetex(\tilde{A} = \left[\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A...
&mimetex(\mathrm{rank}\left[\begin{matrix}A_{12}\\A_{12}A...
&mimetex(A_{22},A_{12});が可観測であることが得られる。~
&mimetex(A_{22}+LA_{12});を安定化するLが存在する。~
&mimetex(\dot{z} = (A_{22}+LA_{12})(z-Ly)+(A_{21}+LA_{11}...
&mimetex(e=(U+LC)x-z);は、~
&mimetex(\dot{e} = \left[\begin{matrix}L&I\end{matrix}\ri...
に従う。
&mimetex(A_{22}+LA_{12});を安定化すれば、誤差&mimetex(e);...
&mimetex(\left[\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right]\to \...
&mimetex(\left[\begin{matrix}C\\U\end{matrix}\right]^{-1}...
- カルマンフィルタ~
フィルタ：推定対象に混入する外乱を除去するもの。~
&mimetex(\dot{x} = Ax+Bu+v);~
&mimetex(y=Cx+w);という系を考える。~
&mimetex(v);はシステム雑音、&mimetex(w);を観測雑音と呼ぶ。~
&mimetex(v,w);は白色雑音だと仮定する。~
&mimetex(E[v]=E[w]=0);~
&mimetex(E[v(t)v^{T}(t+\tau)] = Q\delta(\tau));~
&mimetex(E[w(t)w^{T}(t+\tau)] = R\delta(\tau));~
&mimetex(E[v(t)w^{T}(\tau)] = 0);~
入出力&mimetex(u,y);から状態&mimetex(x);を推定する。~
&mimetex(\tilde{x}(t) = E[x(t) | y(\tau),u(\tau),\tau \le...
-- 条件付き期待値~
&mimetex(f(x,y));を&mimetex(x,y);の同時確率密度だとして、~
&mimetex(f(x|y) = \frac{f(x,y)}{\int f(x,y)dx});と、条件...
条件付き期待値を&mimetex(E[x|y]=\int xf(x|y)dx);と定義す...
何らかの方法で&mimetex(y);から&mimetex(x);の推定値&mimete...
その二乗誤差の期待値には下限が存在し、&mimetex(E[(x-\tild...
--- 補題：任意の関数&mimetex(h(x));について、&mimetex(E[(...
-- 条件付き期待値&mimetex(\tilde{x});は、~
&mimetex(\dot{\tilde{x}} = F\tilde{x}+Gy+Hu);という形の微...
係数行列&mimetex(F,G,H);が満たすべき性質は、~
&mimetex(E[\tilde{x}] = E[x]);~
&mimetex(E[\dot{x}] = AE[x]+Bu);~
&mimetex(E[y] = CE[x]);~
&mimetex(E[\dot{\tilde{x}}] = E[\dot{x}] = (F+GC)E[x]+Hu)...
&mimetex(A=F+GC,\ B=H);~
&mimetex(\dot{\tilde{x}} = (A-GC)\tilde{x}+Gy+Bu);~
~
残ったGを決めるために、誤差&mimetex(e=x-\tilde{x});を考え...
&mimetex(\dot{e} = (A-GC)e - Gw + v);~
誤差の共分散行列を&mimetex(\tilde{P} = E[e(t)e^{T}(t)]);...
十分時間が経った後では、&mimetex(\tilde{P});は~
&mimetex((A-GC)\tilde{P}+\tilde{P}(A-GC)^{T}+GRG^{T}+Q=0)...
変形すると&mimetex(A\tilde{P}+\tilde{P}A^{T}+(G-\tilde{P}...
&mimetex(A-GC);が安定ならば、&mimetex(\tilde{P});には下限...
&mimetex(AP+PA^{T}+Q-PC^{T}R^{-1}CP=0);に対して~
&mimetex(\tilde{P}\geq P);が成立。~
&mimetex(G=PCR^{-1});と選んでやると&mimetex(P=\tilde{P});...
誤差の分散を最小にする&mimetex(G);が得られた。
-- &mimetex(\tilde{P} = E[ee^{T}]);~
&mimetex(\tilde{e^{T}e}=\mathrm{tr}[\tilde{P}]);~
&mimetex(\mathrm{tr}[\tilde{P}-P]\geq 0);、&mimetex(\math...
&mimetex(\tilde{P}=P);となれば2乗誤差が最小になる。~
&mimetex(G=PCR^{-1});をカルマンゲイン、&mimetex(AP+PA^{T}...
- ノイズの扱い~
&mimetex(x\in \mathbb{R}^{n},y\in \mathbb{R}^{m});が正規...
&mimetex(E[xx^{T}]=M_{xx});~
&mimetex(E[x]=m_{x});~
&mimetex(E[xy^{T}]=M_{xy});~
&mimetex(E[yy^{T}]=M_{yy});~
&mimetex(E[y]=m_{y});~
&mimetex(z=\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]);~
&mimetex(M_{zz}=\left[\begin{matrix}M_{xx}& M_{xy}\\M_{yx...
&mimetex(m_{z}=\left[\begin{matrix}m_{x}\\m_{y}\end{matri...
&mimetex(P(z) = \frac{\exp(-\frac{1}{2}(z-m_z)^{T}M^{-1}_...
&mimetex(y);が分かったときの&mimetex(x);の条件付き分布は...
これを計算すると、&mimetex(\tilde{z}=x-m_{x}-M_{xy}M^{-1}...
&mimetex(N_{xx} = (M_{xx}-M_{xy}M^{-1}_{yy})M_{yx})^{-1})...
&mimetex(\exp(\mathrm{1}{2}\tilde{z}^{T}N_{xx}\tilde{z}))...
&mimetex(\tilde{z});は&mimetex(y);について一次式で、&mime...
推定に使う&mimetex(\tilde{x});を&mimetex(y);の一次式で作...
- フィードバック制御
- レギュレータ問題
-- レギュレーション
&mimetex(x(0)\neq 0);のとき、&mimetex(x(t)\to 0);としたい...
系が可制御でならば状態フィードバックによって極配置可能。...
状態フィードバックが使えないときには？
-- オブザーバ併合フィードバック系~
状態推定からフィードバックして制御する。
-- 系~
&mimetex(\dot{x} = Ax+Bu);~
&mimetex(y = Cx);に対して~
オブザーバ~
&mimetex(\dot{\xi} = \hat{A}\xi + \hat{B}u + \hat{L}y);~
&mimetex(\hat{x} = \hat{E}\xi + \hat{G}y);を使って~
&mimetex(u = F\hat{x});とフィードバックをかける。
-- &mimetex(\dot{x} = Ax + BF\hat{x});~
&mimetex(\ \ =(A+BF\hat{G}C)x+BF\hat{E}\xi);~
&mimetex(\dot{\xi} = (\hat{A}+\hat{B}F\hat{E})\xi+(\hat{B...
-- &mimetex(\left[\begin{matrix}\dot{x}\\ \dot{\xi}\end{m...
-- 恒等オブザーバの場合には、~
&mimetex(\hat{A} = A+LC);~
&mimetex(\hat{B} = B);~
&mimetex(\hat{E} = I);~
&mimetex(\hat{L} = -L);~
&mimetex(\hat{G} = O);~
&mimetex(\xi = \hat{x});と置いて、~
&mimetex(\frac{d}{dt}\left[\begin{matrix}x\\\hat{x}\end{m...
&mimetex(T = \left[\begin{matrix}I & O \\ -I & I\end{matr...
&mimetex(T\left[\begin{matrix}x\\\hat{x}\end{matrix}\righ...
&mimetex(\frac{d}{dt}\left[\begin{matrix}x \\ e\end{matri...
この形の係数行列の固有値は、&mimetex(A+BF);の固有値と&mim...
この系が可制御で可観測ならば、制御と推定を独立に実行して...
「推定と制御の分離定理」~
~
A+BFは状態フィードバック系、A+LCがオブザーバ系。極は|sI-...
-- 一般のオブザーバの場合にも、~
&mimetex(\hat{A}M = MA-\hat{L}C);~
&mimetex(I=\hat{E}M+\hat{G}C);~
&mimetex(\hat{B}=MB);となる&mimetex(M);が存在すると仮定す...
&mimetex(\left[\begin{matrix}x \\ e\end{matrix}\right] = ...
&mimetex(\frac{d}{dt}\left[\begin{matrix}x \\ e\end{matri...
&mimetex(e = \xi - Mx);、&mimetex(\xi);は&mimetex(x);の重...
--- 最小次元オブザーバの場合、~
&mimetex(M=U+LC);ととってやればよい。
- サーボ問題
-- ステップ信号~
一次元では~
&mimetex(\dot{r}(t) = 0,\ \ \ r(0)=r_{0});~
&mimetex(r(s) = r_{0}/s);~
一般形では~
&mimetex(\dot{r}(t) = A_{r}r(t),\ \ r(0)=r_{0});~
&mimetex(y_{r}(t) = C_{r}r(t));~
&mimetex(y_{r}(s) = C_{r}(sI-A_{r})^{-1}r_{0} = N_{r}(s)/...
&mimetex(d_{r}(s) = \det(sI-A_{r}));
-- &mimetex(u(s) = C(s)y(s));という系に~
フィードバックをかけて系を安定化するために、~
&mimetex(y(s) = e(s) = y_{r}(s) - P(s)u(s));とする、~
&mimetex(P(s)C(s));が不安定零点を極にもつ必要がある。
- PBHテスト
-- 系が可制御であるための必要十分条件
- 問1~
&mimetex(\dot{x} = \left[\begin{matrix}0&1\\-5&-2\end{mat...
&mimetex(y = \left[\begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]x);~
この系が可観測かどうかを判定せよ。~
恒等オブザーバで、オブザーバの極を&mimetex(-3,-4);に配置...
&mimetex(u = \left[\begin{matrix}3&-1\end{matrix}\right]\...
(&mimetex(\tilde{x});を恒等オブザーバの状態変数)~
としたときの併合系全体の極を示せ。~
併合系全体のブロック線図を書け。
- 考え
可観測は、[C|CA]^Tだよね。~
A+LCがオブザーバ系で、L=(l1,l2)とおいて、V=A+LCを求めて、...
全体の極は、オブザーバの極とフィードバックの極をあわせた...
終了行:
** 制御論第二 [#x442f2b8]
- 担当：津村 幸治 准教授
- 1.5単位
-- 数理：限定選択C
-- システム：限定選択B
- 10:15-11:45 工学部六号館 63講義室
- 教科書
-- [[システム制御理論入門 実教出版>http://www.amazon.co.j...
--勉強に役立ちそうなページ
http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/course/c...
--[[誤植が稠密の例>http://www.tzik.mydns.jp:80/ap2007/wik...
（\begin{document}と\end{document}の間の全ての行頭に%を挿...
--試験前日で時間のないときに役立ちそうなページ
http://green.cc.tsukuba.ac.jp/tetsu/shibaura/ac.html
**過去問 [#z1bf5a31]
//もちろんtzik all blame res...
copyduty (c) tzik 2008. all blame reserved.
-1. マス・バネ・ダンパー系において
--運動方程式，出力方程式は？~
---解~
運動方程式
#mimetex(M\ddot{x}(t)=-c\dot{x}(t)-kx(t)+u(t));
出力方程式
#mimetex(y(t)=x(t));
--状態空間表現は？
---解~
#mimetex(\begin{cases}\dot{x}=\begin{pmatrix}0&1\\-k/M&-c...
なので，
#mimetex(\begin{align}A&=\begin{pmatrix}0&1\\-k/M&-c/M\en...
--可制御性，可観測性は？~
可制御性行列は，
#mimetex(U_c=[B,AB]=\begin{pmatrix}0&1/M\\1/M&-c/M^2\end{...
なので，&mimetex(M=0,\pm\infty);や&mimetex(k=0);でなけれ...
可観測性行列は，
#mimetex(U_o=[C|CA]^{\top}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pm...
//眠い
いつでも可観測．
---
--伝達関数は？
---解~
#mimetex(Y(s)=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatr...
よって，&mimetex(\frac{1}{s^2-2s-5});
--&mimetex(-3\pm 2i);に極配置せよ．
---解~
//特性方程式は
//&mimetex(|sI-A|=s^2+2s+5);なので，~
//可制御標準形
//#mimetex(\begin{align}\begin{pmatrix}B&BA\end{pmatrix}\...
この問題の方程式は可制御標準形となっているので，フィード...
#mimetex(|sI-A|=s^2+2s+5);
#mimetex((s-(-3+2i))(s-(-3-2i))=s^2+6s+13);
より，
#mimetex(f_1=5-13=-8);
#mimetex(f_2=2-6=-4);
-2. &mimetex(A=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-4\end{pmatrix}, B=...
#mimetex(\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t));
の時間応答を求めたい．
--(a) 遷移行列&mimetex(e^{At});を求めよ．~
#mimetex(\begin{align}e^{At}&=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1...
-- &mimetex(x(t));を求めよ．~
#mimetex(\begin{align}x(t)&=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^...
//このソースを理解できる人はいるのだろうか．．．
-3. 次のシステム
#mimetex(\begin{align}\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t...
に対して，恒等オブザーバーを
#mimetex(\begin{align}\dot{\tilde{x}}(t)&=A\tilde{x}(t)+B...
とする．また&mimetex(u(t)=F\tilde{x}(t));とフィードバック...
--(a) オブザーバー併合フィードバック系の状態方程式を示せ．
---解~
#mimetex(\begin{pmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{\tilde{x}}(t)\en...
--(b) 新たな状態ベクトル&mimetex(\begin{pmatrix}x(t)\\\ti...
についての状態方程式は？
---解~
&mimetex(T=\begin{pmatrix}I&0\\-I&I\end{pmatrix});を使う...
#mimetex(\begin{pmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{\tilde{x}}(t)-x(...
--(c) (b)の結果から，オブザーバー併合フィードバック系の極...
---解~
極は&mimetex(A+BF, A+LC);の固有値．
--オブザーバー状態変数が妥当な推定値となるための条件は？
--(d) (b)の結果から，オブザーバーの状態変数&mimetex(\tild...
オブザーバーが満たすべき条件について説明せよ．
---解~
&mimetex(A+LC);の固有値の実部が全て負ならばよい．
**内容 [#w8e71b84]
- 序論
-- 古典制御理論から現代制御理論へ
--- 古典制御理論:(19世紀後半～1930年代)~
マクスウェルによるガバナーの解析。蒸気機関の制御。~
ラウス・フルビッツの安定判別法。~
伝達関数によるシステムの表現。~
周波数領域。ナイキストの安定判別。~
時間領域。PID制御。~
ウィナーフィルタ。
--- 古典制御の利点~
実験的に得やすい入出力特性に基づいて解析・設計する。~
計算量は少ない。~
直感的
--- 古典制御の欠点~
複雑なシステムの設計には向かない。~
システムの内部状態を無視している。~
方法論としての工学。理論よりも実践が優先。
--- シャノンの情報理論(1948年)~
「通信」の一般化~
情報量と通信容量の関係。~
情報量についての普遍的法則を発見。~
モデルや表現法に依存しない一般法則。
--- カルマンの最終目標~
制御に関する純粋理論~
望ましい制御を実現するためにはどのような、そしてどれくら...
与えられたプラントを、制御という観点から完全に特徴付ける...
--- [[カルマン>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%...
制御問題の本質を明らかにすること。~
内部状態変数。~
可制御性・可観測性。~
状態推定とフィードバック制御
- 動的システムと状態方程式
-- 動的システム
--- 粘性抵抗とダンパのシステム。~~c dx/dt = u(t)~~dx/dt =...
--- 動的システム(Dynamical System)~~入力と出力のあるシス...
--- 静的システム(Static System)~~入力と出力のあるシステム...
--- 因果性(Causality)~~ある時刻の出力が、それより過去の入...
-- 状態方程式
--- マス・バネ・ダンパー系。~~運動方程式：{M(d/dt)^2 + c(...
--- システムの状態方程式表示~~入力：u(t)~~出力：y(t)~~状...
-- 線形時不変システム
--- 十分長い時間、入出力が共に0となっているとする。~~動的...
--- システムが任意の時間シフトについて~~y(t+τ) = P[u(t+τ)...
--- 例）dx/dt = ax + u, y = x~~y = ∫[-∞,t]exp(a(t-τ))u(τ)...
--- システムが y(t) = ∫[-∞,t]p(t-τ)u(τ)dτ と、たたみこみ...
-- 伝達関数
--- t<0でx(t)=0、∫[0,∞]|x(t)|e^(-at)dt＜∞となる滑らかな関...
--- 二つの関数のたたみこみを変換すると、変換後にはただの...
線形時不変システム←[ラプラス変換]→伝達関数
線形時変システム←[？？]→？
非線形システム←[？？]→？
線形時不変システム以外は伝達関数では扱えない。状態空間表...
-- 状態空間法
--- システムに内部状態を表す変数を導入して、~~内部状態に...
--- 伝達関数での表現と比べて広い範囲のシステムを表現でき...
--- ''x'' : 状態ベクトル~~d''x''/dt = ''f''(''x'',t,''u''...
-- 線形システムの解
--- dx/dt = Ax + Bu~~y = Cx + Du~~Aはtに依存してもよいと...
--- まず同次方程式を解く。~~dx/dt = Ax
--- 標準基底e[i]を使って、初期値e[i]のときの解をφ[i]、そ...
--- 元の方程式の解は、x(t) = Φ(t)x(0) + ∫[0,t]Φ(t-τ)B(τ)u...
-- 線形時不変システムの解
--- dx/dt = Ax + Bu~~y = Cx + Du~~Aはtに依存しない定行列
--- (d/dt - A)x = exp(At)(d/dt)exp(-At)x(t) = Bu(t)~~x(t)...
--- 伝達関数表現では、X(s) =(sI-A)^(-1){x(0)+BU(s)}~~(sI-...
-- exp(At)？
--- (d/dt)exp(At) = Aexp(At)~~Aの固有ベクトル Au = λu へ...
--- detP≠0となる行列について、~~P exp(At) P^(-1) = exp(PA...
--- AとBが可換ならば、exp(At)exp(Bt)＝exp((A+B)t)が成立。...
- 行列&mimetex(A);をジョルダン標準型に&mimetex(TAT^{-1} =...
#mimetex(T \exp(At)T^{-1} = \exp(Jt))~
（中略）~
#mimetex(L[\exp(Jt)] = (sI-J)^{-1})~
#mimetex(L[\exp(At)] = L[T^{-1}\exp(Jt)T] = T^{-1}(sI-J)^...
状態空間表現での&mimetex(\exp(At));をラプラス変換すると&m...
線形時不変システムの状態空間表現と伝達関数表現の対応。
- 安定性
-- 平衡点~
状態空間表現でのシステム &mimetex((d/dt)x = f(x)); につい...
&mimetex(f(x[e]) = 0); となる点を平衡点と呼ぶ。~
-- 平衡点まわりの安定性~
任意の正数&mimetex(\varepsilon);に対して、&mimetex(x[e]);...
それより先の任意の時点で&mimetex(x[e]);からの距離が&mimet...
さらに&mimetex(t\to\infty);で&mimetex(x[e]);に収束するな...
-- 線形時不変システム~
&mimetex(x = \exp(At)x[0]); について、~
ジョルダン標準系に直して、&mimetex(Tx = T\exp(At)T^{-1}Tx...
&mimetex(x);の安定性と&mimetex(Tx);の安定性は一致する。~
&mimetex(J);の固有値の実部が全て負ならば、&mimetex(x,Tx);...
実部が正の固有値があれば、不安定。~
固有値の実部が全て正ではなく、実部が0の固有値がサイズ２以...
それ以外なら安定。
-- リアプノフの定理。~
&mimetex(dx/dt = Ax); について、~
&mimetex(XA+A^T X+Q = O); となる正定値行列&mimetex(Q);と...
&mimetex(A);が漸近安定であることと&mimetex(X);が正定値で...
&mimetex(X);が一意であることは講義では証明略。~
&mimetex(X);として&mimetex(X = \int_0^{\infty}\exp(A^T t)...
&mimetex([\exp(A^T t)Q\exp(At)]_0^{\infty} = \int_0^{\inf...
&mimetex(\exp(At)\to 0 (t\to \infty));ならば、左辺は&mime...
もし&mimetex(A);が、実部が非負の固有値を持つなら、その固...
&mimetex(XA+A^T X+Q = 0);から、~
&mimetex(Re \lambda*(x,Xx) + (x,Qx) = 0);だが、各項が正な...
この式は不成立。よって&mimetex(A);には実部が非負の固有値...
--- &mimetex(A^T);は&mimetex(A);の転置
- 動的システムの構造
-- 相似変換~
#mimetex(dx/dt = Ax + Bu)~
#mimetex(y = Cx + Du) ~
について、~
&mimetex(z = Tx); と変数変換すると、各係数は~
#mimetex(dz/dt = TAT^{-1}z + TBu = Ez + Fu)~
#mimetex(y = CT^{-1}z + Du = Gz + Hu) ~
と変換される。~
どちらも同じ入力に対して同じ出力を返す、同じシステムの別...
入出力関係を変えない変換を、相似変換と呼ぶ。~
状態空間表現には、相似変換の分だけ任意性が残っている。~
-- モード分解~
状態空間表現の任意性を使って、方程式を理解しやすい形に書...
&mimetex(A);をジョルダン標準形に直すと、状態方程式をジョ...
独立した小さな微分方程式に分解できる。~
分解された各方程式は、各固有値に対応するモードと呼ばれる。
- 可制御性(Controllability)
-- 線形時不変システム&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);について...
任意の初期値に対して、適切な入力をとれば有限時間内に、~
&mimetex(x);を原点に到達させることができるとき、~
このシステムは可制御であるという。
-- この微分方程式の解は、&mimetex(x(t) = e^{At}x_0 + \int...
時刻&mimetex(t=T);で原点に到達したとすると、~
&mimetex(-x_0 = \int_0^T e^{-A\tau}Bu(\tau)d\tau); が成立...
この&mimetex(u);に対して、初期値&mimetex(x_2 = e^{-AT}x_1...
可制御性とは、任意の入力に対して任意の位置に持っていける...
-- 定理~
線形時不変システムが可制御であるための必要十分条件は、~
可制御性行列 &mimetex(U_c = [B,AB,A^2 B,...,A^{n-1}B]);の...
nは状態ベクトルの次元。
-- 証明~
--- 可制御であるためには&mimetex(\mathrm{rank} U_c = n);...
ケーリー・ハミルトンの定理を使えば、任意のn次正方行列の多...
&mimetex(e^{At});の各項を(n-1)次以下の多項式で書けば、~
&mimetex(e^{At} = \sum_{k=1}^n q_{k}(\tau)A^{k-1});と表せ...
これを使って解を変形すると、~
&mimetex(e^{-At}x(t) - x_0 = \int_0^t e^{(-A\tau)}Bu(\tau...
&mimetex(= \int_0^t \sum_{k=1}^n q_{k}(-\tau)A^{k-1}Bu(\t...
&mimetex(= \sum_{k=1}^n A^{k-1}B \int_0^t q_{k}(-\tau)u(\...
&mimetex(= \sum_{k=1}^n A^{k-1}B h_{k}(t));~
&mimetex(= U_c h);~
左辺は任意に動かしうる。任意の左辺に対して、等式を成り立...
&mimetex(\mathrm{rank} U_c = n);が必要。
--- &mimetex(\mathrm{rank} U_c = n);ならば可制御。~
&mimetex(W_s = \int_0^s e^{-A\tau}BB^{T}e^{-A^{T}\tau}d\t...
入力&mimetex(u);を&mimetex(u=B^{T}e^{-A^{T}\tau}W_s^{-1}\...
と取ってやれば、~
目標の&mimetex(x_s);を実現する入力になっている。~
途中で使っている&mimetex(W_s^{-1});が存在すれば可制御。~
もし、&mimetex(\det W_s = 0);となる&mimetex(s\gt 0);が存...
&mimetex(W_s a = 0);となる非零ベクトルaが存在する。~
&mimetex(a^{T}W_s a = \int_0^s ||B^{T}e^{-A^{T}\tau}a||d\...
ノルムの値は非負なので、等式が成り立つためには、被積分関...
&mimetex(B^{T}e^{-A^{T}\tau}a = 0 );~
この式を&mimetex(\tau);で&mimetex(k);階微分して&mimetex(\...
&mimetex(B^{T}(A^{T})^{k}a = 0);~
&mimetex(U_{c}^{T}a = 0);~
&mimetex(\mathrm{rank} U_c = n);ならば、このようなaは存在...
ゆえに、&mimetex(\det W_s);は常に非零で、このシステムは可...
- 演習問題１
-- レポート
- 可観測性
-- ある有限の時間&mimetex([0,s]);の入出力の測定から、~
内部状態の初期値&mimetex(x(0));を唯一に決定できるとき、~
そのシステムは可観測(observable)という。
-- 定理~
線形時不変システムが可観測であるための必要十分条件は、~
可観測性行列&mimetex(U_o=[C,CA,CA^2,...,CA^{n-1}]^{T});(&...
ランクがnであること。~
証明はプリントで。
- 正準分解と最小実現
-- 線形時不変システム,主システム~
&mimetex(x \in \mathbb{R}^{n}, u \in \mathbb{R}^{m}, y \i...
&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);~
&mimetex(y = Cx);に対して、~
双対システム~
&mimetex(\dot{x} = A^{T}x + C^{T}u);~
&mimetex(y = B^{T}x);を考えると、~
主システムの可制御性と双対システムの可観測性は同値。~
主システムの可観測性と双対システムの可制御性は同値。~
片方の可制御性行列は、もう片方の可観測性行列の転置。
-- &mimetex(W = \{ x^d \in \mathbb{R}^n | x^d = U_c h, h ...
可制御系については&mimetex(W=R^n);~
&mimetex(AW = \{ Ax^d | x^d \in W \});は、ケーリー・ハミ...
&mimetex(AW \subset W);が成立。可制御な空間からの時間発展...
&mimetex(M = \{ x^c \in \mathbb{R}^n | x^c = \tilde{U}_c ...
&mimetex(M);は可観測な部分空間。~
&mimetex(A^{T}M \subset M);も成立。可観測な空間の時間発展...
&mimetex(M);の直交補空間&mimetex(M^{\bot});を考えると、~
&mimetex(AM^{\bot} \subset M^{\bot});
-- 以上の集合を使って、以下の集合を定義すれば、~
&mimetex(R_a = W \cap M^{\bot}); 可制御で、可観測でない~
&mimetex(R_b = W \cap M); 可制御で可観測~
&mimetex(R_c = W^{\bot} \cap M^{\bot}); 可制御でなく、可...
&mimetex(R_d = W^{\bot} \cap M); 可制御でなく、可観測~
&mimetex(\mathbb{R}^n = R_a \oplus R_b \oplus R_c \oplus ...
-- それぞれの部分空間の時間発展を考えると、~
&mimetex(AR_a \subset R_a);~
&mimetex(AR_b \subset R_a \oplus R_b);~
&mimetex(AR_c \subset R_a \oplus R_c);~
&mimetex(AR_d \subset \mathbb{R}^n);となる。~
それぞれの空間の基底をとって、~
&mimetex(R_a = \langle x^a_i \rangle_{i=1}^{\nu_a});~
&mimetex(R_b = \langle x^b_i \rangle_{i=1}^{\nu_b});~
&mimetex(R_c = \langle x^c_i \rangle_{i=1}^{\nu_c});~
&mimetex(R_d = \langle x^d_i \rangle_{i=1}^{\nu_d});~
&mimetex(\nu_a + \nu_b + \nu_c + \nu_d = n);~
基底を初期値に時間発展を考えれば、~
&mimetex(Ax^a_i = \sum_{j=1}^{\nu_a}f^{aa}_{ji}x^a_j);~
&mimetex(Ax^b_i = \sum_{j=1}^{\nu_a}f^{ab}_{ji}x^a_j + \s...
&mimetex(Ax^c_i = \sum_{j=1}^{\nu_a}f^{ac}_{ji}x^a_j + \s...
&mimetex(Ax^d_i = \sum_{j=1}^{\nu_a}f^{ad}_{ji}x^a_j + \s...
-- 各部分空間の基底を使って、~
&mimetex(B = [x^{a}_1,x^{a}_2,...,x^{a}_{\nu_a}]G^a + [x^...
各部分空間の基底を横に並べた行列を&mimetex(T);として変換...
&mimetex(AT=TF,B=TG,CT=H);~
&mimetex(F=\left[\begin{matrix}F^{aa} & F^{ab}& F^{ac} & ...
(by yambi)
-- 以上の行列を使って、~
&mimetex(\xi = T^{-1}x);と変換すれば。~
&mimetex(\dot{\xi} = T^{-1}AT\xi + T^{-1}Bu = F\xi + Gu);~
&mimetex(y = CT\xi = H\xi);となる。これを正準分解という。~
これをブロック線図で表すと、入力は可制御な空間である&mime...
出力は可観測な空間である&mimetex(R_d,R_b);から繋がり、~
&mimetex(R_b,R_c);は独立。&mimetex(R_a);は他全てから影響...
&mimetex(R_d);は他全てに影響を及ぼす。
- 最小実現
-- 正準分解した上で入力から出力への伝達関数を書いてみると...
伝達関数が表しているのは、可制御かつ可観測な部分空間の成...
-- 可制御かつ可観測な部分空間の成分を取り出しても、入出力...
これをこのシステムの最小実現と呼ぶ。
- MIMOでの零点
-- システムを表す行列を[[(sI-A), B],[C,D]]と並べたときに、~
この行列をランク落ちさせるsをこのシステムの不変零点と呼ぶ...
この定義はSISOでの零点の定義の一般化になっている。
- SISOの可制御正準形
-- ケーリーハミルトンの定理を使って、Aのかかった連立常微...
&mimetex(x_n);についての高階の微分方程式に帰着。~
詳細は書ききれないのでググって見つけてください。[[http://...
-- &mimetex(\phi(A)=O);~
&mimetex(A x = \dot{x} - Bu);
&mimetex(A^2 x = \ddot{x} - AB\dot{u} - Bu);
&mimetex(A^3 x = \dddot{x} - B\ddot{u} - AB\dot{u} - A^2 ...
- SISOの可観測正準形
- 極配置問題
-- SISOの可制御系&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);について、~
内部状態&mimetex(x);を観測し、&mimetex(u=Fx);とフィードバ...
このようなフィードバックを『状態フィードバック』と呼ぶ。~
&mimetex(\dot{x} = Ax + BFx = (A+BF)x);~
可制御標準形に変換して、&mimetex(\dot{z} = \tilde{A}z + \...
&mimetex(\tilde{B});は最後の行が１で、それ以外がすべて０...
&mimetex(\tilde{F});の項は第n行にしか効いてこない。~
&mimetex(\tilde{A});の第n行は、Aの特性多項式の係数。~
&mimetex(F);を掛けてフィードバックすることは、特性多項式...
特定の場所に伝達関数の極を配置したいときには、その極を根...
&mimetex(\tilde{F});の値を調節して、特性多項式の係数をず...
こうして、可制御系については閉ループ系の極は任意の位置に...
&mimetex(F = \tilde{F}T^{-1});
- レポート問題、12/10まで。
-- コンデンサと抵抗を並列に繋げた回路と、コイルと抵抗を並...
回路全体に流れる電流を入力、出力電圧を出力、~
コンデンサにかかる電圧と、コイルに流れる電流を内部状態と...
可制御性行列と伝達関数を調べ、可制御性との関係を述べよ。
-- 長さ・質量の異なる振り子について、振り子の振れ幅とその...
振り子の長さ・重りの質量の関係を調べよ。振り子の振れ幅は...
-- SISO可制御正準系の&mimetex(\tilde{A});について、&mimet...
-- &mimetex(\dot{x} = [[1,2],[-3,-4]]x + [2,3]u);について...
状態フィードバックにより、極を&mimetex(-2,-3);に配置した...
--- 直接的にFを求めよ。
--- 可制御正準系に直してからFを求めよ。
- 状態推定
-- オブザーバ~
&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);~
&mimetex(y = Cx);について、入出力信号を観測して、&mimetex...
--- &mimetex(x);と同じ方程式に従う別な系&mimetex(\hat{x})...
誤差&mimetex(e = \hat{x}-x);は&mimetex(\dot{e} = Ae);に従...
&mimetex(A);が漸近安定ならば誤差は0へ漸近し、不安定ならば...
--- 代わりに&mimetex(\hat{x});として、&mimetex(\dot{\hat{...
----
- 今日は原さんの講義
- 最適レギュレータ問題~
アクチュエータに使うエネルギーと目標地点への制御の重み付...
- 可制御系は適当な係数を掛けた状態フィードバックで安定化...
&mimetex(\dot{x}\ =\ Ax\ +\ Bu);~
&mimetex(y\ =\ Cx);~
&mimetex(u\ =\ Fx); 状態フィードバック
-- このシステムの内部状態や出力の変化を明示すれば~
&mimetex(x\ =\ e^{(A+BF)t}x_0);~
&mimetex(y\ =\ Ce^{(A+BF)t}x_0);~
&mimetex(F);をうまく選んで、任意の初期値に対して~
&mimetex(\mathrm{lim}_{t\to \infty}x(t)\ =\ 0);となるよう...
システムが可制御であれば、&mimetex(A+BF);の固有値は任意に...
では具体的に&mimetex(F);はどう決めるのがよいか。
-- 評価関数(Performance Index)~
&mimetex(J\ =\ \int_{0}^{\infty}\left{x^{T}Qx + u^{T}Ru \...
&mimetex(Q,R);は状態，制御入力に対する重み行列。~
&mimetex(Q);は半正値対称、&mimetex(R);は正値対称に選ぶ。~
これは&mimetex(Q = C^{T}C);と選ぶと&mimetex(y);の値で評価...
&mimetex(J\ =\ \int_{0}^{\infty}x_{0}^{T}e^{A^{T}+F^{T}B^...
&mimetex(F_{\mathrm{opt}} = - R^{-1}BP);の形で与えられる。~
&mimetex(P);はRiccati方程式&mimetex(A^{T}P+PA+Q-PBR^{-1}B...
可制御で可観測なシステムについては、解は常に存在し、&mime...
--- &mimetex(x);の安定性を仮定すると、任意の正値対称行列&...
&mimetex(\int_{0}^{\infty}\frac{d}{dt}\left{x^{T}Px\right...
&mimetex(J = x_{0}^{T}Px_{0} + \int_{0}^{\infty}x^{T}\lef...
&mimetex(F);を変化させて&mimetex(J);を最小化するには、&mi...
- Riccati方程式の解法
-- ハミルトン行列&mimetex(H=[[A,-BR^{-1}B^{T}],[-Q,-A^T]]...
固有値は実軸・虚軸に対して対称に現れる。~
&mimetex((A,B));が可制御で、&mimetex((A,\sqrt{Q}));が可観...
&mimetex(H);の安定な固有値・固有ベクトルn個を並べたものを...
&mimetex([UV^{-1},-I]H[U,V]^{T} = [UV^{-1},-I][U,V]^{T}\L...
&mimetex(P);として&mimetex(P=UV^{-1});をとると、PはRiccat...
これでRiccati方程式を2n次正方行列であるハミルトン行列Hの...
- Riccati方程式の解について、~
&mimetex(F=-R^{-1}B^{T}P);~
&mimetex(A^{T}P+PA+Q-PBR^{-1}B^{T}P=0);~
-- &mimetex(Q=P(j\omega I-A)+(-j\omega I-A^{T})P+F^{T}RF)...
&mimetex(|I-F(j\omega-A)^{-1}B|_R);を考えると、~
&mimetex(||I-F(j\omega-A)^{-1}B||_R = B^{T}(-j \omega I-A...
&mimetex(||\cdot||_R);は&mimetex(R);を計量とする内積。~
&mimetex(I-F(j\omega-A)^{-1}B);は、最適レギュレータをかけ...
この不等式が意味するところは、任意の周波数の入力に対し、~
外乱に対する強度を示す感度関数の値を１より小さく保てるこ...
-制御入力に対する重みを無限大にして、最適制御をかけたとき...
開ループ伝達関数の不安定極を虚軸対称に反転させたもの。~
制御対象に対する重みを無限大にして、最適制御をかけたとき...
不安定極を虚軸対称に反転させ、他の極は∞に飛ばした形になる。
----
- 状態推定
-- オブザーバ~
&mimetex(\dot{x} = Ax + Bu);~
&mimetex(y = Cx);の入出力を観測してxを推定する。
-- &mimetex(\dot{\hat{x}} = A \hat{x}+Bu + L(C\hat{x}-y))...
これを恒等オブザーバと呼ぶ。~
誤差&mimetex(e = \hat{x}-x);の挙動を見ると、~
&mimetex(\dot{e} = Ae + LC\hat{x} - LCx = (A+LC)e);~
系が可制御ならば、&mimetex((A^{T},C^{T}));が可制御で、~
&mimetex((A+LC)^{T});の極は任意に配置可能、&mimetex(A+LC)...
&mimetex(A+LC);を安定化すれば&mimetex(\mathrm{lim}_{t\to ...
&mimetex(\hat{x});によって入出力だけから&mimetex(x);を観...
-- 最小次元オブザーバ~
&mimetex((A,C));が可観測で、&mimetex(C\in \mathbb{R}^{m\t...
&mimetex(C);に行を追加して、正則な行列&mimetex(T);を作り、~
&mimetex(T=\left[\begin{matrix} C \\ U \end{matrix}\right...
&mimetex(\tilde{A}=TAT^{-1});とする。&mimetex(C=[I\ 0]T);...
&mimetex(\tilde{C}=CT^{-1}=[I\ 0]);とすると、~
&mimetex((A,C)\to (\tilde{A},\tilde{C}));は&mimetex(T);に...
&mimetex(\tilde{A} = \left[\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A...
&mimetex(\mathrm{rank}\left[\begin{matrix}A_{12}\\A_{12}A...
&mimetex(A_{22},A_{12});が可観測であることが得られる。~
&mimetex(A_{22}+LA_{12});を安定化するLが存在する。~
&mimetex(\dot{z} = (A_{22}+LA_{12})(z-Ly)+(A_{21}+LA_{11}...
&mimetex(e=(U+LC)x-z);は、~
&mimetex(\dot{e} = \left[\begin{matrix}L&I\end{matrix}\ri...
に従う。
&mimetex(A_{22}+LA_{12});を安定化すれば、誤差&mimetex(e);...
&mimetex(\left[\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right]\to \...
&mimetex(\left[\begin{matrix}C\\U\end{matrix}\right]^{-1}...
- カルマンフィルタ~
フィルタ：推定対象に混入する外乱を除去するもの。~
&mimetex(\dot{x} = Ax+Bu+v);~
&mimetex(y=Cx+w);という系を考える。~
&mimetex(v);はシステム雑音、&mimetex(w);を観測雑音と呼ぶ。~
&mimetex(v,w);は白色雑音だと仮定する。~
&mimetex(E[v]=E[w]=0);~
&mimetex(E[v(t)v^{T}(t+\tau)] = Q\delta(\tau));~
&mimetex(E[w(t)w^{T}(t+\tau)] = R\delta(\tau));~
&mimetex(E[v(t)w^{T}(\tau)] = 0);~
入出力&mimetex(u,y);から状態&mimetex(x);を推定する。~
&mimetex(\tilde{x}(t) = E[x(t) | y(\tau),u(\tau),\tau \le...
-- 条件付き期待値~
&mimetex(f(x,y));を&mimetex(x,y);の同時確率密度だとして、~
&mimetex(f(x|y) = \frac{f(x,y)}{\int f(x,y)dx});と、条件...
条件付き期待値を&mimetex(E[x|y]=\int xf(x|y)dx);と定義す...
何らかの方法で&mimetex(y);から&mimetex(x);の推定値&mimete...
その二乗誤差の期待値には下限が存在し、&mimetex(E[(x-\tild...
--- 補題：任意の関数&mimetex(h(x));について、&mimetex(E[(...
-- 条件付き期待値&mimetex(\tilde{x});は、~
&mimetex(\dot{\tilde{x}} = F\tilde{x}+Gy+Hu);という形の微...
係数行列&mimetex(F,G,H);が満たすべき性質は、~
&mimetex(E[\tilde{x}] = E[x]);~
&mimetex(E[\dot{x}] = AE[x]+Bu);~
&mimetex(E[y] = CE[x]);~
&mimetex(E[\dot{\tilde{x}}] = E[\dot{x}] = (F+GC)E[x]+Hu)...
&mimetex(A=F+GC,\ B=H);~
&mimetex(\dot{\tilde{x}} = (A-GC)\tilde{x}+Gy+Bu);~
~
残ったGを決めるために、誤差&mimetex(e=x-\tilde{x});を考え...
&mimetex(\dot{e} = (A-GC)e - Gw + v);~
誤差の共分散行列を&mimetex(\tilde{P} = E[e(t)e^{T}(t)]);...
十分時間が経った後では、&mimetex(\tilde{P});は~
&mimetex((A-GC)\tilde{P}+\tilde{P}(A-GC)^{T}+GRG^{T}+Q=0)...
変形すると&mimetex(A\tilde{P}+\tilde{P}A^{T}+(G-\tilde{P}...
&mimetex(A-GC);が安定ならば、&mimetex(\tilde{P});には下限...
&mimetex(AP+PA^{T}+Q-PC^{T}R^{-1}CP=0);に対して~
&mimetex(\tilde{P}\geq P);が成立。~
&mimetex(G=PCR^{-1});と選んでやると&mimetex(P=\tilde{P});...
誤差の分散を最小にする&mimetex(G);が得られた。
-- &mimetex(\tilde{P} = E[ee^{T}]);~
&mimetex(\tilde{e^{T}e}=\mathrm{tr}[\tilde{P}]);~
&mimetex(\mathrm{tr}[\tilde{P}-P]\geq 0);、&mimetex(\math...
&mimetex(\tilde{P}=P);となれば2乗誤差が最小になる。~
&mimetex(G=PCR^{-1});をカルマンゲイン、&mimetex(AP+PA^{T}...
- ノイズの扱い~
&mimetex(x\in \mathbb{R}^{n},y\in \mathbb{R}^{m});が正規...
&mimetex(E[xx^{T}]=M_{xx});~
&mimetex(E[x]=m_{x});~
&mimetex(E[xy^{T}]=M_{xy});~
&mimetex(E[yy^{T}]=M_{yy});~
&mimetex(E[y]=m_{y});~
&mimetex(z=\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]);~
&mimetex(M_{zz}=\left[\begin{matrix}M_{xx}& M_{xy}\\M_{yx...
&mimetex(m_{z}=\left[\begin{matrix}m_{x}\\m_{y}\end{matri...
&mimetex(P(z) = \frac{\exp(-\frac{1}{2}(z-m_z)^{T}M^{-1}_...
&mimetex(y);が分かったときの&mimetex(x);の条件付き分布は...
これを計算すると、&mimetex(\tilde{z}=x-m_{x}-M_{xy}M^{-1}...
&mimetex(N_{xx} = (M_{xx}-M_{xy}M^{-1}_{yy})M_{yx})^{-1})...
&mimetex(\exp(\mathrm{1}{2}\tilde{z}^{T}N_{xx}\tilde{z}))...
&mimetex(\tilde{z});は&mimetex(y);について一次式で、&mime...
推定に使う&mimetex(\tilde{x});を&mimetex(y);の一次式で作...
- フィードバック制御
- レギュレータ問題
-- レギュレーション
&mimetex(x(0)\neq 0);のとき、&mimetex(x(t)\to 0);としたい...
系が可制御でならば状態フィードバックによって極配置可能。...
状態フィードバックが使えないときには？
-- オブザーバ併合フィードバック系~
状態推定からフィードバックして制御する。
-- 系~
&mimetex(\dot{x} = Ax+Bu);~
&mimetex(y = Cx);に対して~
オブザーバ~
&mimetex(\dot{\xi} = \hat{A}\xi + \hat{B}u + \hat{L}y);~
&mimetex(\hat{x} = \hat{E}\xi + \hat{G}y);を使って~
&mimetex(u = F\hat{x});とフィードバックをかける。
-- &mimetex(\dot{x} = Ax + BF\hat{x});~
&mimetex(\ \ =(A+BF\hat{G}C)x+BF\hat{E}\xi);~
&mimetex(\dot{\xi} = (\hat{A}+\hat{B}F\hat{E})\xi+(\hat{B...
-- &mimetex(\left[\begin{matrix}\dot{x}\\ \dot{\xi}\end{m...
-- 恒等オブザーバの場合には、~
&mimetex(\hat{A} = A+LC);~
&mimetex(\hat{B} = B);~
&mimetex(\hat{E} = I);~
&mimetex(\hat{L} = -L);~
&mimetex(\hat{G} = O);~
&mimetex(\xi = \hat{x});と置いて、~
&mimetex(\frac{d}{dt}\left[\begin{matrix}x\\\hat{x}\end{m...
&mimetex(T = \left[\begin{matrix}I & O \\ -I & I\end{matr...
&mimetex(T\left[\begin{matrix}x\\\hat{x}\end{matrix}\righ...
&mimetex(\frac{d}{dt}\left[\begin{matrix}x \\ e\end{matri...
この形の係数行列の固有値は、&mimetex(A+BF);の固有値と&mim...
この系が可制御で可観測ならば、制御と推定を独立に実行して...
「推定と制御の分離定理」~
~
A+BFは状態フィードバック系、A+LCがオブザーバ系。極は|sI-...
-- 一般のオブザーバの場合にも、~
&mimetex(\hat{A}M = MA-\hat{L}C);~
&mimetex(I=\hat{E}M+\hat{G}C);~
&mimetex(\hat{B}=MB);となる&mimetex(M);が存在すると仮定す...
&mimetex(\left[\begin{matrix}x \\ e\end{matrix}\right] = ...
&mimetex(\frac{d}{dt}\left[\begin{matrix}x \\ e\end{matri...
&mimetex(e = \xi - Mx);、&mimetex(\xi);は&mimetex(x);の重...
--- 最小次元オブザーバの場合、~
&mimetex(M=U+LC);ととってやればよい。
- サーボ問題
-- ステップ信号~
一次元では~
&mimetex(\dot{r}(t) = 0,\ \ \ r(0)=r_{0});~
&mimetex(r(s) = r_{0}/s);~
一般形では~
&mimetex(\dot{r}(t) = A_{r}r(t),\ \ r(0)=r_{0});~
&mimetex(y_{r}(t) = C_{r}r(t));~
&mimetex(y_{r}(s) = C_{r}(sI-A_{r})^{-1}r_{0} = N_{r}(s)/...
&mimetex(d_{r}(s) = \det(sI-A_{r}));
-- &mimetex(u(s) = C(s)y(s));という系に~
フィードバックをかけて系を安定化するために、~
&mimetex(y(s) = e(s) = y_{r}(s) - P(s)u(s));とする、~
&mimetex(P(s)C(s));が不安定零点を極にもつ必要がある。
- PBHテスト
-- 系が可制御であるための必要十分条件
- 問1~
&mimetex(\dot{x} = \left[\begin{matrix}0&1\\-5&-2\end{mat...
&mimetex(y = \left[\begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]x);~
この系が可観測かどうかを判定せよ。~
恒等オブザーバで、オブザーバの極を&mimetex(-3,-4);に配置...
&mimetex(u = \left[\begin{matrix}3&-1\end{matrix}\right]\...
(&mimetex(\tilde{x});を恒等オブザーバの状態変数)~
としたときの併合系全体の極を示せ。~
併合系全体のブロック線図を書け。
- 考え
可観測は、[C|CA]^Tだよね。~
A+LCがオブザーバ系で、L=(l1,l2)とおいて、V=A+LCを求めて、...
全体の極は、オブザーバの極とフィードバックの極をあわせた...
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