院試過去問 2002年度 専門科目 数理
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[[院試勉強会]]
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/admission.shtml~
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/pdf/2002suuri-j....
**第一問 [#rf8606ca]
-&imgtex(\(X,Y\));を互いに独立な&imgtex(\([0,1]\));上の一...
&imgtex(\(0<c<1\));に対し、&imgtex(\[Z_c = \left\{\begin{...
&imgtex(\(A\subseteq [0,1]\));に対し、&imgtex(\[Z_A = \le...
-- (1)&imgtex(\(Z_c\));の確率密度関数と期待値を求めよ。
--- 累積分布は、&imgtex(\(0\leq z\leq 1\));に対して、~
&imgtex(\[F(z) = P[Z_c < z] = P\left[\left(X \geq c \wedg...
確率密度は&imgtex(\(f(z)=F'(z)=\left\{\begin{matrix}1+c,&...
期待値は、&imgtex(\[E[Z_c]=\int_c^1 z(1+c)dz+\int_0^c zcd...
-- (2)&imgtex(\[E[Z_c]\]);を最大にする&imgtex(\(c\));の値...
--- &imgtex(\[\frac{d}{dc}E[Z_c] = \frac{1-2c}{2}\]);、~
&imgtex(\[c^* = \frac{1}{2}\]);~
&imgtex(\[E[Z_{c^*}]=\frac{5}{8}\]);~
-- (3)任意の&imgtex(\[A\]);に対して、&imgtex(\[E[Z_{c^*}]...
--- &imgtex(\[A\]);が可測であることは仮定しておく。~
&imgtex(\[P[Z_A<z]=|A\cap [0,z]|+z(1-|A|)\]);~
微分不可能な点が高々可算個なら、その点を除外して積分すれば~
&imgtex(\[E[Z_A]=\int_0^1 z\frac{d}{dz}P[Z_A<z]dz=1-\int_...
式の形から、&imgtex(\(|A|\));が同じなら集合の要素を右によ...
&imgtex(\[\tilde{A}=[|A|,1]\]);と置いて、&imgtex(\[E[Z_{\...
&imgtex(\begin{align*}E[Z_{\tilde{A}}]-E[Z_A] &= \int_0^1...
ここで、&imgtex(\[|A\cap [0,1]| = |A|\]);、&imgtex(\[|A\c...
&imgtex(\[A=[c,1]\]);の形のときに&imgtex(\[E[Z_A]\]);が最...
&imgtex(\[E[Z_{c^*}] \geq E[Z_{\tilde{A}}] \geq E[Z_A]\]);~
&imgtex(\[A\]);が可算個の区間の和集合として書けないときで...
可測でさえあれば可算個の区間で&imgtex(\[A,[0,1]-A\]);を覆...
&imgtex(\[E[Z_A]\]);を評価して極限をとれば&imgtex(\[E[Z_A...
可測ですらないときには手のつけようがない。
** 第二問 [#z5485f6d]
-凸錐&imgtex(\[S_n=\left\{(x_0,x)\in\mathbb{R}^{1+n}|\ x_...
-- (1)&imgtex(\[S_2\]);の形状はどのようなものか答えよ。
--- 円錐。軸との角度は45度で、&imgtex(\[x_0\]);軸正の方向...
-- (2)任意のベクトル&imgtex(\[x\in\mathbb{R}^{n+1}\]);に...
&imgtex(\[x\notin S_n \iff \exists y\in S_n. x^\top y<0\]...
--- 対偶、&imgtex(\[x\in S_n \iff \forall y\in S_n. x^\to...
&imgtex(\[\forall (x_0,x),(y_0,y)\in S_n\]);について、~
&imgtex(\[(x_0,x)^\top (y_0,y) = x_0 y_0 + x^\top y \geq ...
&imgtex(\[\Rightarrow\]);は成立。~
ある&imgtex(\[(x_0,x)\in\mathbb{R}^{1+n}\]);について、~
&imgtex(\[\forall (y_0,y)\in S_n. (x_0,x)^\top (y_0,y) = ...
&imgtex(\[y_0>0,y=0\]);と選べば、&imgtex(\[x_0\geq 0\]);~
&imgtex(\[y_0 = |x|,y=-x\]);と選べば、&imgtex(\[x_0 |x| -...
&imgtex(\[x_0 \geq |x|\]);が成立し、&imgtex(\[(x_0,x)\in ...
これで与式は示された。
-- (3)&imgtex(\[A\in\mathbb{R}^{m\times n},b\in\mathbb{R}...
&imgtex(\[z\in\mathbb{R}^n\]);についての凸2次計画~
&imgtex(\[\min.\ |z|^2\ s.t.\ Az\geq b\]);のKKT条件を書け。
--- &imgtex(\[\lambda\in\mathbb{R}^m,\ \lambda\geq 0\]);~
&imgtex(\[\left\{\frac{\partial}{\partial z_\mu}\left(|z|...
&imgtex(\[\lambda^\top (A\bar{z}-b)=0\]);~
-- (4)&imgtex(\[X_r=\{(x_0,x)\in\mathbb{R}^{1+n}|Ax\geq b...
&imgtex(\[\exists y\geq 0.\ y^\top b > r|A^\top y|\]);を...
&imgtex(\[(|A^\top y|,-y^\top A)\in S_n\]);を使って、&img...
--- (2)を使う。~
&imgtex(\[\forall (r,x)\in X_r\]);に対して、~
存在が仮定された&imgtex(\[y\geq 0,\ y^\top b>r|A^\top y|\...
&imgtex(\[y^\top A x \geq y^\top b>r|A^\top y|,\ |A^\top ...
&imgtex(\[(|A^\top y|,-y^\top A)\in S_n\]);は(2)の条件を...
&imgtex(\[(r,x)\notin S_n\]);となり、&imgtex(\[S_n \cap X...
ベクトルのタテヨコの食い違いは気にしちゃいけません。
-- (5)&imgtex(\[r>0, X_r\neq\emptyset\]);とする。~
&imgtex(\[S_n\cap X_r =\emptyset \Rightarrow \exists y\ge...
--- &imgtex(\[X_r\]);は空でない閉集合なので、十分大きな&i...
&imgtex(\[\tilde{X}_r = \{x\in X_r | |x|\leq R\}\]);と置...
連続関数&imgtex(\[x\in \tilde{X}_r \mapsto \frac{1}{2}|x|...
この最小値は定義域を&imgtex(\[\tilde{X}_r\]);に狭めなくて...
最小値を与える&imgtex(\[\bar{x}\in X_r\]);にはKKT条件が成...
&imgtex(\[y\geq 0\]);~
&imgtex(\[\PDiff{}{x}\left\{\frac{1}{2}|x|^2-y^\top (Ax-b...
&imgtex(\[y^\top (Ax-b)=0\]);を満たす&imgtex(\[y\]);が存...
~
一方、&imgtex(\[S_n\cap X_r =\emptyset\]);ならば、&imgtex...
&imgtex(\[(r,x)\notin S_n\]);つまり&imgtex(\[r<|x|\]);が...
これを使うと、上の&imgtex(\[y\]);は~
&imgtex(\[r|A^\top y|=r|x|<|x|^2=(y^\top A)x \leq y^\top ...
目的の条件を満たしている。
** 第三問 [#ic6acadd]
-以下の等式を証明せよ。~
&imgtex(\[\lim_{n\to\infty}\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{n}...
--- 確率的に解いてみる。あんまり厳密じゃないかも。~
&imgtex(\[X_i,\ i=1,2,\cdots\]);を&imgtex(\[[0,1]\]);の独...
&imgtex(\[Z_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]);とすると、~
&imgtex(\[\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{n}{\sum_{k=1}^n x_k...
&imgtex(\[Z_n\]);の分布は中心極限定理から、平均&imgtex(\[...
&imgtex(\[E\left[\frac{1}{Z_n}\right] \to \int_{-\infty}^...
正規分布の分散を0に飛ばす極限はδ関数の分布になるので、~
さらに&imgtex(\[E\left[\frac{1}{Z_n}\right] \to \int_{-\i...
これで与式が示された気分になれる。
**第4問 [#k516f65e]
-半径&imgtex($R$);の円柱の側面に沿って，
水平面と&imgtex($\alpha$);の角度をもち，
幅が&imgtex($D$);の滑り台を作りたい．
--(1)&imgtex($P$);の&imgtex($(x,y,z)$);座標を&imgtex($s$)...
---&imgtex(\begin{align*}(x,y,z)=\left(R\cos\left(\frac{s...
--(2)曲線&imgtex($l$);の曲率半径&imgtex($R'$);を求めよ．
---&imgtex($\frac{1}{R'}=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\ri...
&imgtex(\begin{align*}\frac{1}{R'}=\sqrt{\frac{\cos^2\alp...
よって，&imgtex($R'=\frac{R}{\cos^2\alpha}$);
--(3)線分&imgtex($\overline{PS}$);上で&imgtex($P$);から距...
&imgtex($P$);が&imgtex($l$);に沿って距離&imgtex($s$);だけ...
&imgtex($Q$);が動く距離&imgtex($t$);を求めよ．
---&imgtex($t=\sqrt{(s\sin\alpha)^2+\left(s\cos\alpha\fra...
--(4)Pが内側の円弧状を延長&imgtex($s$);だけ動くとき，
&imgtex($Q'$);が動く距離&imgtex($t'$);を求めよ．
---&imgtex($t'=s\frac{R'+u}{R'}$);．
--(5)&imgtex($P$);から&imgtex($u$);だけ外側へ離れた点&img...
---&imgtex($t'/t$);
----
**第5問 [#t87f86e6]
-初期状態が空であるスタックを用いて数字列を置換することを...
「スタックに，先頭の数字を入れる．」と「スタックから一つ...
の二つの操作があり，それぞれの操作を&imgtex($S$);と&imgte...
-(1)数字列1234からスタックを用いて置換できる数字列を全て...
--[],1,2,3,4,12,13,14,23,24,34,123,124,132,134,142,143,23...
1234,1243,1324,1342,1432,2134,2143,2314,2341,2431,3214,32...
-(2)数字列12..nを数字列&imgtex($p_1p_2\dots p_n$);に，ス...
--Sを開き括弧(，Xを閉じ括弧)と書くことにすると，操作列は...
&imgtex($n$);この括弧として表せる．
また出力される数字&imgtex($p_k$);は&imgtex($k$);個目の閉...
ここで&imgtex($p_j<p_k<p_i$);を満たす&imgtex($i<j<k$);が...
-(3)
--(i)操作列を数字列12..nに作用させて出力される数字列を求...
---単にシミュレートするだけ．時間計算量は&imgtex($O(m)$);...
--(ii)数字列12..nを&imgtex($p_1p_2\dots p_n$);に置換する...
---次に出力するべき数字がスタックの一番上ならば出力，そう...
てか，プログラムを書けってどういうこと？
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コメント
#comment
終了行:
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**第一問 [#rf8606ca]
-&imgtex(\(X,Y\));を互いに独立な&imgtex(\([0,1]\));上の一...
&imgtex(\(0<c<1\));に対し、&imgtex(\[Z_c = \left\{\begin{...
&imgtex(\(A\subseteq [0,1]\));に対し、&imgtex(\[Z_A = \le...
-- (1)&imgtex(\(Z_c\));の確率密度関数と期待値を求めよ。
--- 累積分布は、&imgtex(\(0\leq z\leq 1\));に対して、~
&imgtex(\[F(z) = P[Z_c < z] = P\left[\left(X \geq c \wedg...
確率密度は&imgtex(\(f(z)=F'(z)=\left\{\begin{matrix}1+c,&...
期待値は、&imgtex(\[E[Z_c]=\int_c^1 z(1+c)dz+\int_0^c zcd...
-- (2)&imgtex(\[E[Z_c]\]);を最大にする&imgtex(\(c\));の値...
--- &imgtex(\[\frac{d}{dc}E[Z_c] = \frac{1-2c}{2}\]);、~
&imgtex(\[c^* = \frac{1}{2}\]);~
&imgtex(\[E[Z_{c^*}]=\frac{5}{8}\]);~
-- (3)任意の&imgtex(\[A\]);に対して、&imgtex(\[E[Z_{c^*}]...
--- &imgtex(\[A\]);が可測であることは仮定しておく。~
&imgtex(\[P[Z_A<z]=|A\cap [0,z]|+z(1-|A|)\]);~
微分不可能な点が高々可算個なら、その点を除外して積分すれば~
&imgtex(\[E[Z_A]=\int_0^1 z\frac{d}{dz}P[Z_A<z]dz=1-\int_...
式の形から、&imgtex(\(|A|\));が同じなら集合の要素を右によ...
&imgtex(\[\tilde{A}=[|A|,1]\]);と置いて、&imgtex(\[E[Z_{\...
&imgtex(\begin{align*}E[Z_{\tilde{A}}]-E[Z_A] &= \int_0^1...
ここで、&imgtex(\[|A\cap [0,1]| = |A|\]);、&imgtex(\[|A\c...
&imgtex(\[A=[c,1]\]);の形のときに&imgtex(\[E[Z_A]\]);が最...
&imgtex(\[E[Z_{c^*}] \geq E[Z_{\tilde{A}}] \geq E[Z_A]\]);~
&imgtex(\[A\]);が可算個の区間の和集合として書けないときで...
可測でさえあれば可算個の区間で&imgtex(\[A,[0,1]-A\]);を覆...
&imgtex(\[E[Z_A]\]);を評価して極限をとれば&imgtex(\[E[Z_A...
可測ですらないときには手のつけようがない。
** 第二問 [#z5485f6d]
-凸錐&imgtex(\[S_n=\left\{(x_0,x)\in\mathbb{R}^{1+n}|\ x_...
-- (1)&imgtex(\[S_2\]);の形状はどのようなものか答えよ。
--- 円錐。軸との角度は45度で、&imgtex(\[x_0\]);軸正の方向...
-- (2)任意のベクトル&imgtex(\[x\in\mathbb{R}^{n+1}\]);に...
&imgtex(\[x\notin S_n \iff \exists y\in S_n. x^\top y<0\]...
--- 対偶、&imgtex(\[x\in S_n \iff \forall y\in S_n. x^\to...
&imgtex(\[\forall (x_0,x),(y_0,y)\in S_n\]);について、~
&imgtex(\[(x_0,x)^\top (y_0,y) = x_0 y_0 + x^\top y \geq ...
&imgtex(\[\Rightarrow\]);は成立。~
ある&imgtex(\[(x_0,x)\in\mathbb{R}^{1+n}\]);について、~
&imgtex(\[\forall (y_0,y)\in S_n. (x_0,x)^\top (y_0,y) = ...
&imgtex(\[y_0>0,y=0\]);と選べば、&imgtex(\[x_0\geq 0\]);~
&imgtex(\[y_0 = |x|,y=-x\]);と選べば、&imgtex(\[x_0 |x| -...
&imgtex(\[x_0 \geq |x|\]);が成立し、&imgtex(\[(x_0,x)\in ...
これで与式は示された。
-- (3)&imgtex(\[A\in\mathbb{R}^{m\times n},b\in\mathbb{R}...
&imgtex(\[z\in\mathbb{R}^n\]);についての凸2次計画~
&imgtex(\[\min.\ |z|^2\ s.t.\ Az\geq b\]);のKKT条件を書け。
--- &imgtex(\[\lambda\in\mathbb{R}^m,\ \lambda\geq 0\]);~
&imgtex(\[\left\{\frac{\partial}{\partial z_\mu}\left(|z|...
&imgtex(\[\lambda^\top (A\bar{z}-b)=0\]);~
-- (4)&imgtex(\[X_r=\{(x_0,x)\in\mathbb{R}^{1+n}|Ax\geq b...
&imgtex(\[\exists y\geq 0.\ y^\top b > r|A^\top y|\]);を...
&imgtex(\[(|A^\top y|,-y^\top A)\in S_n\]);を使って、&img...
--- (2)を使う。~
&imgtex(\[\forall (r,x)\in X_r\]);に対して、~
存在が仮定された&imgtex(\[y\geq 0,\ y^\top b>r|A^\top y|\...
&imgtex(\[y^\top A x \geq y^\top b>r|A^\top y|,\ |A^\top ...
&imgtex(\[(|A^\top y|,-y^\top A)\in S_n\]);は(2)の条件を...
&imgtex(\[(r,x)\notin S_n\]);となり、&imgtex(\[S_n \cap X...
ベクトルのタテヨコの食い違いは気にしちゃいけません。
-- (5)&imgtex(\[r>0, X_r\neq\emptyset\]);とする。~
&imgtex(\[S_n\cap X_r =\emptyset \Rightarrow \exists y\ge...
--- &imgtex(\[X_r\]);は空でない閉集合なので、十分大きな&i...
&imgtex(\[\tilde{X}_r = \{x\in X_r | |x|\leq R\}\]);と置...
連続関数&imgtex(\[x\in \tilde{X}_r \mapsto \frac{1}{2}|x|...
この最小値は定義域を&imgtex(\[\tilde{X}_r\]);に狭めなくて...
最小値を与える&imgtex(\[\bar{x}\in X_r\]);にはKKT条件が成...
&imgtex(\[y\geq 0\]);~
&imgtex(\[\PDiff{}{x}\left\{\frac{1}{2}|x|^2-y^\top (Ax-b...
&imgtex(\[y^\top (Ax-b)=0\]);を満たす&imgtex(\[y\]);が存...
~
一方、&imgtex(\[S_n\cap X_r =\emptyset\]);ならば、&imgtex...
&imgtex(\[(r,x)\notin S_n\]);つまり&imgtex(\[r<|x|\]);が...
これを使うと、上の&imgtex(\[y\]);は~
&imgtex(\[r|A^\top y|=r|x|<|x|^2=(y^\top A)x \leq y^\top ...
目的の条件を満たしている。
** 第三問 [#ic6acadd]
-以下の等式を証明せよ。~
&imgtex(\[\lim_{n\to\infty}\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{n}...
--- 確率的に解いてみる。あんまり厳密じゃないかも。~
&imgtex(\[X_i,\ i=1,2,\cdots\]);を&imgtex(\[[0,1]\]);の独...
&imgtex(\[Z_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]);とすると、~
&imgtex(\[\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{n}{\sum_{k=1}^n x_k...
&imgtex(\[Z_n\]);の分布は中心極限定理から、平均&imgtex(\[...
&imgtex(\[E\left[\frac{1}{Z_n}\right] \to \int_{-\infty}^...
正規分布の分散を0に飛ばす極限はδ関数の分布になるので、~
さらに&imgtex(\[E\left[\frac{1}{Z_n}\right] \to \int_{-\i...
これで与式が示された気分になれる。
**第4問 [#k516f65e]
-半径&imgtex($R$);の円柱の側面に沿って，
水平面と&imgtex($\alpha$);の角度をもち，
幅が&imgtex($D$);の滑り台を作りたい．
--(1)&imgtex($P$);の&imgtex($(x,y,z)$);座標を&imgtex($s$)...
---&imgtex(\begin{align*}(x,y,z)=\left(R\cos\left(\frac{s...
--(2)曲線&imgtex($l$);の曲率半径&imgtex($R'$);を求めよ．
---&imgtex($\frac{1}{R'}=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\ri...
&imgtex(\begin{align*}\frac{1}{R'}=\sqrt{\frac{\cos^2\alp...
よって，&imgtex($R'=\frac{R}{\cos^2\alpha}$);
--(3)線分&imgtex($\overline{PS}$);上で&imgtex($P$);から距...
&imgtex($P$);が&imgtex($l$);に沿って距離&imgtex($s$);だけ...
&imgtex($Q$);が動く距離&imgtex($t$);を求めよ．
---&imgtex($t=\sqrt{(s\sin\alpha)^2+\left(s\cos\alpha\fra...
--(4)Pが内側の円弧状を延長&imgtex($s$);だけ動くとき，
&imgtex($Q'$);が動く距離&imgtex($t'$);を求めよ．
---&imgtex($t'=s\frac{R'+u}{R'}$);．
--(5)&imgtex($P$);から&imgtex($u$);だけ外側へ離れた点&img...
---&imgtex($t'/t$);
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**第5問 [#t87f86e6]
-初期状態が空であるスタックを用いて数字列を置換することを...
「スタックに，先頭の数字を入れる．」と「スタックから一つ...
の二つの操作があり，それぞれの操作を&imgtex($S$);と&imgte...
-(1)数字列1234からスタックを用いて置換できる数字列を全て...
--[],1,2,3,4,12,13,14,23,24,34,123,124,132,134,142,143,23...
1234,1243,1324,1342,1432,2134,2143,2314,2341,2431,3214,32...
-(2)数字列12..nを数字列&imgtex($p_1p_2\dots p_n$);に，ス...
--Sを開き括弧(，Xを閉じ括弧)と書くことにすると，操作列は...
&imgtex($n$);この括弧として表せる．
また出力される数字&imgtex($p_k$);は&imgtex($k$);個目の閉...
ここで&imgtex($p_j<p_k<p_i$);を満たす&imgtex($i<j<k$);が...
-(3)
--(i)操作列を数字列12..nに作用させて出力される数字列を求...
---単にシミュレートするだけ．時間計算量は&imgtex($O(m)$);...
--(ii)数字列12..nを&imgtex($p_1p_2\dots p_n$);に置換する...
---次に出力するべき数字がスタックの一番上ならば出力，そう...
てか，プログラムを書けってどういうこと？
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