変形体の力学
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[[講義日程-2007年度冬学期]]
- 変形体の力学。へんたいけいのりきがく
-- [[講義ページ>http://hagi.k.u-tokyo.ac.jp/~mio/note/dmm...
-- 出席 (10%)
-- 演習 (20%)
-- 試験、紙媒体持ち込み可 (70%)
-- 教科書
11月23日休講
11月30日演習（平方根の計算ができる電卓を持参すること）
- 連続体
-- 連続体とは
-- 応力
-- 保存則
-- 運動方程式
- 弾性体
-- 弾性変形
-- ひずみ
-- フックの法則
-- つりあいの方程式
-- 均等変形
-- 棒の曲げ
-- 棒のねじれ
-- 弾性振動
-- 粘弾性
- 流体
-- 流体の性質
-- 完全流体とオイラー方程式
-- 渦と循環
-- 渦なしの流れと速度ポテンシャル
-- ベルヌーイの定理
-- 2次元流と複素速度ポテンシャル
-- 粘性流体とナビエ・ストークス方程式
-- 1次元流
-- 流体中の波動
- 変形体・連続体
-- 通常の物体には大きさがあり、変形する。
--- 固体：外力がなければ形を保つ。微小な外力に対して、線...
--- 液体・気体：それ自身には形はない。小さな力に対しても...
-- 変形体は無限の自由度を持つと見なせる。
-- cf)剛体：大きさはあるが変形しない。自由度6
- 連続体
-- 質点：質量を持つが大きさを持たない。自由度3。~~質点の...
-- 質点系：質点の集まり。自由度3n。~~それぞれの質点につい...
-- 現実の物体は10^23のオーダーで質点が集まっていると見な...
-- 例）密度：単位体積あたりの質量~~現実の物体に対しては、...
- 連続体に働く力
-- 連続体の微小な一部分を取り出して、そこに働く力を考える。
--- 体積力：微小部分全体に働く力。体積に比例。
--- 応力：境界面を通して働く力。境界面の体積について線形...
- 体積力`
-- 連続体を構成する物質に直接働く力。~~重力・電磁気力。プ...
- 応力
-- 連続体の構成要素の間に働く力。連続体内に取った微小直方...
-- 力の働く面の向きと面積から、線形に力のベクトルが一つ定...
-- 微小体積に境界面を通して働く力の密度は ''F'' = ∂[j]t[i...
-- 巨視的領域に働く応力の合力は、微小要素に働く応力の総和...
----
- 応力テンソル：t[i,j],j方向の面素ベクトルに働く面積あた...
-- 法線ベクトル n[i]を持つ面に働く面積当たりの力は t[i,j]...
- アインシュタインの縮約規則
-- ベクトル・テンソル等、添え字を持つ量について、一つの項...
- 完全反対称テンソル
-- ε[i,j,k]~~ε[1,2,3] = 1~~各添え字に対して反対称
-- 実際には擬テンソル。向き付けの変わる変換に対して符合が...
- 応力のモーメント
-- ∫[Ω]ε[i,j,k]x[j]∂[l]t[k,l]dV~~= ∫[Ω]{ε[i,j,k]∂[l](x[j]...
-- 応力テンソルは表面を通して働く力だから、応力のモーメン...
- 連続体の運動
-- 連続体を小さな領域に分けて、その小領域が一体となって運...
-- 場の量としての流体の密度：ρ,流速：u,体積力：k,応力：t...
- オイラー微分とラグランジュ微分
-- オイラー微分：普通の偏微分。空間成分を固定。∂/∂t
-- ラグランジュ微分：速度場に乗った流体要素の運動を追いか...
-- ニュートンの運動方程式は質点の運動を規定する運動方程式...
- 連続の式
-- 流体要素の質量の増減は、流体要素表面からの出入りと等し...
- 連続体の運動方程式
-- 連続体中に任意に微小体積Ωをとるとその内部の運動量はP=∫...
-- 運動量の流れによる変化。運動量を持った粒子の移動による...
-- 外力による変化。体積力と応力の和。~~∫[Ω](k[i]+∂[j]t[i,...
-- 運動方程式の積分形は、(∂/∂t)∫[Ω]ρv[i]dV = -∫[∂Ω](ρv[i]...
-- 連続の式を使うと、左辺はラグランジュ微分 ρ(∂/∂t + v[j]...
- 弾性体
-- 外力を加えていないときは一定の形を保つ。
-- 弱い外力に対しては線形に変形し、外力を除くと元に戻る。...
-- 外力を強くしていくと、変形は非線形になり、さらに強くす...
-- 固体を弾性変形に着目して見るときは弾性体と呼ぶ。
- 変形ベクトルと歪みテンソル
-- 外力が加わっていないときに取った点Aが、微小な外力に対...
-- この変形ベクトルは、弾性体の歪みを伴わない平行移動や回...
-- 隣接した二点A(x),B(x+δx)が、外力によってA'(x+u(x,t)),B...
-- |A'B'|^2 - |AB|^2は二次形式、∂[j]u[i]を対称成分、反対...
- 体積の変化率
-- 変形前後の体積変化は、ヤコビアンを使ってδV'/δV = ∂(x+u...
- フックの法則
-- バネについての、f=kx。変位は外力に比例する。
-- 弾性体については、応力と歪みが線形になっている。（線形...
-- 対称性の高い等方的な材料の弾性テンソルは、座標回転につ...
- フックの法則
-- &mimetex(t_{ij} = C_{ijkl}S_{k,l});
-- 等方的な弾性体については&mimetex(C_{ijkl} = \lambda \d...
&mimetex(t_{ij} = \lambda \delta_{ij}\partial_k u_k + 2\m...
- 等方弾性体の変形の方程式
-- つりあいの式 &mimetex(\frac{Du}{dt} = 0);~
&mimetex(S_{ij} = \frac{1}{2}(\partial_j u_i + \partial_i...
&mimetex(k_i + \partial_j t_{ij} = 0); ~
-- &mimetex(\partial_j t_{ij} = (\lambda + \mu)\partial_i...
- 境界条件
-- 方程式の解を決めるには境界条件が必要。
-- 固定端条件：表面に垂直な成分が０。&mimetex(u_i n_i = 0...
-- 自由端条件：表面に垂直な応力が０。&mimetex(t_{ij} n_j ...
-- 一定の外力を与える。：&mimetex(t_{ij}n_j = F_i);
- 弾性変形のエネルギー
-- 変分をとると応力がでてくるようにエネルギーの表式を作る...
歪みに対して線形な応力を考えているので、エネルギーは歪み...
応力&mimetex(\partial_j t_{ij});が働いている物体を&mimete...
物体全体に渡って積分すると、&mimetex(\delta W = \int \del...
&mimetex(\delta W = \int \delta u_i t_{ij}dS_j + \int t_{...
表面項を落として、内部でのエネルギーを取り出せば、~
&mimetex(\delta W = \int t_{ij} \delta S_{ij} dV = \int C...
&mimetex(\epsilon_{el} = \frac{1}{2}C_{ijkl}S_{ij}S_{kl});
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- 変形体の力学。へんたいけいのりきがく
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-- 出席 (10%)
-- 演習 (20%)
-- 試験、紙媒体持ち込み可 (70%)
-- 教科書
11月23日休講
11月30日演習（平方根の計算ができる電卓を持参すること）
- 連続体
-- 連続体とは
-- 応力
-- 保存則
-- 運動方程式
- 弾性体
-- 弾性変形
-- ひずみ
-- フックの法則
-- つりあいの方程式
-- 均等変形
-- 棒の曲げ
-- 棒のねじれ
-- 弾性振動
-- 粘弾性
- 流体
-- 流体の性質
-- 完全流体とオイラー方程式
-- 渦と循環
-- 渦なしの流れと速度ポテンシャル
-- ベルヌーイの定理
-- 2次元流と複素速度ポテンシャル
-- 粘性流体とナビエ・ストークス方程式
-- 1次元流
-- 流体中の波動
- 変形体・連続体
-- 通常の物体には大きさがあり、変形する。
--- 固体：外力がなければ形を保つ。微小な外力に対して、線...
--- 液体・気体：それ自身には形はない。小さな力に対しても...
-- 変形体は無限の自由度を持つと見なせる。
-- cf)剛体：大きさはあるが変形しない。自由度6
- 連続体
-- 質点：質量を持つが大きさを持たない。自由度3。~~質点の...
-- 質点系：質点の集まり。自由度3n。~~それぞれの質点につい...
-- 現実の物体は10^23のオーダーで質点が集まっていると見な...
-- 例）密度：単位体積あたりの質量~~現実の物体に対しては、...
- 連続体に働く力
-- 連続体の微小な一部分を取り出して、そこに働く力を考える。
--- 体積力：微小部分全体に働く力。体積に比例。
--- 応力：境界面を通して働く力。境界面の体積について線形...
- 体積力`
-- 連続体を構成する物質に直接働く力。~~重力・電磁気力。プ...
- 応力
-- 連続体の構成要素の間に働く力。連続体内に取った微小直方...
-- 力の働く面の向きと面積から、線形に力のベクトルが一つ定...
-- 微小体積に境界面を通して働く力の密度は ''F'' = ∂[j]t[i...
-- 巨視的領域に働く応力の合力は、微小要素に働く応力の総和...
----
- 応力テンソル：t[i,j],j方向の面素ベクトルに働く面積あた...
-- 法線ベクトル n[i]を持つ面に働く面積当たりの力は t[i,j]...
- アインシュタインの縮約規則
-- ベクトル・テンソル等、添え字を持つ量について、一つの項...
- 完全反対称テンソル
-- ε[i,j,k]~~ε[1,2,3] = 1~~各添え字に対して反対称
-- 実際には擬テンソル。向き付けの変わる変換に対して符合が...
- 応力のモーメント
-- ∫[Ω]ε[i,j,k]x[j]∂[l]t[k,l]dV~~= ∫[Ω]{ε[i,j,k]∂[l](x[j]...
-- 応力テンソルは表面を通して働く力だから、応力のモーメン...
- 連続体の運動
-- 連続体を小さな領域に分けて、その小領域が一体となって運...
-- 場の量としての流体の密度：ρ,流速：u,体積力：k,応力：t...
- オイラー微分とラグランジュ微分
-- オイラー微分：普通の偏微分。空間成分を固定。∂/∂t
-- ラグランジュ微分：速度場に乗った流体要素の運動を追いか...
-- ニュートンの運動方程式は質点の運動を規定する運動方程式...
- 連続の式
-- 流体要素の質量の増減は、流体要素表面からの出入りと等し...
- 連続体の運動方程式
-- 連続体中に任意に微小体積Ωをとるとその内部の運動量はP=∫...
-- 運動量の流れによる変化。運動量を持った粒子の移動による...
-- 外力による変化。体積力と応力の和。~~∫[Ω](k[i]+∂[j]t[i,...
-- 運動方程式の積分形は、(∂/∂t)∫[Ω]ρv[i]dV = -∫[∂Ω](ρv[i]...
-- 連続の式を使うと、左辺はラグランジュ微分 ρ(∂/∂t + v[j]...
- 弾性体
-- 外力を加えていないときは一定の形を保つ。
-- 弱い外力に対しては線形に変形し、外力を除くと元に戻る。...
-- 外力を強くしていくと、変形は非線形になり、さらに強くす...
-- 固体を弾性変形に着目して見るときは弾性体と呼ぶ。
- 変形ベクトルと歪みテンソル
-- 外力が加わっていないときに取った点Aが、微小な外力に対...
-- この変形ベクトルは、弾性体の歪みを伴わない平行移動や回...
-- 隣接した二点A(x),B(x+δx)が、外力によってA'(x+u(x,t)),B...
-- |A'B'|^2 - |AB|^2は二次形式、∂[j]u[i]を対称成分、反対...
- 体積の変化率
-- 変形前後の体積変化は、ヤコビアンを使ってδV'/δV = ∂(x+u...
- フックの法則
-- バネについての、f=kx。変位は外力に比例する。
-- 弾性体については、応力と歪みが線形になっている。（線形...
-- 対称性の高い等方的な材料の弾性テンソルは、座標回転につ...
- フックの法則
-- &mimetex(t_{ij} = C_{ijkl}S_{k,l});
-- 等方的な弾性体については&mimetex(C_{ijkl} = \lambda \d...
&mimetex(t_{ij} = \lambda \delta_{ij}\partial_k u_k + 2\m...
- 等方弾性体の変形の方程式
-- つりあいの式 &mimetex(\frac{Du}{dt} = 0);~
&mimetex(S_{ij} = \frac{1}{2}(\partial_j u_i + \partial_i...
&mimetex(k_i + \partial_j t_{ij} = 0); ~
-- &mimetex(\partial_j t_{ij} = (\lambda + \mu)\partial_i...
- 境界条件
-- 方程式の解を決めるには境界条件が必要。
-- 固定端条件：表面に垂直な成分が０。&mimetex(u_i n_i = 0...
-- 自由端条件：表面に垂直な応力が０。&mimetex(t_{ij} n_j ...
-- 一定の外力を与える。：&mimetex(t_{ij}n_j = F_i);
- 弾性変形のエネルギー
-- 変分をとると応力がでてくるようにエネルギーの表式を作る...
歪みに対して線形な応力を考えているので、エネルギーは歪み...
応力&mimetex(\partial_j t_{ij});が働いている物体を&mimete...
物体全体に渡って積分すると、&mimetex(\delta W = \int \del...
&mimetex(\delta W = \int \delta u_i t_{ij}dS_j + \int t_{...
表面項を落として、内部でのエネルギーを取り出せば、~
&mimetex(\delta W = \int t_{ij} \delta S_{ij} dV = \int C...
&mimetex(\epsilon_{el} = \frac{1}{2}C_{ijkl}S_{ij}S_{kl});
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