幾何数理工学演習
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担当：谷口(やぐち)さん
yaguchi@mist.i.(東大ドメイン)
６号館３５６号室
- 演習はテスト形式。レポート用紙は持参してください。~
序盤60分は前回分の解説や講義の補足。~
中盤90分は問題演習。~
終盤30分はポイントの解説。~
途中に適宜休憩。
-- レポート用紙はA4。
-- なるべく大きい文字で、読める字で。消しゴム使って。
-- ノート,プリントは持ち込み可。参考書は不可。ノートパソ...
-- 友達との相談は可。むしろ推奨。ただし相談相手の名前を書...
-- 飲食物持ち込み可。軽いものなら。
---%%カフェイン、カフェイン、カフェイン%%
- 成績は算法数理工学演習と一緒に。
-- 出席点(ほぼこれ)
-- テスト点(相対評価)
-- レポート点
--- 各回の重要な問題が解けなかったときは、次回までに。
--- 冬休みの宿題(任意)
- 位相幾何
-- 距離空間
-- 位相空間
-- ホモトピー,ホモロジー
- テンソル解析
--
--
--
- 位相幾何~
連続的変形で不変な性質についての幾何学
-- エルランゲン・プログラム~
クライン「幾何学とは、特定の変換で不変な性質を研究するこ...
-- 位相同型写像~
連続な全単射で、逆写像も連続。~
必ずしも距離の入っていない空間で、「連続」を定義する。
- 距離空間
-- ある集合上の、非負,対称で,密着でなく、三角不等式を満た...
距離の備わった集合を距離空間と呼ぶ。~
「関数」は&mimetex(\mathbb{R});への写像。
--- 同値な別の定義もある。（問）
--- 距離は有限であることは必要。（問）
--- 距離は一意に定まるとは限らない。同値でない別な定義も...
-- 近傍~
距離空間 &mimetex(X);上の点&mimetex(x\in X);に対して、~
&mimetex(N(x,\varepsilon) = \{ y \in X | d(x,y)\leq \vare...
を&mimetex(x);の&mimetex(\varepsilon);近傍と呼ぶ。
-- 距離空間における連続性~
距離空間&mimetex(X,Y);について、写像&mimetex(f:X\to Y);が...
&mimetex(\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0....
-- 距離がうまく定義できない空間について、連続写像や極限を...
なんとかして位相から連続写像や極限を使う。
--- 内積→ノルム→距離→位相
--- セミノルム系→位相
- 位相空間
-- 位相同型,連続
-- コンパクト性,連結性
-- 弧状連結
-- ハウスドルフ空間
-- 群論の復習
- 弧状連結
-- 位相空間における連結とは、空でない互いに疎な開集合では...
互いに疎な開集合で全空間を分割したときに、必ず片方が空で...
-- 弧状連結とは、空間中の任意の２点について、それらを繋ぐ...
弧状連結なら連結。連結でも弧状連結とは限らない。
--- &mimetex(x,y\in X);を繋ぐ連続曲線とは、&mimetex(f:[0,...
// ここでシステムバスター襲来。
- ハウスドルフ空間
-- 空間上の任意の２点を、互いに疎な開集合で分離できる空間...
一点集合が閉集合になることと同値。~
ハウスドルフ空間では、数列の収束先が高々一つに定まる。~
複数の収束先を持つ数列を排除できる。
// カフェイン許容量オーバー気味なのに眠気が収まらない…zzzzz
//風邪。咳が止まらない。
- 解説
-- 位相空間での連続性を示すときにεδや点列で示すのはダメ。
-- コンパクト性の証明のときには、
- レポート~
問４、(2)が5点以下の人。
- ホモトピー
- ホモロジー
-- ホモトピーは計算がとても大変。~
システマティックな計算法がない。~
群の構造も複雑。
-- ホモロジー群ならシステマティックな計算ができる。コンピ...
群の構造もホモトピー群に比べて単純。有限生成な自由加群。~
でもわかりにくい。
-- 直感的には、~
ループで図形を切断したときに、破片がどうなるかに着目。~
ループの中身が詰まっていて、連続的に一点に縮むようなルー...
中身が「穴」で、中身がないループの場合がある。~
中身が詰まっているループは、閉領域の「境界」になっている...
中身のないループはそうではない。~
複体の図形に、直感的に違和感の無いように境界を定義しよう！~
単体の各辺を境界にすると、複体に拡張したときに、~
内部の辺が２重の境界になって現れてしまう。~
うまく定義するためには、~
--- &mimetex(\mathbb{Z}_2);上で考え、２重になった辺を排除~
→トーラスとクラインの壷を区別できない。図形の向き付け可能...
--- 複体を構成する単体に向きをつけるとうまくいく。
- 複体&mimetex(K);の&mimetex(m);次元鎖群&mimetex(C_{m}(K)...
&mimetex(K);に含まれる&mimetex(m);単体に&mimetex(\mathbb{...
形式的に足したものからなる群。
- &mimetex(m);単体&mimetex(\Delta);の境界、&mimetex(\part...
&mimetex(\Delta = \langle p_{0}p_{1}\cdots p_{m} \rangle);~
&mimetex(\partial \Delta = \sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}\langle ...
単体に含まれる辺に、符号をつけて足し合わせたもの。
- 単体鎖の境界は、含まれる各単体の境界を、その係数を重み...
&mimetex(\partial);は境界作用素，境界準同型と呼ばれる。
- 複体&mimetex(K);に&mimetex(m);次元輪体群~
&mimetex(Z_{m}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_m));、(&mimetex...
- &mimetex(K);のm次元境界輪体群~
&mimetex(B_{m}(K) = \mathrm{Im}(\partial_{m+1}));
- &mimetex(B_{m}(K)\subset Z_{m}(K));が成立。~
&mimetex(H_{m}(K) = Z_{m}(K) / B_{m});を調べると、図形の...
これを&mimetex(K);の&mimetex(m);次元ホモロジー群と呼ぶ。
- cf)多様体上の微分形式&mimetex(\omega);と、外微分作用素...
- 例)~
&mimetex(K = \{|p_0|,|p_1|,|p_2|,|p_{0}p_{1}|,|p_{1}p_{2}...
&mimetex(C_{0}(K) = \mathbb{Z}[\langle p_0 \rangle,\langl...
&mimetex(C_{1}(K) = \mathbb{Z}[\langle p_{0}p_{1} \rangle...
&mimetex(Z_{0}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_0) = C_{0}(K));~
&mimetex(Z_{1}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_1) = \mathbb{Z}...
&mimetex(B_{0}(K) = \mathrm{Im}(\partial_1) = \{a\langle ...
&mimetex(B_{1}(K) = \mathrm{Im}(\partial_2) = \{0\});~
&mimetex(H_{0}(K) = Z_{0} / B_{0} \simeq \mathbb{Z});~
&mimetex(H_{1}(K) = Z_{1} / B_{1} = Z_{1}(K) \simeq \math...
今日からテンソル解析。
- テンソル(tensor)解析~
空間上の位置に依存する量、座標変換に対して不変な意味を持...
場の量の値は座標系に依存するが、量同士の関係は座標系に依...
物理法則は直交座標系で書くことの多いが、問題によっては~
斜交座標や、もっと一般に曲線座標を取った方が簡単になる場...
そもそも直交座標系をとれない場合もある。
-- ベクトル解析で扱う量~
スカラー:&mimetex(s);添字の数は0個~
ベクトル:&mimetex(v=(v_{i}));添字の数は1個~
行列:&mimetex(T=(T_{ij}));添字の数は2個~
&mimetex(p);価の反変テンソル:&mimetex(T=(T_{i_{1}i_{2}\cd...
-- 最急降下法~
十分滑らかな関数&mimetex(f:\mathbb{R}^{n}\to R);を最小化...
&mimetex(d_{\mu}=-\partial_{\mu}f);の方向に解を探す。~
しかし、&mimetex(x^{\mu}=td_{\mu});として解を探すのでは~
添字の上下が食い違う。&mimetex(\to);探索の方向が座標系に...
Newton法なら座標系に依らない探索ができている。
- テンソル%%懐石%%解析の導入
-- 座標変換に注目。座標変換に対して特定の形で変換される量。
-- 多様体の接空間とその双対空間に注目。
- 今日の内容~
スカラー~
反変ベクトルと共変ベクトル~
Einsteinの縮約記法
- アフィン変換~
&mimetex(\tilde{x}=Ax+a);の形の変換をアフィン変換と呼ぶ。
- アフィン空間~
アフィン変換で移り変われる座標系の族を持った空間をアフィ...
n次元のアフィン空間を&mimetex(E_n);と書く。
- Einsteinの縮約記法~
同じ上付き添字と下付き添字のペアが一つの項にでてきたら、...
- 反変ベクトル,共変ベクトル~
ある座標系から別の座標系へ座標変換したとき、~
それに伴って線形変換&mimetex(A_{\mu}^{\lambda});が定まり~
&mimetex(\tilde{v}_{mu} = A_{\mu}^{\lambda}v_{\lambda});...
&mimetex(A);の逆行列&mimetex((A^{-1})_{\mu}^{\lambda});、...
&mimetex(\tilde{v}^{mu} = (A^{-1})_{\lambda}^{\mu}v^{\lam...
//&mimetex(\tilde{x}=\tilde{x}(x));~
//&mimetex(\tilde{v}_{\mu} = \frac{\partial x^{\lambda}}{...
//&mimetex(\tilde{v}^{\mu} = \frac{\partial \tilde{x}^{\m...
反変ベクトルの添字は上付き、共変ベクトルの添字は下付きに...
- スカラー~
座標系に依らずに値が定まる量、座標変換に対して変換されな...
- 冬休みの宿題（提出は任意、提出は次回2008/1/24）~
テンソル解析を勉強してまとめてみてください。~
提出した人は、
-- 休んだ回について平均点をつけます。
-- その人の６回の平均点に、内容に応じて底上げ。
- テンソルに対する演算
-- 和~
テンソルの和は成分ごとの和
-- 積~
テンソルの積は成分ごとの積。共変&mimetex(p);次、反変&mime...
共変&mimetex(p');次、反変&mimetex(q');次のテンソルの積は~
共変&mimetex(p+p');次、反変&mimetex(q+q');次のテンソル。~
&mimetex(T\otimes S);と書く。
-- 縮約~
共変添字と反変添字をペアにして和をとる。~
共変&mimetex(p);次、反変&mimetex(q);次のテンソルを特定の...
共変&mimetex(p-1);次、反変&mimetex(q-1);次のテンソルにな...
テンソル積をとってから縮約したものを縮約積と呼ぶ。
- エディントンのイプシロン(完全反対称擬テンソル)~
&mimetex(\mathbb{R}^3);上の共変3次の擬テンソル。&mimetex(...
&mimetex(\varepsilon_{123} = 1);で、添字の添字の交換につ...
&mimetex(\varepsilon_{123} = \varepsilon_{231} = \varepsi...
&mimetex(\varepsilon_{321} = \varepsilon_{213} = \varepsi...
他は0。~
反変版&mimetex(E^{\mu \lambda \kappa});についても同様。
- レポート~
問2、テンソルの座標変換後半3つ、6点以下の人は解きなおし。~
今月中、数理3研のポストへ。~
定義どおりに計算してください。
- 今日の内容
-- 計量
-- 対称化、交代化、外積空間
-- 擬テンソル、テンソル密度
- 計量~
正値対称な共変2階テンソル~
反変ベクトルの空間に内積を定める。~
計量は幾何学的な量を全て特徴づける。距離，角度,面積，体積...
反変ベクトルと共変ベクトルに座標系に依らない同型を導く。~
内積があればベクトル空間の基底を直交化できる。~
直交化すれば反変ベクトルと共変ベクトルの対応付けでの成分...
- 対称化，交代化~
添字を&mimetex(());でくくったときには、その添字について対...
添字が並んでいないときには、&mimetex(||);で挟まれた部分は...
複数のテンソルに渡って対称化することもあり。~
&mimetex([]);でくくったときには、その添字については反対称...
同じく&mimetex(||);で挟まれた部分は除外。
- 外積空間~
&mimetex(p);階の反変交代テンソルを反変p-ベクトル、~
&mimetex(p);階の共変交代テンソルを共変p-ベクトル,p-形式と...
p-ベクトルの作る線形空間を外積空間と呼ぶ。~
テンソルの偏微分はテンソルになるとは限らないが、~
その交代化であるテンソルの外微分はテンソルになる。
- 擬テンソル~
座標反転以外の座標変換ではテンソルとして振る舞い、~
座標反転では符号が入れ替わる量。エディントンのイプシロン...
- テンソル密度~
座標変換に対して、変換行列の行列式の絶対値が~
スケーリング因子として現れるテンソルっぽい量。~
変換行列の行列式の絶対値が&mimetex(|\Delta|^{-t});と出て...
重みtのテンソル密度。
終了行:
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担当：谷口(やぐち)さん
yaguchi@mist.i.(東大ドメイン)
６号館３５６号室
- 演習はテスト形式。レポート用紙は持参してください。~
序盤60分は前回分の解説や講義の補足。~
中盤90分は問題演習。~
終盤30分はポイントの解説。~
途中に適宜休憩。
-- レポート用紙はA4。
-- なるべく大きい文字で、読める字で。消しゴム使って。
-- ノート,プリントは持ち込み可。参考書は不可。ノートパソ...
-- 友達との相談は可。むしろ推奨。ただし相談相手の名前を書...
-- 飲食物持ち込み可。軽いものなら。
---%%カフェイン、カフェイン、カフェイン%%
- 成績は算法数理工学演習と一緒に。
-- 出席点(ほぼこれ)
-- テスト点(相対評価)
-- レポート点
--- 各回の重要な問題が解けなかったときは、次回までに。
--- 冬休みの宿題(任意)
- 位相幾何
-- 距離空間
-- 位相空間
-- ホモトピー,ホモロジー
- テンソル解析
--
--
--
- 位相幾何~
連続的変形で不変な性質についての幾何学
-- エルランゲン・プログラム~
クライン「幾何学とは、特定の変換で不変な性質を研究するこ...
-- 位相同型写像~
連続な全単射で、逆写像も連続。~
必ずしも距離の入っていない空間で、「連続」を定義する。
- 距離空間
-- ある集合上の、非負,対称で,密着でなく、三角不等式を満た...
距離の備わった集合を距離空間と呼ぶ。~
「関数」は&mimetex(\mathbb{R});への写像。
--- 同値な別の定義もある。（問）
--- 距離は有限であることは必要。（問）
--- 距離は一意に定まるとは限らない。同値でない別な定義も...
-- 近傍~
距離空間 &mimetex(X);上の点&mimetex(x\in X);に対して、~
&mimetex(N(x,\varepsilon) = \{ y \in X | d(x,y)\leq \vare...
を&mimetex(x);の&mimetex(\varepsilon);近傍と呼ぶ。
-- 距離空間における連続性~
距離空間&mimetex(X,Y);について、写像&mimetex(f:X\to Y);が...
&mimetex(\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0....
-- 距離がうまく定義できない空間について、連続写像や極限を...
なんとかして位相から連続写像や極限を使う。
--- 内積→ノルム→距離→位相
--- セミノルム系→位相
- 位相空間
-- 位相同型,連続
-- コンパクト性,連結性
-- 弧状連結
-- ハウスドルフ空間
-- 群論の復習
- 弧状連結
-- 位相空間における連結とは、空でない互いに疎な開集合では...
互いに疎な開集合で全空間を分割したときに、必ず片方が空で...
-- 弧状連結とは、空間中の任意の２点について、それらを繋ぐ...
弧状連結なら連結。連結でも弧状連結とは限らない。
--- &mimetex(x,y\in X);を繋ぐ連続曲線とは、&mimetex(f:[0,...
// ここでシステムバスター襲来。
- ハウスドルフ空間
-- 空間上の任意の２点を、互いに疎な開集合で分離できる空間...
一点集合が閉集合になることと同値。~
ハウスドルフ空間では、数列の収束先が高々一つに定まる。~
複数の収束先を持つ数列を排除できる。
// カフェイン許容量オーバー気味なのに眠気が収まらない…zzzzz
//風邪。咳が止まらない。
- 解説
-- 位相空間での連続性を示すときにεδや点列で示すのはダメ。
-- コンパクト性の証明のときには、
- レポート~
問４、(2)が5点以下の人。
- ホモトピー
- ホモロジー
-- ホモトピーは計算がとても大変。~
システマティックな計算法がない。~
群の構造も複雑。
-- ホモロジー群ならシステマティックな計算ができる。コンピ...
群の構造もホモトピー群に比べて単純。有限生成な自由加群。~
でもわかりにくい。
-- 直感的には、~
ループで図形を切断したときに、破片がどうなるかに着目。~
ループの中身が詰まっていて、連続的に一点に縮むようなルー...
中身が「穴」で、中身がないループの場合がある。~
中身が詰まっているループは、閉領域の「境界」になっている...
中身のないループはそうではない。~
複体の図形に、直感的に違和感の無いように境界を定義しよう！~
単体の各辺を境界にすると、複体に拡張したときに、~
内部の辺が２重の境界になって現れてしまう。~
うまく定義するためには、~
--- &mimetex(\mathbb{Z}_2);上で考え、２重になった辺を排除~
→トーラスとクラインの壷を区別できない。図形の向き付け可能...
--- 複体を構成する単体に向きをつけるとうまくいく。
- 複体&mimetex(K);の&mimetex(m);次元鎖群&mimetex(C_{m}(K)...
&mimetex(K);に含まれる&mimetex(m);単体に&mimetex(\mathbb{...
形式的に足したものからなる群。
- &mimetex(m);単体&mimetex(\Delta);の境界、&mimetex(\part...
&mimetex(\Delta = \langle p_{0}p_{1}\cdots p_{m} \rangle);~
&mimetex(\partial \Delta = \sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}\langle ...
単体に含まれる辺に、符号をつけて足し合わせたもの。
- 単体鎖の境界は、含まれる各単体の境界を、その係数を重み...
&mimetex(\partial);は境界作用素，境界準同型と呼ばれる。
- 複体&mimetex(K);に&mimetex(m);次元輪体群~
&mimetex(Z_{m}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_m));、(&mimetex...
- &mimetex(K);のm次元境界輪体群~
&mimetex(B_{m}(K) = \mathrm{Im}(\partial_{m+1}));
- &mimetex(B_{m}(K)\subset Z_{m}(K));が成立。~
&mimetex(H_{m}(K) = Z_{m}(K) / B_{m});を調べると、図形の...
これを&mimetex(K);の&mimetex(m);次元ホモロジー群と呼ぶ。
- cf)多様体上の微分形式&mimetex(\omega);と、外微分作用素...
- 例)~
&mimetex(K = \{|p_0|,|p_1|,|p_2|,|p_{0}p_{1}|,|p_{1}p_{2}...
&mimetex(C_{0}(K) = \mathbb{Z}[\langle p_0 \rangle,\langl...
&mimetex(C_{1}(K) = \mathbb{Z}[\langle p_{0}p_{1} \rangle...
&mimetex(Z_{0}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_0) = C_{0}(K));~
&mimetex(Z_{1}(K) = \mathrm{Ker}(\partial_1) = \mathbb{Z}...
&mimetex(B_{0}(K) = \mathrm{Im}(\partial_1) = \{a\langle ...
&mimetex(B_{1}(K) = \mathrm{Im}(\partial_2) = \{0\});~
&mimetex(H_{0}(K) = Z_{0} / B_{0} \simeq \mathbb{Z});~
&mimetex(H_{1}(K) = Z_{1} / B_{1} = Z_{1}(K) \simeq \math...
今日からテンソル解析。
- テンソル(tensor)解析~
空間上の位置に依存する量、座標変換に対して不変な意味を持...
場の量の値は座標系に依存するが、量同士の関係は座標系に依...
物理法則は直交座標系で書くことの多いが、問題によっては~
斜交座標や、もっと一般に曲線座標を取った方が簡単になる場...
そもそも直交座標系をとれない場合もある。
-- ベクトル解析で扱う量~
スカラー:&mimetex(s);添字の数は0個~
ベクトル:&mimetex(v=(v_{i}));添字の数は1個~
行列:&mimetex(T=(T_{ij}));添字の数は2個~
&mimetex(p);価の反変テンソル:&mimetex(T=(T_{i_{1}i_{2}\cd...
-- 最急降下法~
十分滑らかな関数&mimetex(f:\mathbb{R}^{n}\to R);を最小化...
&mimetex(d_{\mu}=-\partial_{\mu}f);の方向に解を探す。~
しかし、&mimetex(x^{\mu}=td_{\mu});として解を探すのでは~
添字の上下が食い違う。&mimetex(\to);探索の方向が座標系に...
Newton法なら座標系に依らない探索ができている。
- テンソル%%懐石%%解析の導入
-- 座標変換に注目。座標変換に対して特定の形で変換される量。
-- 多様体の接空間とその双対空間に注目。
- 今日の内容~
スカラー~
反変ベクトルと共変ベクトル~
Einsteinの縮約記法
- アフィン変換~
&mimetex(\tilde{x}=Ax+a);の形の変換をアフィン変換と呼ぶ。
- アフィン空間~
アフィン変換で移り変われる座標系の族を持った空間をアフィ...
n次元のアフィン空間を&mimetex(E_n);と書く。
- Einsteinの縮約記法~
同じ上付き添字と下付き添字のペアが一つの項にでてきたら、...
- 反変ベクトル,共変ベクトル~
ある座標系から別の座標系へ座標変換したとき、~
それに伴って線形変換&mimetex(A_{\mu}^{\lambda});が定まり~
&mimetex(\tilde{v}_{mu} = A_{\mu}^{\lambda}v_{\lambda});...
&mimetex(A);の逆行列&mimetex((A^{-1})_{\mu}^{\lambda});、...
&mimetex(\tilde{v}^{mu} = (A^{-1})_{\lambda}^{\mu}v^{\lam...
//&mimetex(\tilde{x}=\tilde{x}(x));~
//&mimetex(\tilde{v}_{\mu} = \frac{\partial x^{\lambda}}{...
//&mimetex(\tilde{v}^{\mu} = \frac{\partial \tilde{x}^{\m...
反変ベクトルの添字は上付き、共変ベクトルの添字は下付きに...
- スカラー~
座標系に依らずに値が定まる量、座標変換に対して変換されな...
- 冬休みの宿題（提出は任意、提出は次回2008/1/24）~
テンソル解析を勉強してまとめてみてください。~
提出した人は、
-- 休んだ回について平均点をつけます。
-- その人の６回の平均点に、内容に応じて底上げ。
- テンソルに対する演算
-- 和~
テンソルの和は成分ごとの和
-- 積~
テンソルの積は成分ごとの積。共変&mimetex(p);次、反変&mime...
共変&mimetex(p');次、反変&mimetex(q');次のテンソルの積は~
共変&mimetex(p+p');次、反変&mimetex(q+q');次のテンソル。~
&mimetex(T\otimes S);と書く。
-- 縮約~
共変添字と反変添字をペアにして和をとる。~
共変&mimetex(p);次、反変&mimetex(q);次のテンソルを特定の...
共変&mimetex(p-1);次、反変&mimetex(q-1);次のテンソルにな...
テンソル積をとってから縮約したものを縮約積と呼ぶ。
- エディントンのイプシロン(完全反対称擬テンソル)~
&mimetex(\mathbb{R}^3);上の共変3次の擬テンソル。&mimetex(...
&mimetex(\varepsilon_{123} = 1);で、添字の添字の交換につ...
&mimetex(\varepsilon_{123} = \varepsilon_{231} = \varepsi...
&mimetex(\varepsilon_{321} = \varepsilon_{213} = \varepsi...
他は0。~
反変版&mimetex(E^{\mu \lambda \kappa});についても同様。
- レポート~
問2、テンソルの座標変換後半3つ、6点以下の人は解きなおし。~
今月中、数理3研のポストへ。~
定義どおりに計算してください。
- 今日の内容
-- 計量
-- 対称化、交代化、外積空間
-- 擬テンソル、テンソル密度
- 計量~
正値対称な共変2階テンソル~
反変ベクトルの空間に内積を定める。~
計量は幾何学的な量を全て特徴づける。距離，角度,面積，体積...
反変ベクトルと共変ベクトルに座標系に依らない同型を導く。~
内積があればベクトル空間の基底を直交化できる。~
直交化すれば反変ベクトルと共変ベクトルの対応付けでの成分...
- 対称化，交代化~
添字を&mimetex(());でくくったときには、その添字について対...
添字が並んでいないときには、&mimetex(||);で挟まれた部分は...
複数のテンソルに渡って対称化することもあり。~
&mimetex([]);でくくったときには、その添字については反対称...
同じく&mimetex(||);で挟まれた部分は除外。
- 外積空間~
&mimetex(p);階の反変交代テンソルを反変p-ベクトル、~
&mimetex(p);階の共変交代テンソルを共変p-ベクトル,p-形式と...
p-ベクトルの作る線形空間を外積空間と呼ぶ。~
テンソルの偏微分はテンソルになるとは限らないが、~
その交代化であるテンソルの外微分はテンソルになる。
- 擬テンソル~
座標反転以外の座標変換ではテンソルとして振る舞い、~
座標反転では符号が入れ替わる量。エディントンのイプシロン...
- テンソル密度~
座標変換に対して、変換行列の行列式の絶対値が~
スケーリング因子として現れるテンソルっぽい量。~
変換行列の行列式の絶対値が&mimetex(|\Delta|^{-t});と出て...
重みtのテンソル密度。
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