院試過去問 2003年度 数学
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[[院試過去問の解答]]
#contents
*院試過去問 2003年度 数学 [#vf1cbc5d]
''このページには誤りや悪意のある人間の手によるデタラメが...
''必ずご自身で確認された上、自己責任で利用されるようご注...
特に上の文がデタラメの可能性には注意してください．
また、上の三行の文は正しいですが、この行の文はでたらめの...
** 第1問 [#yf05ae29]
tex表記は面倒なので、分かる範囲でタイプ数を減らしています...
-(1)~
--1.~
&imgtex(\[ \| Ax \| \ge 0 \Rightarrow \sigma (A) \ge 0 \]...
&imgtex(\[ {}^\forall \| x \|=1, \| Ax\|=0 \Leftrightarro...
--2.~
&imgtex(\[ \| \sigma Ax\|=|\sigma|\| Ax \| \]);~
--3.~
&imgtex(\[ \sigma(A+B) = \| (A+B)x\|=\| Ax +Bx \| \le \| ...
-(2)~
...を計算に関係ない部分として、~
&imgtex(\[ A_1 =\begin{pmatrix} \alpha & w^T \\ z & A_2 \...
なので、&imgtex($ \alpha=\sigma_1,z=0 $);である。
-(3)~
&imgtex(\[ \| A_1 \begin{pmatrix}\sigma_1 \\ w \end{pmatr...
-(4)
&imgtex(\[ \| x\|=1 \Leftrightarrow \| V_1^T x\|=\| x' \|...
&imgtex(\[ \| Ax\|=\| U_1A_1V_1^T x \|=\| U_1\| \| A_1 x'...
であり、&imgtex($ \| Ax\|$);を最大にするxをとりx'に変換す...
-(5)~
&imgtex(\[ \sigma_1 \ge \left\| A_1 \frac{1}{\| \begin{pm...
なので、w=0
-(6)~
&imgtex(\[ \sigma(A_2)=\sigma_2 \]);とおく。あるx2が存在...
&imgtex(\[ \| A_1 \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \end{pmatrix} ...
&imgtex(\[ \sigma(A_2) = \sigma_2 \le \sigma(A_1) \]);~
なぜならば、&imgtex($ \sigma $);の定義にはmaxを用いている...
-(7)~
略、補完希望
** 第2問 [#jf681229]
-(1)~
&imgtex(\[ F' = \sqrt{f'} -\frac{1}{2} f f'^{-\frac{3}{2}...
-(2)~
&imgtex(\[ F'' = \frac{3}{4} f f'^{-\frac{5}{2}} f'' -\fr...
-(3)~
&imgtex($ F(r)=0$);を用いる。~
&imgtex(\[ \lim_{x \rightarrow r} \frac{G(x) -r }{(x-r)^2...
となる。
** 第3問 [#j4dfa602]
-(1)~
全てのi,jに対し、~
&imgtex(\[ \sigma(G_i^{l-1}) -\sigma(G_j^{l-1}) \le \max\...
が成り立っているとき。&imgtex($ \sigma(G_i^{l-1}) \ge \si...
&imgtex(\[ \sigma(G_i^{l}) -\sigma(G_j^{l}) \le \sigma(G_...
不等号が逆の場合もほぼ同様。~
&imgtex($ \max\{ a_1,\cdots,a_n \} $);を満たすものをahと...
-(2)~
ahを特別視して、残りのn-1個をできるだけ均等に分割すると、...
&imgtex(\[ P(\Delta ) \le \frac{1}{m}\sum_{k\ne h} a_k + ...
-(3)~
&imgtex(\[ \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{n}a_k \le P( \Delta_op...
(1)の右側の不等式、(2)を用いれば(3)が示せる。
-(4)~
添え字1からm(m-1)までai=1で、最後がmの数列を考える。合計m...
** 第4問 [#te4e8dd5]
-行列&imgtex($A$);を&imgtex($n\times n$);実対称行列とし，
関数&imgtex($\psi :\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$);を
&imgtex($\psi(x)=x^{\top} Ax$);と定義する．
ただし，制約&imgtex($\|x\|=1,\ b^{\top}x=0$);の元で&imgte...
--(1)&imgtex($\partial L/\partial x,\partial L/\partial \...
---&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial x}=2Ax-2\lambda x...
&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=1-\|x\|^2\]...
&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial \mu}=-2b^{\top}x\]);
--(2)ベクトル&imgtex($b=0$);のとき，&imgtex($\bar{x}$);は...
---&imgtex($b=0$);のとき，&imgtex($2A\bar{x}-2\bar{\lambd...
--(3)Aを&imgtex($a_{11}<a_{22}<\dots <a_{nn}$);を満たす対...
&imgtex($b$);の要素は全て非ゼロとする．
--(3-1)&imgtex($\partial L/\partial x_i$);を求めよ．
---&imgtex(\[\partial L/\partial x_i=2(Ax-\lambda x-\mu b...
--(3-2)「&imgtex($\mu=0$);かつ&imgtex($\exists i\in\{1,2,...
---成立を仮定すると，&imgtex($\bar{\lambda}=a_{jj}$);なる...
--(3-3)「&imgtex($\mu=0$);かつ&imgtex($\forall i\in\{1,2,...
---成立を仮定すると，任意の&imgtex($i$);について&imgtex($...
--(3-4)「&imgtex($\mu\ne 0$);かつ&imgtex($\exists i\in\{1...
---成立を仮定すると，&imgtex($\mu=0$);となり矛盾．
--(4)行列&imgtex($A$);は&imgtex($(a_{11},a_{22},a_{33})=(...
&imgtex($b^{\top}=(\sqrt{3},\sqrt{2},\sqrt{3})$);とする．
&imgtex($\Omega$);の中の点を全て求めよ．
---束縛条件は，~
&imgtex(\begin{align*}x_1(2-\lambda)&=\sqrt{3}\mu\\x_2(4-...
なので，&imgtex(\[\mu\left(\frac{3}{2-\lambda}+\frac{2}{4...
ここで，&imgtex($\mu\ne 0$);ならば，&imgtex($\lambda=3,5$...
&imgtex($\mu=0$);のときは(3-2)と(3-3)が矛盾するので解なし．
--(5)&imgtex($\bar{x}$);が極値を与えないことを示せ．
---&imgtex($A=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0...
** 第5問 [#baacc6d2]
//文責：GoK
***(1) [#cf2344ff]
&imgtex($\bm{u}=|\bm{u}|\bm{e}_u$);なる単位ベクトル&imgte...
この時、&imgtex($v$);を&imgtex($\bm{e}_u,\bm{e}\times\bm{...
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=|\bm{u}|\cos\theta \bm{e}_...
***(2) [#q3ec759c]
(1)と同様にして&imgtex($\bm{u}=u_0 \bm{e} + u_1 \bm{e}_1$...
この時&imgtex($\bm{v}$);は、&imgtex($\bm{e}_1=\frac{\bm{u...
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=u_1\cos\theta\bm{e}_1 + u_...
***(3) [#g85207b6]
(2)より、&imgtex($\bm{u}=(x,y,z)$);として~
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=\cos\theta \begin{pmatrix...
** 第6問 [#c77cb7e1]
-(1)~
4個のボールを2個の箱に分配するとき、(4,0),(3,1),(2,2),(1,...
&imgtex(\[ \frac{(N+S-1)!}{N!(S-1)!} \]);~
通りの分配が存在する。
-(2)~
N<Sの時は考えないことにする。はじめに1個のボールを全ての...
&imgtex(\[ \frac{(N-1)!}{(N-S)!(S-1)!} \]);~
-(3)~
n>Nといった特殊な状況は考えないことにする。ある箱にn個の...
&imgtex(\[ \frac{(N-n+S-2)!}{(N-n)!(S-2)!} \]);~
通りである。だから、全ての分配の数で割ることにより~
&imgtex(\begin{eqnarray*} P(n,N,S)&=&\frac{(N-n+S-2)! N!(...
なので、~
&imgtex(\[ \lim_{N,S \to \infty , N/S =r} P(n,N,S)= \lim_...
** コメント [#d43f3e47]
- 第４問の５はどうやって導き出したんですか？ -- [[ooas]] ...
- 2の（2）が、F’’=3/4ff’^(-5/2)f’’^2-1/2ff’^(-3/2)f’’’ ...
- 文字化けするんですね。ごめんなさい。あ、編集で直してみ...
- f'^(-3/2) の微分は合成関数の微分になりますね。 ( (d/dx)...
#comment
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[[院試過去問の解答]]
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*院試過去問 2003年度 数学 [#vf1cbc5d]
''このページには誤りや悪意のある人間の手によるデタラメが...
''必ずご自身で確認された上、自己責任で利用されるようご注...
特に上の文がデタラメの可能性には注意してください．
また、上の三行の文は正しいですが、この行の文はでたらめの...
** 第1問 [#yf05ae29]
tex表記は面倒なので、分かる範囲でタイプ数を減らしています...
-(1)~
--1.~
&imgtex(\[ \| Ax \| \ge 0 \Rightarrow \sigma (A) \ge 0 \]...
&imgtex(\[ {}^\forall \| x \|=1, \| Ax\|=0 \Leftrightarro...
--2.~
&imgtex(\[ \| \sigma Ax\|=|\sigma|\| Ax \| \]);~
--3.~
&imgtex(\[ \sigma(A+B) = \| (A+B)x\|=\| Ax +Bx \| \le \| ...
-(2)~
...を計算に関係ない部分として、~
&imgtex(\[ A_1 =\begin{pmatrix} \alpha & w^T \\ z & A_2 \...
なので、&imgtex($ \alpha=\sigma_1,z=0 $);である。
-(3)~
&imgtex(\[ \| A_1 \begin{pmatrix}\sigma_1 \\ w \end{pmatr...
-(4)
&imgtex(\[ \| x\|=1 \Leftrightarrow \| V_1^T x\|=\| x' \|...
&imgtex(\[ \| Ax\|=\| U_1A_1V_1^T x \|=\| U_1\| \| A_1 x'...
であり、&imgtex($ \| Ax\|$);を最大にするxをとりx'に変換す...
-(5)~
&imgtex(\[ \sigma_1 \ge \left\| A_1 \frac{1}{\| \begin{pm...
なので、w=0
-(6)~
&imgtex(\[ \sigma(A_2)=\sigma_2 \]);とおく。あるx2が存在...
&imgtex(\[ \| A_1 \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \end{pmatrix} ...
&imgtex(\[ \sigma(A_2) = \sigma_2 \le \sigma(A_1) \]);~
なぜならば、&imgtex($ \sigma $);の定義にはmaxを用いている...
-(7)~
略、補完希望
** 第2問 [#jf681229]
-(1)~
&imgtex(\[ F' = \sqrt{f'} -\frac{1}{2} f f'^{-\frac{3}{2}...
-(2)~
&imgtex(\[ F'' = \frac{3}{4} f f'^{-\frac{5}{2}} f'' -\fr...
-(3)~
&imgtex($ F(r)=0$);を用いる。~
&imgtex(\[ \lim_{x \rightarrow r} \frac{G(x) -r }{(x-r)^2...
となる。
** 第3問 [#j4dfa602]
-(1)~
全てのi,jに対し、~
&imgtex(\[ \sigma(G_i^{l-1}) -\sigma(G_j^{l-1}) \le \max\...
が成り立っているとき。&imgtex($ \sigma(G_i^{l-1}) \ge \si...
&imgtex(\[ \sigma(G_i^{l}) -\sigma(G_j^{l}) \le \sigma(G_...
不等号が逆の場合もほぼ同様。~
&imgtex($ \max\{ a_1,\cdots,a_n \} $);を満たすものをahと...
-(2)~
ahを特別視して、残りのn-1個をできるだけ均等に分割すると、...
&imgtex(\[ P(\Delta ) \le \frac{1}{m}\sum_{k\ne h} a_k + ...
-(3)~
&imgtex(\[ \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{n}a_k \le P( \Delta_op...
(1)の右側の不等式、(2)を用いれば(3)が示せる。
-(4)~
添え字1からm(m-1)までai=1で、最後がmの数列を考える。合計m...
** 第4問 [#te4e8dd5]
-行列&imgtex($A$);を&imgtex($n\times n$);実対称行列とし，
関数&imgtex($\psi :\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$);を
&imgtex($\psi(x)=x^{\top} Ax$);と定義する．
ただし，制約&imgtex($\|x\|=1,\ b^{\top}x=0$);の元で&imgte...
--(1)&imgtex($\partial L/\partial x,\partial L/\partial \...
---&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial x}=2Ax-2\lambda x...
&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=1-\|x\|^2\]...
&imgtex(\[\frac{\partial L}{\partial \mu}=-2b^{\top}x\]);
--(2)ベクトル&imgtex($b=0$);のとき，&imgtex($\bar{x}$);は...
---&imgtex($b=0$);のとき，&imgtex($2A\bar{x}-2\bar{\lambd...
--(3)Aを&imgtex($a_{11}<a_{22}<\dots <a_{nn}$);を満たす対...
&imgtex($b$);の要素は全て非ゼロとする．
--(3-1)&imgtex($\partial L/\partial x_i$);を求めよ．
---&imgtex(\[\partial L/\partial x_i=2(Ax-\lambda x-\mu b...
--(3-2)「&imgtex($\mu=0$);かつ&imgtex($\exists i\in\{1,2,...
---成立を仮定すると，&imgtex($\bar{\lambda}=a_{jj}$);なる...
--(3-3)「&imgtex($\mu=0$);かつ&imgtex($\forall i\in\{1,2,...
---成立を仮定すると，任意の&imgtex($i$);について&imgtex($...
--(3-4)「&imgtex($\mu\ne 0$);かつ&imgtex($\exists i\in\{1...
---成立を仮定すると，&imgtex($\mu=0$);となり矛盾．
--(4)行列&imgtex($A$);は&imgtex($(a_{11},a_{22},a_{33})=(...
&imgtex($b^{\top}=(\sqrt{3},\sqrt{2},\sqrt{3})$);とする．
&imgtex($\Omega$);の中の点を全て求めよ．
---束縛条件は，~
&imgtex(\begin{align*}x_1(2-\lambda)&=\sqrt{3}\mu\\x_2(4-...
なので，&imgtex(\[\mu\left(\frac{3}{2-\lambda}+\frac{2}{4...
ここで，&imgtex($\mu\ne 0$);ならば，&imgtex($\lambda=3,5$...
&imgtex($\mu=0$);のときは(3-2)と(3-3)が矛盾するので解なし．
--(5)&imgtex($\bar{x}$);が極値を与えないことを示せ．
---&imgtex($A=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0...
** 第5問 [#baacc6d2]
//文責：GoK
***(1) [#cf2344ff]
&imgtex($\bm{u}=|\bm{u}|\bm{e}_u$);なる単位ベクトル&imgte...
この時、&imgtex($v$);を&imgtex($\bm{e}_u,\bm{e}\times\bm{...
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=|\bm{u}|\cos\theta \bm{e}_...
***(2) [#q3ec759c]
(1)と同様にして&imgtex($\bm{u}=u_0 \bm{e} + u_1 \bm{e}_1$...
この時&imgtex($\bm{v}$);は、&imgtex($\bm{e}_1=\frac{\bm{u...
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=u_1\cos\theta\bm{e}_1 + u_...
***(3) [#g85207b6]
(2)より、&imgtex($\bm{u}=(x,y,z)$);として~
&imgtex(\begin{align*} \bm{v}&=\cos\theta \begin{pmatrix...
** 第6問 [#c77cb7e1]
-(1)~
4個のボールを2個の箱に分配するとき、(4,0),(3,1),(2,2),(1,...
&imgtex(\[ \frac{(N+S-1)!}{N!(S-1)!} \]);~
通りの分配が存在する。
-(2)~
N<Sの時は考えないことにする。はじめに1個のボールを全ての...
&imgtex(\[ \frac{(N-1)!}{(N-S)!(S-1)!} \]);~
-(3)~
n>Nといった特殊な状況は考えないことにする。ある箱にn個の...
&imgtex(\[ \frac{(N-n+S-2)!}{(N-n)!(S-2)!} \]);~
通りである。だから、全ての分配の数で割ることにより~
&imgtex(\begin{eqnarray*} P(n,N,S)&=&\frac{(N-n+S-2)! N!(...
なので、~
&imgtex(\[ \lim_{N,S \to \infty , N/S =r} P(n,N,S)= \lim_...
** コメント [#d43f3e47]
- 第４問の５はどうやって導き出したんですか？ -- [[ooas]] ...
- 2の（2）が、F’’=3/4ff’^(-5/2)f’’^2-1/2ff’^(-3/2)f’’’ ...
- 文字化けするんですね。ごめんなさい。あ、編集で直してみ...
- f'^(-3/2) の微分は合成関数の微分になりますね。 ( (d/dx)...
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