院試過去問 2003年度 専門科目 数理
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[[院試勉強会]]
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/admission.shtml~
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/course/mi/pdf/2003suuri-j2...
解答（というより略解）つくりました。適当ですので、補間と...
----
-第１問
--&imgtex($f(X)=\log({\rm det}(X)),X\succ 0$);
--(1)略。
--(2)&imgtex($\Lambda ={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ld...
を用いて、
&imgtex($A=P\Lambda P^\top$);と対角化する。
&imgtex($B=I$);なので、~
&imgtex(\[ f(A)+f(B)=f(A)+f(I)=\log{\rm det}(A)=\log \pro...
また、
&imgtex(\[ f\left(\frac{A+B}{2}\right) = f\left(P\left(\f...
ここで、相加相乗平均を用いれば~
&imgtex(\[ \lambda_i \leq \left(\frac{\lambda_i+1}{2}\rig...
従って、&imgtex($f(A)+f(B)\leq 2f((A+B)/2)$);である。
--(3)&imgtex($B\succ 0$);より、コレスキー分解して&imgtex(...
&imgtex($\tilde A = C^{-1}A(C^\top)^{-1}$);とすれば、~
&imgtex(\[ {\rm det}(AB) = {\rm det}(C\tilde AC^\top CC^\...
&imgtex(\[ {\rm det}\left(\frac{A+B}{2}\right) = {\rm det...
となるので、あとは(2)の結果を利用すればよい。
-第２問~
完全順列
-帽子を正しく返してもらえる客の数を&imgtex($X_n$);とし，
&imgtex($X_n=k$);となる確率を&imgtex($p_n(k)$);と表す．
--(1)&imgtex($X_n$);の期待値と分散を計算せよ．
---それぞれの人について自分の帽子が返ってくる確率は&imgte...
&imgtex($E[X_n]=n\cdot 1/n=1$);．
また，&imgtex($E[X_n^2]=n\cdot 1/n+n(n-1)\cdot 1/(n(n-1))...
よって，&imgtex($V[X_n]=E[X_n^2]-E[X_n]^2=2-1^2=1$);．
--(2)&imgtex(\[p_n(0)=1-\left(1-1/2!+1/3!-\dots +(-1)^{n-...
---&imgtex($n$);番目の人が&imgtex($i(\ne n)$);番目の人の...
このとき&imgtex($i$);番目の人が&imgtex($n$);番目の人の帽...
&imgtex($i$);番目の人が&imgtex($n$);番目の人の帽子を返さ...
よって，&imgtex($p_n(0)=\frac{n-1}{n}(p_{n-1}(0)+p_{n-2}(...
ここで，&imgtex($p_n(0)=1-\left(1-1/2!+1/3!-\dots +(-1)^{...
--(3)&imgtex(\[p_n(k)=\frac{1}{k!}p_{n-k}(0)\]);となるこ...
---&imgtex($p_{n}(k)={}_nC_k\frac{1}{{}_nP_k}p_{n-k}(0)=\...
--(4)&imgtex($p_n(k)\to\frac{1}{k!}e^{-1}\ (n\to\infty)$)...
---&imgtex($\lim_{n\to\infty}p_{n}=e^{-1}$);なので，
&imgtex($p_n(k)=\frac{1}{k!}p_{n-k}(0)\to\frac{1}{k!}e^{-...
-第３問
--(1)LPの標準形は~
&imgtex(\[ \begin{array}{ll} \min& c^\top x\\ {\rm s.t....
双対形は~
&imgtex(\[ \begin{array}{ll} \max& b^\top y\\ {\rm s.t....
本問は~
&imgtex(\[ \begin{array}{ll} \min& b^\top y\\ {\rm s.t....
そこで、双対形の双対は標準形であるから、本問を双対標準形...
&imgtex(\[ \begin{array}{ll} \min &c^\top x \\ {\rm s.t...
となる。~
ここで、&imgtex($c=(1,\ldots,1)^\top,b=(1,\ldots,1)^\top,...
&imgtex(\[A= \begin{pmatrix} k&1&\cdots&1\\ &k&\ddots&1...
である。
--(2)(3)帰納的に
&imgtex(\[ y_{k-m} = \frac{(k-1)^m}{k^{m+1}}\]);~
であることがわかるので、~
&imgtex(\[ \alpha_k = \sum_{m=0}^{k-1}y_{k-m} = 1 - \left...
単調性は&imgtex($\left(1-1/k\right)^k,\left(1-1/(k+1)\rig...
-第４問
--(1)&imgtex($C$);上の点&imgtex($p$);を
&imgtex($p=(x,a\cos\theta,a\sin\theta)$);
と表現すると、
&imgtex($S$);上では&imgtex($h(p)= (x,f(x)\cos\theta,f(x)\...
&imgtex($t_p$);を点&imgtex($p$);における接ベクトルとする。
&imgtex(\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}t_p& = ...
よって、
&imgtex(\[ \left| \frac{\partial}{\partial x}t_p \times ...
また、
&imgtex(\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}t_{h(p)...
よって、
&imgtex(\[ \left| \frac{\partial}{\partial x}t_{h(p)} \ti...
密度が等いので面素も等しい。従って
&imgtex(\[ a=f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\]);~
--(2)~
&imgtex(\[f' = \pm\sqrt{\frac{a^2}{f^2}-1}\]);~
&imgtex(\[ff' = \pm\sqrt{a^2-f^2}\]);と変形。~
一般解は&imgtex(\[f(x) = \sqrt{a^2-(x+C)^2}\]);~
包絡線&imgtex(\[f(x)=a\]);が特異解になっている。~
解はこれを条件にあうように繋いだもの。~
任意定数&imgtex(\[-a\leq A \leq 0 \leq B \leq a\]);を使っ...
&imgtex(\[f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{a^2-(x-A)^2}&(-...
-第５問
--(1)まず、
&imgtex(${\rm gain}(1,k+1) \geq 0 \Longleftrightarrow {\...
であるから、&imgtex(${\rm gain}(1,k+1) \geq 0$);は1から出...
また、&imgtex($\sum_{i=1}^Np_i = \sum_{i=1}^Nq_i$);である...
従って~
一周できる &imgtex($\Longleftrightarrow $);1から&imgtex($...
である。
--(2)示すべきは~
&imgtex($\exists i \in \{1,2,\ldots,N\} \ \forall j \in \...
背理法を用いる。つまり、~
&imgtex($\forall i \in \{1,2,\ldots,N\} \ \exists j \in \...
を仮定して、矛盾を導く。~
まず、&imgtex($i_0 = 1$);として、&imgtex($i_0$);に（時計...
以下同様にして、&imgtex($i_k$);に一番近く&imgtex(${\rm ga...
すると、ある&imgtex($j$);が存在して、
&imgtex($i_{j-1} \leq N,\ 1 \leq i_j$);
となる。このとき、&imgtex($i_0=1$);であるから、ある&imgte...
&imgtex($i_k \leq i_j < i_{k+1}$);
となる。以下&imgtex($i_k=i_j$);と&imgtex($i_k < i_j$);の...
---(ァ)&imgtex($i_k=i_j$);の場合
このときは&imgtex(${\rm gain}$);の和を考えると、矛盾が生...
&imgtex(${\rm gain}(i_k,i_{k+1}) +{\rm gain}(i_{k+1},i_{k...
であるが、左辺は負であるが、右辺は問題の前提より零。これ...
---(イ)&imgtex($i_k < i_j$);の場合
ここで、&imgtex($i_j$);は&imgtex(${\rm gain}(i_{j-1},i_j)...
よって、&imgtex(${\rm gain}(i_k,i_j) < 0$);であるが、これ...
（&imgtex($i_{k+1}$);は&imgtex(${\rm gain}(i_k,i_{k+1}) <...
したがって、矛盾。~
以上より、
&imgtex($\exists i \in \{1,2,\ldots,N\} \ \forall j \in \...
であることが分かった。
-- 別解~
&imgtex(\[\mathrm{gain}(1,k)=\min_j \mathrm{gain}(1,j)\])...
&imgtex(\[\forall j.\mathrm{gain}(k,j) = \mathrm{gain}(1,...
&imgtex(\[k\]);から一周できる。
----
こめんと
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解答（というより略解）つくりました。適当ですので、補間と...
----
-第１問
--&imgtex($f(X)=\log({\rm det}(X)),X\succ 0$);
--(1)略。
--(2)&imgtex($\Lambda ={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ld...
を用いて、
&imgtex($A=P\Lambda P^\top$);と対角化する。
&imgtex($B=I$);なので、~
&imgtex(\[ f(A)+f(B)=f(A)+f(I)=\log{\rm det}(A)=\log \pro...
また、
&imgtex(\[ f\left(\frac{A+B}{2}\right) = f\left(P\left(\f...
ここで、相加相乗平均を用いれば~
&imgtex(\[ \lambda_i \leq \left(\frac{\lambda_i+1}{2}\rig...
従って、&imgtex($f(A)+f(B)\leq 2f((A+B)/2)$);である。
--(3)&imgtex($B\succ 0$);より、コレスキー分解して&imgtex(...
&imgtex($\tilde A = C^{-1}A(C^\top)^{-1}$);とすれば、~
&imgtex(\[ {\rm det}(AB) = {\rm det}(C\tilde AC^\top CC^\...
&imgtex(\[ {\rm det}\left(\frac{A+B}{2}\right) = {\rm det...
となるので、あとは(2)の結果を利用すればよい。
-第２問~
完全順列
-帽子を正しく返してもらえる客の数を&imgtex($X_n$);とし，
&imgtex($X_n=k$);となる確率を&imgtex($p_n(k)$);と表す．
--(1)&imgtex($X_n$);の期待値と分散を計算せよ．
---それぞれの人について自分の帽子が返ってくる確率は&imgte...
&imgtex($E[X_n]=n\cdot 1/n=1$);．
また，&imgtex($E[X_n^2]=n\cdot 1/n+n(n-1)\cdot 1/(n(n-1))...
よって，&imgtex($V[X_n]=E[X_n^2]-E[X_n]^2=2-1^2=1$);．
--(2)&imgtex(\[p_n(0)=1-\left(1-1/2!+1/3!-\dots +(-1)^{n-...
---&imgtex($n$);番目の人が&imgtex($i(\ne n)$);番目の人の...
このとき&imgtex($i$);番目の人が&imgtex($n$);番目の人の帽...
&imgtex($i$);番目の人が&imgtex($n$);番目の人の帽子を返さ...
よって，&imgtex($p_n(0)=\frac{n-1}{n}(p_{n-1}(0)+p_{n-2}(...
ここで，&imgtex($p_n(0)=1-\left(1-1/2!+1/3!-\dots +(-1)^{...
--(3)&imgtex(\[p_n(k)=\frac{1}{k!}p_{n-k}(0)\]);となるこ...
---&imgtex($p_{n}(k)={}_nC_k\frac{1}{{}_nP_k}p_{n-k}(0)=\...
--(4)&imgtex($p_n(k)\to\frac{1}{k!}e^{-1}\ (n\to\infty)$)...
---&imgtex($\lim_{n\to\infty}p_{n}=e^{-1}$);なので，
&imgtex($p_n(k)=\frac{1}{k!}p_{n-k}(0)\to\frac{1}{k!}e^{-...
-第３問
--(1)LPの標準形は~
&imgtex(\[ \begin{array}{ll} \min& c^\top x\\ {\rm s.t....
双対形は~
&imgtex(\[ \begin{array}{ll} \max& b^\top y\\ {\rm s.t....
本問は~
&imgtex(\[ \begin{array}{ll} \min& b^\top y\\ {\rm s.t....
そこで、双対形の双対は標準形であるから、本問を双対標準形...
&imgtex(\[ \begin{array}{ll} \min &c^\top x \\ {\rm s.t...
となる。~
ここで、&imgtex($c=(1,\ldots,1)^\top,b=(1,\ldots,1)^\top,...
&imgtex(\[A= \begin{pmatrix} k&1&\cdots&1\\ &k&\ddots&1...
である。
--(2)(3)帰納的に
&imgtex(\[ y_{k-m} = \frac{(k-1)^m}{k^{m+1}}\]);~
であることがわかるので、~
&imgtex(\[ \alpha_k = \sum_{m=0}^{k-1}y_{k-m} = 1 - \left...
単調性は&imgtex($\left(1-1/k\right)^k,\left(1-1/(k+1)\rig...
-第４問
--(1)&imgtex($C$);上の点&imgtex($p$);を
&imgtex($p=(x,a\cos\theta,a\sin\theta)$);
と表現すると、
&imgtex($S$);上では&imgtex($h(p)= (x,f(x)\cos\theta,f(x)\...
&imgtex($t_p$);を点&imgtex($p$);における接ベクトルとする。
&imgtex(\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}t_p& = ...
よって、
&imgtex(\[ \left| \frac{\partial}{\partial x}t_p \times ...
また、
&imgtex(\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}t_{h(p)...
よって、
&imgtex(\[ \left| \frac{\partial}{\partial x}t_{h(p)} \ti...
密度が等いので面素も等しい。従って
&imgtex(\[ a=f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\]);~
--(2)~
&imgtex(\[f' = \pm\sqrt{\frac{a^2}{f^2}-1}\]);~
&imgtex(\[ff' = \pm\sqrt{a^2-f^2}\]);と変形。~
一般解は&imgtex(\[f(x) = \sqrt{a^2-(x+C)^2}\]);~
包絡線&imgtex(\[f(x)=a\]);が特異解になっている。~
解はこれを条件にあうように繋いだもの。~
任意定数&imgtex(\[-a\leq A \leq 0 \leq B \leq a\]);を使っ...
&imgtex(\[f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{a^2-(x-A)^2}&(-...
-第５問
--(1)まず、
&imgtex(${\rm gain}(1,k+1) \geq 0 \Longleftrightarrow {\...
であるから、&imgtex(${\rm gain}(1,k+1) \geq 0$);は1から出...
また、&imgtex($\sum_{i=1}^Np_i = \sum_{i=1}^Nq_i$);である...
従って~
一周できる &imgtex($\Longleftrightarrow $);1から&imgtex($...
である。
--(2)示すべきは~
&imgtex($\exists i \in \{1,2,\ldots,N\} \ \forall j \in \...
背理法を用いる。つまり、~
&imgtex($\forall i \in \{1,2,\ldots,N\} \ \exists j \in \...
を仮定して、矛盾を導く。~
まず、&imgtex($i_0 = 1$);として、&imgtex($i_0$);に（時計...
以下同様にして、&imgtex($i_k$);に一番近く&imgtex(${\rm ga...
すると、ある&imgtex($j$);が存在して、
&imgtex($i_{j-1} \leq N,\ 1 \leq i_j$);
となる。このとき、&imgtex($i_0=1$);であるから、ある&imgte...
&imgtex($i_k \leq i_j < i_{k+1}$);
となる。以下&imgtex($i_k=i_j$);と&imgtex($i_k < i_j$);の...
---(ァ)&imgtex($i_k=i_j$);の場合
このときは&imgtex(${\rm gain}$);の和を考えると、矛盾が生...
&imgtex(${\rm gain}(i_k,i_{k+1}) +{\rm gain}(i_{k+1},i_{k...
であるが、左辺は負であるが、右辺は問題の前提より零。これ...
---(イ)&imgtex($i_k < i_j$);の場合
ここで、&imgtex($i_j$);は&imgtex(${\rm gain}(i_{j-1},i_j)...
よって、&imgtex(${\rm gain}(i_k,i_j) < 0$);であるが、これ...
（&imgtex($i_{k+1}$);は&imgtex(${\rm gain}(i_k,i_{k+1}) <...
したがって、矛盾。~
以上より、
&imgtex($\exists i \in \{1,2,\ldots,N\} \ \forall j \in \...
であることが分かった。
-- 別解~
&imgtex(\[\mathrm{gain}(1,k)=\min_j \mathrm{gain}(1,j)\])...
&imgtex(\[\forall j.\mathrm{gain}(k,j) = \mathrm{gain}(1,...
&imgtex(\[k\]);から一周できる。
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