院試過去問 2006年度 数学
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''このページには誤りや悪意のある人間の手によるデタラメが...
''必ずご自身で確認された上、自己責任で利用されるようご注...
特に上の文がデタラメの可能性には注意してください．
また、この行の直前の三行の文は正しいですが、この行の文は...
*院試過去問 2006年度 数学 [#l76730ea]
- 第1問~
要素数有限の集合&imgtex($X$);と，
写像&imgtex($f:X\to X$);について考える．~
&imgtex(\begin{align*}f^0(x)&=x\\ f^i&=f(f^{i-1}(x))\ (i\...
と定義する．
--(1)非負整数&imgtex($i=0,1,\dots$);に対し，集合~
&imgtex(\[A_i=f^i(X)\]);~
を定義する．&imgtex($A_k=A_{k+1}$);なる&imgtex($k$);が存...
---任意の&imgtex($i$);について&imgtex($A_i\supseteq A_{i+...
帰納法で証明する．~
&imgtex($A_1=f(X)\subseteq X$);より&imgtex($A_0\supseteq ...
&imgtex($k$);での成立，すなわち&imgtex($A_{k}\supseteq A_...
よって，&imgtex($A_{k+1}\subseteq A_{k+2}$);が成立する．~
以上の議論より&imgtex($A_{k}\supseteq A_{k+1}$);が示され...
--(2) (1)の条件を満たす&imgtex($k$);の一つを&imgtex($k^*$...
&imgtex($A_{k^*}$);は，&imgtex($f$);のあらゆる不動点を含...
---ある不動点&imgtex($Y$);が&imgtex($A_{k^*}$);に含まれて...
すると，&imgtex($Y\subseteq X$);であるから&imgtex($Y\subs...
よって，&imgtex($A_{k^*}$);は&imgtex($f$);のあらゆる不動...
--(3)&imgtex($X$);の要素&imgtex($x$);に対し，集合~
&imgtex(\begin{align*}B(x)=\{f^i(x)|i\ge k^*\}\end{align*...
を定義する．&imgtex($B(x)$);が&imgtex($f$);の不動点である...
---&imgtex($B(x)=\{f^{k^*}(x),f^{k^*+1}(x),f^{k^*+2}(x),\...
&imgtex($f^{k^*}(x)=f^{k^*+l}$);なる正整数&imgtex($l$);が...
そのような&imgtex($l$);が存在すれば&imgtex($B(x)=\{f^{k^*...
&imgtex($B(x)=f(B(x))$);となるからである．~
背理法で示す．~
そのような&imgtex($l$);が存在しなかったと仮定する．
すると，&imgtex($f^{k^*}(x)$);は不動点である&imgtex($A_{k...
よって，条件を満たす&imgtex($l$);は存在し，題意は示された．
--(4)&imgtex($A_{k^*}=\bigcup_{x\in X}B(x)$);を示せ．
---どの&imgtex($B(x)$);も不動点であるので，&imgtex($A_{k^...
逆に&imgtex($x\in A_{k^*}$);ならば，(3)と同様の議論により...
よって，&imgtex($A_{k^*}=\bigcup_{x\in X}B(x)$);．
----
-第一問、二番煎じ~
-- (1)~
&imgtex(\[f(X) \subseteq X\]);なので~
&imgtex(\[f^{n+1}(X) = f^n(f(X)) \subseteq f^n(X)\]);が成...
&imgtex(\[|f^n(X)|\]);は&imgtex(\(n\));について非増加な自...
&imgtex(\[|f^{k+1}(X)|=|f^k(X)|\]);かつ&imgtex(\[f^{k+1}(...
&imgtex(\[A_{k+1} = f^{k+1}(X) = f^k(X) = A_k\]);
-- (2)~
任意の不動点&imgtex(\[Y\]);について、~
&imgtex(\[f^n(Y)=Y\ \wedge Y \subseteq X\]);が成立するの...
&imgtex(\[Y = f^{k^*}(Y) \subseteq f^{k^*}(X) = A_{k^*}\]);
-- (3)~
&imgtex(\[B(x)\supseteq f(B(x))\]);は定義から自明。~
&imgtex(\[A_{k^*}\]);から&imgtex(\[A_{k^*}\]);への関数と...
&imgtex(\[A_{k^*}\]);は有限集合なので、&imgtex(\[f\]);へ...
有限集合内での全単射には&imgtex(\[f^n = \mathrm{id}: A_{k...
これを使えば&imgtex(\[\forall y\in B(x)\]);に対して~
&imgtex(\[z=f^{n-1}(y)\in B(x)\]);ととれば&imgtex(\[y=f(z...
&imgtex(\[y\in f(B(x))\]);。~
ゆえに&imgtex(\[B(X)\subseteq f(B(x))\]);
-- (4)~
…自明。~
(3)から&imgtex(\[B(x)\]);は不動点なので、各&imgtex(\[x\in...
&imgtex(\[A_{k^*}\supseteq \bigcup_{x\in X}B(x)\]);が成立...
各&imgtex(\[y\in A_{k^*}\]);について&imgtex(\[y=f^{k^*}(x...
&imgtex(\[y = f^{k^*}(x) \in B(x)\]);なので、&imgtex(\[A_...
----
-第2問~
&imgtex($\bm{a}(t)=\begin{pmatrix}a_1(t)\\ a_2(t)\end{pma...
&imgtex(\begin{align}\frac{d}{dt} \bm{x}(t)&= -\bm{a}(t)\...
を考える．
--(1)任意の実数&imgtex($t$);に対して&imgtex($a_1(t)=1,a_2...
---&imgtex(\[\frac{d}{dt}\bm{x}(t)=-\begin{pmatrix}1&0\\0...
&imgtex($x_2(t)=1$);となりゼロベクトルに収束しない．
--(2)&imgtex($p_1(t)^2+p_2(t)^2=1$);なる連続微分可能な関...
&imgtex(\[P(t)=\begin{pmatrix}p_1(t)&p_2(t)\\-p_2(t)&p_1(...
に基づく変数変換~
&imgtex(\[\bm{y}(t)=P(t)\bm{x}(t)\]);~
を使い，(2.1)を&imgtex($\bm{y}(t)$);に関する微分方程式に...
---&imgtex($P(t)P(t)^{\top}=I$);なので，~
&imgtex(\begin{align*}\frac{d}{dt}(P(t)^{\top} y(t))&= -a...
--(3)&imgtex($a_1(t)=\cos t, a_2(t)=\sin t$);であるとき，
(2.1)の解&imgtex($x$);がゼロベクトルに収束することを示せ．
---&imgtex(\tiny\[\dot{\bm{y}}=-\begin{pmatrix}(p_1(t)\co...
なので，なるべくきれいにするため&imgtex($p_1(t)=\cos t,\ ...
&imgtex(\[\dot{\bm{y}}=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmat...
となる．
この行列の固有値は&imgtex($\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$);な...
--(4) &imgtex($\bm{a}(t)$);がどのような性質を持てば，(2.1...
---&imgtex($\bm{a}(t)$);に対し&imgtex(\[\frac{d}{dt} \bm{...
-- (4)別解~
誘導は無視する方向で。~
&imgtex(\[\dot{x}=-aa^\top x\]);から、~
&imgtex(\[\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|x\|^2 = -x^\top aa^\to...
&imgtex(\[\|x\|\]);は単調非増加で下に有界なので、収束する...
収束先を&imgtex(\[\|x_\infty\|=\mathrm{const}\]);とすると...
そこではノルムは変化せず、&imgtex(\[x\]);は&imgtex(\[a\])...
&imgtex(\[x_\infty = \frac{\pm \|x_\infty\|}{\sqrt{a_1^2+...
さらに、&imgtex(\[\dot{x}_\infty=-aa^\top x = 0\]);から、~
&imgtex(\[\|x_\infty\| = 0\]);でないときには、&imgtex(\[\...
つまり、&imgtex(\[\|x\|\]);が0以外の収束先を持つためには、~
十分時間が経った後で&imgtex(\[a\]);の方向が変化しないこと...
----
第3問~
-&imgtex(\[f(z)=\frac{e^{iz}}{z-\pi}\]);を周回積分する．
--(1)&imgtex($f(z)$);の全ての極とその留数を求めよ．
---極は&imgtex($z=\pi$);，その留数は&imgtex($e^{i\pi}=-1$...
--(2)&imgtex($\int_{C}f(z)dz$);を求めよ
---留数定理より，&imgtex($-2\pi i$);．
--(3)&imgtex(\[\lim_{X_1,Y,X_2\to +\infty}\int_{C_4+C_5+C...
---&imgtex($\int_{C_5}f(z)dz$);の評価がうまくいかなかった...
すると，~
&imgtex(\begin{align*}|\lim_{X_1,Y,X_2\to +\infty}\int_{C...
--(3)別解~
&imgtex(\[\left|\int_{C_4}f(z)dz\right| \leq \int_0^Y \fr...
&imgtex(\[\left|\int_{C_6}f(z)dz\right| \leq \int_Y^0 \fr...
&imgtex(\begin{align*}\left|\int_{C_5}f(z)dz\right| &= \l...
--(4)&imgtex(\[\lim_{\rho\to 0}\int_{C_2}f(z)dz\]);を求め...
---~
&imgtex(\begin{align*}\lim_{\rho\to 0}\int_{C_2}f(z)dz&= ...
---別解~
&imgtex(\[z=\rho e^{i\theta}+\pi\]);と置けば、~
&imgtex(\[dz = i(z-\pi)d\theta\]);~
&imgtex(\begin{align*}\lim_{\rho\to 0}\int_{C_2}f(z)dz&=\...
--(5)&imgtex(\[\lim_{X_1,X_2\to\infty,\rho_0}\left(\int_{...
---&imgtex($\frac{e^{iz}}{z-\pi}=\frac{\cos\theta+i\sin\t...
&imgtex(\begin{align*}\lim_{X_1,X_2\to\infty,\rho\to 0}\l...
--(6)&imgtex(\[\lim_{X_1,X_2\to\infty,\rho_0}\left(\int_{...
&imgtex($a>0$);のときは同様にして&imgtex($\pi\cos a\pi$);．
&imgtex($a=0$);のときは明らかに0．
&imgtex($a<0$);のときは積分路が逆向きになるので，&imgtex(...
----
- 第4問~
計算はとてもめんどくさい。~
数直線上を点Pが動く。時刻&imgtex(\[t=0\]);のときPは&imgte...
点Pが時刻tにxにいる確率を&imgtex(\[p(x,t)\]);と置く。
--(1)時刻&imgtex(\[t=2\]);について&imgtex(\[p(x,t)\]);を...
---計算するだけ。~
|x||-2|0|2|
|p||1/4|1/2|1/4|
--(2)&imgtex(\[p(x,t)\]);を求めよ。~
---x,tのそれぞれについて偶数と奇数で場合分けする。~
&imgtex(\[t=2n\]);のとき、~
&imgtex(\[x=\pm (2k+1)\]);のとき、&imgtex(\[p(2n,\pm (2k+...
&imgtex(\[x=\pm 2k\]);のとき、&imgtex(\[p(2n,\pm 2k)= \fr...
&imgtex(\[t=(2n+1)\]);のとき、~
&imgtex(\[x=\pm 2k\]);のとき、&imgtex(\[p((2n+1),\pm 2k)=...
&imgtex(\[x=\pm (2k+1)\]);のとき、&imgtex(\[p((2n+1),\pm ...
--(3)時刻tのxの平均と分散を求めよ。~
---この分布は二項分布(確率pで1,確率(1-p)で0をt回繰り返す)...
二項分布の平均はpt,分散はp(1-p)tであるため、この分布の平...
&imgtex(\[E(x)=(\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}t)\times 2 = 0\]);~
&imgtex(\[V(x)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})t \times 2^2 = t...
となる。
--(4)&imgtex(\[p(x,t) \simeq \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} e^{-...
---t,xが偶数の場合。~
&imgtex(\[p(x,t)= \frac{1}{2^{t}} \left( \begin{array}{c}...
&imgtex(\[ = \frac{1}{2^{t}} \frac{\sqrt{2 \pi t } t^t e^...
&imgtex(\[ = \frac{2}{\sqrt{2 \pi t \left(1-(\frac{x}{t})...
ここで、&imgtex(\[\frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\f...
&imgtex(\[\log{\frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac...
&imgtex(\[= - \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right) \lo...
&imgtex(\[ \simeq - \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \righ...
なので、~
&imgtex(\[p(x,t) \simeq \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} e^{- \fra...
これは、中心極限定理を表す。~
標本平均(ここではx/t)と真の平均(ここでは0)の誤差はtが大き...
これを中心極限定理という。~
よって、xの分布については平均が0、分散が(各々の値がt倍さ...
この正規分布は、~
&imgtex(\[p(x,t) \simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{- \fra...
であり、これは先ほどの結果と合致する。~
(先ほど求めた&imgtex(\[p(x,t)\]);の近似は偶奇を分けていた...
----
-第5問~
--(1)&imgtex($n\times n$);の実対称行列&imgtex($X$);に対し...
---&imgtex($U^{\top}XU=D$);とおく．すると，&imgtex($XU=UD...
&imgtex($\begin{pmatrix}X\bm{u}_1&X\bm{u}_2&\dots&\bm{u}_...
&imgtex($\lambda_i$);は対応する固有値である．
--(2)&imgtex($X$);が半正定値であるとき，そしてそのときに...
&imgtex($X$);の全ての固有値が非負の実数であることを示せ．
---半正定値のとき，&imgtex($\bm{u}_i^{\top}X\bm{u}_i=\lam...
&imgtex($\bm{v}^{\top}X\bm{v}=\lambda_i c_i^2\ge 0$);より...
--(3)&imgtex($X$);が半正定値であるとき，そしてそのときに...
---半正定値&imgtex($\Longleftrightarrow$);&imgtex($X=UDU^...
--(4)&imgtex($X,Y$);が半正定値であるとき，&imgtex($\mathr...
---&imgtex($\mathrm{tr}XY=\mathrm{tr}(A^{\top}AB^{\top}B)...
--(5)&imgtex($X$);が半正定値であるとき，そしてそのときに...
任意の&imgtex($n\times n$);の半正定値行列&imgtex($Y$);に...
---&imgtex($X$);が半正定値なら任意の半正定値行列&imgtex($...
逆に，&imgtex($Y$);を&imgtex(\[\begin{pmatrix}0&\dots&0&u...
----
-第6問~
有名な『ビュッホンの針』の応用問題。図がないと説明しづら...
--(1)一辺&imgtex(\[\sqrt{2}\]);の正方形と間隔&imgtex(\[2\...
---対称性より、正方形の中心と直線の距離xが&imgtex(\[0 \le...
以下、直線の法線と正方形の一辺のなす角を&imgtex(\[\theta(...
&imgtex(\[\theta\]);を&imgtex(\[0 \leq \theta < \frac{\pi...
よって求める確率は、~
&imgtex(\[\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^{\co...
&imgtex(\[= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos \le...
&imgtex(\[= \frac{4}{\pi} \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos \ph...
&imgtex(\[=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\]);~
---(別解)&imgtex(\[x\]);を固定して考える。~
以下、直線の法線と正方形の一辺のなす角を&imgtex(\[\varphi...
&imgtex(\[0 \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\]);のとき、正...
&imgtex(\[\frac{1}{\sqrt{2}} < x \leq 1 \]);のとき、正方...
よって求める確率は、~
&imgtex(\[\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{8}{2\pi} \int^1_{\frac...
&imgtex(\[=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\pi} \int^{\frac{\...
&imgtex(\[=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\pi} \left[-t \sin...
&imgtex(\[=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\]);~
--(2)長辺&imgtex(\[\sqrt{3}\]);短辺&imgtex(\[\sqrt{1}\]);...
---対称性より、長方形の中心と直線の距離xが&imgtex(\[0 \le...
以下、直線の法線と長方形の長辺のなす角を&imgtex(\[\theta(...
&imgtex(\[\theta\]);を&imgtex(\[0 \leq \theta < \frac{\pi...
よって求める確率は、~
&imgtex(\[\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^{\co...
&imgtex(\[= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos \le...
&imgtex(\[= \frac{4}{\pi} \int^{\frac{\pi}{3}}_{-\frac{\p...
&imgtex(\[= \frac{\sqrt{3}+1}{\pi} \]);~
---(別解)対称性より、長方形の中心と直線の距離xが&imgtex(\...
以下、直線の法線と長方形の対角線のなす角を&imgtex(\[\varp...
&imgtex(\[0 \leq x \leq \frac{1}{2}\]);のとき、長方形は常...
&imgtex(\[\frac{1}{2} < x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \]);の...
&imgtex(\[\frac{\sqrt{3}}{2} < x \leq 1 \]);のとき、長方...
よって求める確率は、~
&imgtex(\[\frac{1}{2}+\frac{4}{2\pi} \frac{\pi}{6} \left(...
&imgtex(\[=\]);((1)と同様の計算につき省略)&imgtex(\[= \fr...
--(3)長辺&imgtex(\[\sqrt{3}\]);短辺&imgtex(\[\sqrt{1}\]);...
---『長方形が格子の横方向の直線と交わる』事象を&imgtex(\[...
&imgtex(\[P(X)=P(Y)=\frac{\sqrt{3}+1}{\pi} \]);なので、&i...
対称性より、長方形の中心と横向きの直線との距離x、縦向きの...
以下、縦向きの直線と長方形の長辺のなす角を&imgtex(\[\thet...
&imgtex(\[\theta\]);を&imgtex(\[0 \leq \theta < \frac{\pi...
&imgtex(\[P(X \cap Y)=\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}...
&imgtex(\[= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin \le...
&imgtex(\[= \frac{1}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \left(\s...
&imgtex(\[= \frac{1}{\pi}+\frac{\sqrt{3}}{4}\]);~
よって求める確率は、
&imgtex(\[2\frac{\sqrt{3}+1}{\pi}-\left(\frac{1}{\pi}+\fr...
---(別解)煩雑すぎて無理。
--ちなみに、計算すると、(1)は90.0%、(2)は87.0%、(3)は98.8...
----
コメント
- 第２問の(3)以降について。(3)は、「&imgtex($p_1(t)=p_2(t...
- ということで、(4)の予想は、「&imgtex($p_1(t)^2+p_2(t)^2...
- 第3問、(5)は-πですよね?最後のイコールで符号ぬかしてるよ...
- >muk 正直者には見えないだけです．誰にでも見れるように直...
- >うっしー 2.(3)の回答直しました．何回やってもきれいに...
- >yambi どうもありがとうございます！＞＜ -- [[うっしー]...
- 第６問上から５行目；0<x<cos((π/4)-θ)ではありませんか？ ...
- どうぞ、修正若しくは併記をしてください。wikiですので編...
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特に上の文がデタラメの可能性には注意してください．
また、この行の直前の三行の文は正しいですが、この行の文は...
*院試過去問 2006年度 数学 [#l76730ea]
- 第1問~
要素数有限の集合&imgtex($X$);と，
写像&imgtex($f:X\to X$);について考える．~
&imgtex(\begin{align*}f^0(x)&=x\\ f^i&=f(f^{i-1}(x))\ (i\...
と定義する．
--(1)非負整数&imgtex($i=0,1,\dots$);に対し，集合~
&imgtex(\[A_i=f^i(X)\]);~
を定義する．&imgtex($A_k=A_{k+1}$);なる&imgtex($k$);が存...
---任意の&imgtex($i$);について&imgtex($A_i\supseteq A_{i+...
帰納法で証明する．~
&imgtex($A_1=f(X)\subseteq X$);より&imgtex($A_0\supseteq ...
&imgtex($k$);での成立，すなわち&imgtex($A_{k}\supseteq A_...
よって，&imgtex($A_{k+1}\subseteq A_{k+2}$);が成立する．~
以上の議論より&imgtex($A_{k}\supseteq A_{k+1}$);が示され...
--(2) (1)の条件を満たす&imgtex($k$);の一つを&imgtex($k^*$...
&imgtex($A_{k^*}$);は，&imgtex($f$);のあらゆる不動点を含...
---ある不動点&imgtex($Y$);が&imgtex($A_{k^*}$);に含まれて...
すると，&imgtex($Y\subseteq X$);であるから&imgtex($Y\subs...
よって，&imgtex($A_{k^*}$);は&imgtex($f$);のあらゆる不動...
--(3)&imgtex($X$);の要素&imgtex($x$);に対し，集合~
&imgtex(\begin{align*}B(x)=\{f^i(x)|i\ge k^*\}\end{align*...
を定義する．&imgtex($B(x)$);が&imgtex($f$);の不動点である...
---&imgtex($B(x)=\{f^{k^*}(x),f^{k^*+1}(x),f^{k^*+2}(x),\...
&imgtex($f^{k^*}(x)=f^{k^*+l}$);なる正整数&imgtex($l$);が...
そのような&imgtex($l$);が存在すれば&imgtex($B(x)=\{f^{k^*...
&imgtex($B(x)=f(B(x))$);となるからである．~
背理法で示す．~
そのような&imgtex($l$);が存在しなかったと仮定する．
すると，&imgtex($f^{k^*}(x)$);は不動点である&imgtex($A_{k...
よって，条件を満たす&imgtex($l$);は存在し，題意は示された．
--(4)&imgtex($A_{k^*}=\bigcup_{x\in X}B(x)$);を示せ．
---どの&imgtex($B(x)$);も不動点であるので，&imgtex($A_{k^...
逆に&imgtex($x\in A_{k^*}$);ならば，(3)と同様の議論により...
よって，&imgtex($A_{k^*}=\bigcup_{x\in X}B(x)$);．
----
-第一問、二番煎じ~
-- (1)~
&imgtex(\[f(X) \subseteq X\]);なので~
&imgtex(\[f^{n+1}(X) = f^n(f(X)) \subseteq f^n(X)\]);が成...
&imgtex(\[|f^n(X)|\]);は&imgtex(\(n\));について非増加な自...
&imgtex(\[|f^{k+1}(X)|=|f^k(X)|\]);かつ&imgtex(\[f^{k+1}(...
&imgtex(\[A_{k+1} = f^{k+1}(X) = f^k(X) = A_k\]);
-- (2)~
任意の不動点&imgtex(\[Y\]);について、~
&imgtex(\[f^n(Y)=Y\ \wedge Y \subseteq X\]);が成立するの...
&imgtex(\[Y = f^{k^*}(Y) \subseteq f^{k^*}(X) = A_{k^*}\]);
-- (3)~
&imgtex(\[B(x)\supseteq f(B(x))\]);は定義から自明。~
&imgtex(\[A_{k^*}\]);から&imgtex(\[A_{k^*}\]);への関数と...
&imgtex(\[A_{k^*}\]);は有限集合なので、&imgtex(\[f\]);へ...
有限集合内での全単射には&imgtex(\[f^n = \mathrm{id}: A_{k...
これを使えば&imgtex(\[\forall y\in B(x)\]);に対して~
&imgtex(\[z=f^{n-1}(y)\in B(x)\]);ととれば&imgtex(\[y=f(z...
&imgtex(\[y\in f(B(x))\]);。~
ゆえに&imgtex(\[B(X)\subseteq f(B(x))\]);
-- (4)~
…自明。~
(3)から&imgtex(\[B(x)\]);は不動点なので、各&imgtex(\[x\in...
&imgtex(\[A_{k^*}\supseteq \bigcup_{x\in X}B(x)\]);が成立...
各&imgtex(\[y\in A_{k^*}\]);について&imgtex(\[y=f^{k^*}(x...
&imgtex(\[y = f^{k^*}(x) \in B(x)\]);なので、&imgtex(\[A_...
----
-第2問~
&imgtex($\bm{a}(t)=\begin{pmatrix}a_1(t)\\ a_2(t)\end{pma...
&imgtex(\begin{align}\frac{d}{dt} \bm{x}(t)&= -\bm{a}(t)\...
を考える．
--(1)任意の実数&imgtex($t$);に対して&imgtex($a_1(t)=1,a_2...
---&imgtex(\[\frac{d}{dt}\bm{x}(t)=-\begin{pmatrix}1&0\\0...
&imgtex($x_2(t)=1$);となりゼロベクトルに収束しない．
--(2)&imgtex($p_1(t)^2+p_2(t)^2=1$);なる連続微分可能な関...
&imgtex(\[P(t)=\begin{pmatrix}p_1(t)&p_2(t)\\-p_2(t)&p_1(...
に基づく変数変換~
&imgtex(\[\bm{y}(t)=P(t)\bm{x}(t)\]);~
を使い，(2.1)を&imgtex($\bm{y}(t)$);に関する微分方程式に...
---&imgtex($P(t)P(t)^{\top}=I$);なので，~
&imgtex(\begin{align*}\frac{d}{dt}(P(t)^{\top} y(t))&= -a...
--(3)&imgtex($a_1(t)=\cos t, a_2(t)=\sin t$);であるとき，
(2.1)の解&imgtex($x$);がゼロベクトルに収束することを示せ．
---&imgtex(\tiny\[\dot{\bm{y}}=-\begin{pmatrix}(p_1(t)\co...
なので，なるべくきれいにするため&imgtex($p_1(t)=\cos t,\ ...
&imgtex(\[\dot{\bm{y}}=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmat...
となる．
この行列の固有値は&imgtex($\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$);な...
--(4) &imgtex($\bm{a}(t)$);がどのような性質を持てば，(2.1...
---&imgtex($\bm{a}(t)$);に対し&imgtex(\[\frac{d}{dt} \bm{...
-- (4)別解~
誘導は無視する方向で。~
&imgtex(\[\dot{x}=-aa^\top x\]);から、~
&imgtex(\[\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|x\|^2 = -x^\top aa^\to...
&imgtex(\[\|x\|\]);は単調非増加で下に有界なので、収束する...
収束先を&imgtex(\[\|x_\infty\|=\mathrm{const}\]);とすると...
そこではノルムは変化せず、&imgtex(\[x\]);は&imgtex(\[a\])...
&imgtex(\[x_\infty = \frac{\pm \|x_\infty\|}{\sqrt{a_1^2+...
さらに、&imgtex(\[\dot{x}_\infty=-aa^\top x = 0\]);から、~
&imgtex(\[\|x_\infty\| = 0\]);でないときには、&imgtex(\[\...
つまり、&imgtex(\[\|x\|\]);が0以外の収束先を持つためには、~
十分時間が経った後で&imgtex(\[a\]);の方向が変化しないこと...
----
第3問~
-&imgtex(\[f(z)=\frac{e^{iz}}{z-\pi}\]);を周回積分する．
--(1)&imgtex($f(z)$);の全ての極とその留数を求めよ．
---極は&imgtex($z=\pi$);，その留数は&imgtex($e^{i\pi}=-1$...
--(2)&imgtex($\int_{C}f(z)dz$);を求めよ
---留数定理より，&imgtex($-2\pi i$);．
--(3)&imgtex(\[\lim_{X_1,Y,X_2\to +\infty}\int_{C_4+C_5+C...
---&imgtex($\int_{C_5}f(z)dz$);の評価がうまくいかなかった...
すると，~
&imgtex(\begin{align*}|\lim_{X_1,Y,X_2\to +\infty}\int_{C...
--(3)別解~
&imgtex(\[\left|\int_{C_4}f(z)dz\right| \leq \int_0^Y \fr...
&imgtex(\[\left|\int_{C_6}f(z)dz\right| \leq \int_Y^0 \fr...
&imgtex(\begin{align*}\left|\int_{C_5}f(z)dz\right| &= \l...
--(4)&imgtex(\[\lim_{\rho\to 0}\int_{C_2}f(z)dz\]);を求め...
---~
&imgtex(\begin{align*}\lim_{\rho\to 0}\int_{C_2}f(z)dz&= ...
---別解~
&imgtex(\[z=\rho e^{i\theta}+\pi\]);と置けば、~
&imgtex(\[dz = i(z-\pi)d\theta\]);~
&imgtex(\begin{align*}\lim_{\rho\to 0}\int_{C_2}f(z)dz&=\...
--(5)&imgtex(\[\lim_{X_1,X_2\to\infty,\rho_0}\left(\int_{...
---&imgtex($\frac{e^{iz}}{z-\pi}=\frac{\cos\theta+i\sin\t...
&imgtex(\begin{align*}\lim_{X_1,X_2\to\infty,\rho\to 0}\l...
--(6)&imgtex(\[\lim_{X_1,X_2\to\infty,\rho_0}\left(\int_{...
&imgtex($a>0$);のときは同様にして&imgtex($\pi\cos a\pi$);．
&imgtex($a=0$);のときは明らかに0．
&imgtex($a<0$);のときは積分路が逆向きになるので，&imgtex(...
----
- 第4問~
計算はとてもめんどくさい。~
数直線上を点Pが動く。時刻&imgtex(\[t=0\]);のときPは&imgte...
点Pが時刻tにxにいる確率を&imgtex(\[p(x,t)\]);と置く。
--(1)時刻&imgtex(\[t=2\]);について&imgtex(\[p(x,t)\]);を...
---計算するだけ。~
|x||-2|0|2|
|p||1/4|1/2|1/4|
--(2)&imgtex(\[p(x,t)\]);を求めよ。~
---x,tのそれぞれについて偶数と奇数で場合分けする。~
&imgtex(\[t=2n\]);のとき、~
&imgtex(\[x=\pm (2k+1)\]);のとき、&imgtex(\[p(2n,\pm (2k+...
&imgtex(\[x=\pm 2k\]);のとき、&imgtex(\[p(2n,\pm 2k)= \fr...
&imgtex(\[t=(2n+1)\]);のとき、~
&imgtex(\[x=\pm 2k\]);のとき、&imgtex(\[p((2n+1),\pm 2k)=...
&imgtex(\[x=\pm (2k+1)\]);のとき、&imgtex(\[p((2n+1),\pm ...
--(3)時刻tのxの平均と分散を求めよ。~
---この分布は二項分布(確率pで1,確率(1-p)で0をt回繰り返す)...
二項分布の平均はpt,分散はp(1-p)tであるため、この分布の平...
&imgtex(\[E(x)=(\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}t)\times 2 = 0\]);~
&imgtex(\[V(x)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})t \times 2^2 = t...
となる。
--(4)&imgtex(\[p(x,t) \simeq \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} e^{-...
---t,xが偶数の場合。~
&imgtex(\[p(x,t)= \frac{1}{2^{t}} \left( \begin{array}{c}...
&imgtex(\[ = \frac{1}{2^{t}} \frac{\sqrt{2 \pi t } t^t e^...
&imgtex(\[ = \frac{2}{\sqrt{2 \pi t \left(1-(\frac{x}{t})...
ここで、&imgtex(\[\frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\f...
&imgtex(\[\log{\frac{1}{\left(1-\frac{x}{t}\right)^{\frac...
&imgtex(\[= - \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \right) \lo...
&imgtex(\[ \simeq - \frac{t}{2} \left(1-\frac{x}{t} \righ...
なので、~
&imgtex(\[p(x,t) \simeq \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} e^{- \fra...
これは、中心極限定理を表す。~
標本平均(ここではx/t)と真の平均(ここでは0)の誤差はtが大き...
これを中心極限定理という。~
よって、xの分布については平均が0、分散が(各々の値がt倍さ...
この正規分布は、~
&imgtex(\[p(x,t) \simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{- \fra...
であり、これは先ほどの結果と合致する。~
(先ほど求めた&imgtex(\[p(x,t)\]);の近似は偶奇を分けていた...
----
-第5問~
--(1)&imgtex($n\times n$);の実対称行列&imgtex($X$);に対し...
---&imgtex($U^{\top}XU=D$);とおく．すると，&imgtex($XU=UD...
&imgtex($\begin{pmatrix}X\bm{u}_1&X\bm{u}_2&\dots&\bm{u}_...
&imgtex($\lambda_i$);は対応する固有値である．
--(2)&imgtex($X$);が半正定値であるとき，そしてそのときに...
&imgtex($X$);の全ての固有値が非負の実数であることを示せ．
---半正定値のとき，&imgtex($\bm{u}_i^{\top}X\bm{u}_i=\lam...
&imgtex($\bm{v}^{\top}X\bm{v}=\lambda_i c_i^2\ge 0$);より...
--(3)&imgtex($X$);が半正定値であるとき，そしてそのときに...
---半正定値&imgtex($\Longleftrightarrow$);&imgtex($X=UDU^...
--(4)&imgtex($X,Y$);が半正定値であるとき，&imgtex($\mathr...
---&imgtex($\mathrm{tr}XY=\mathrm{tr}(A^{\top}AB^{\top}B)...
--(5)&imgtex($X$);が半正定値であるとき，そしてそのときに...
任意の&imgtex($n\times n$);の半正定値行列&imgtex($Y$);に...
---&imgtex($X$);が半正定値なら任意の半正定値行列&imgtex($...
逆に，&imgtex($Y$);を&imgtex(\[\begin{pmatrix}0&\dots&0&u...
----
-第6問~
有名な『ビュッホンの針』の応用問題。図がないと説明しづら...
--(1)一辺&imgtex(\[\sqrt{2}\]);の正方形と間隔&imgtex(\[2\...
---対称性より、正方形の中心と直線の距離xが&imgtex(\[0 \le...
以下、直線の法線と正方形の一辺のなす角を&imgtex(\[\theta(...
&imgtex(\[\theta\]);を&imgtex(\[0 \leq \theta < \frac{\pi...
よって求める確率は、~
&imgtex(\[\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^{\co...
&imgtex(\[= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos \le...
&imgtex(\[= \frac{4}{\pi} \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \cos \ph...
&imgtex(\[=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\]);~
---(別解)&imgtex(\[x\]);を固定して考える。~
以下、直線の法線と正方形の一辺のなす角を&imgtex(\[\varphi...
&imgtex(\[0 \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\]);のとき、正...
&imgtex(\[\frac{1}{\sqrt{2}} < x \leq 1 \]);のとき、正方...
よって求める確率は、~
&imgtex(\[\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{8}{2\pi} \int^1_{\frac...
&imgtex(\[=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\pi} \int^{\frac{\...
&imgtex(\[=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\pi} \left[-t \sin...
&imgtex(\[=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\]);~
--(2)長辺&imgtex(\[\sqrt{3}\]);短辺&imgtex(\[\sqrt{1}\]);...
---対称性より、長方形の中心と直線の距離xが&imgtex(\[0 \le...
以下、直線の法線と長方形の長辺のなす角を&imgtex(\[\theta(...
&imgtex(\[\theta\]);を&imgtex(\[0 \leq \theta < \frac{\pi...
よって求める確率は、~
&imgtex(\[\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \int^{\co...
&imgtex(\[= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos \le...
&imgtex(\[= \frac{4}{\pi} \int^{\frac{\pi}{3}}_{-\frac{\p...
&imgtex(\[= \frac{\sqrt{3}+1}{\pi} \]);~
---(別解)対称性より、長方形の中心と直線の距離xが&imgtex(\...
以下、直線の法線と長方形の対角線のなす角を&imgtex(\[\varp...
&imgtex(\[0 \leq x \leq \frac{1}{2}\]);のとき、長方形は常...
&imgtex(\[\frac{1}{2} < x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \]);の...
&imgtex(\[\frac{\sqrt{3}}{2} < x \leq 1 \]);のとき、長方...
よって求める確率は、~
&imgtex(\[\frac{1}{2}+\frac{4}{2\pi} \frac{\pi}{6} \left(...
&imgtex(\[=\]);((1)と同様の計算につき省略)&imgtex(\[= \fr...
--(3)長辺&imgtex(\[\sqrt{3}\]);短辺&imgtex(\[\sqrt{1}\]);...
---『長方形が格子の横方向の直線と交わる』事象を&imgtex(\[...
&imgtex(\[P(X)=P(Y)=\frac{\sqrt{3}+1}{\pi} \]);なので、&i...
対称性より、長方形の中心と横向きの直線との距離x、縦向きの...
以下、縦向きの直線と長方形の長辺のなす角を&imgtex(\[\thet...
&imgtex(\[\theta\]);を&imgtex(\[0 \leq \theta < \frac{\pi...
&imgtex(\[P(X \cap Y)=\frac{4}{2\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}...
&imgtex(\[= \frac{2}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin \le...
&imgtex(\[= \frac{1}{\pi} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \left(\s...
&imgtex(\[= \frac{1}{\pi}+\frac{\sqrt{3}}{4}\]);~
よって求める確率は、
&imgtex(\[2\frac{\sqrt{3}+1}{\pi}-\left(\frac{1}{\pi}+\fr...
---(別解)煩雑すぎて無理。
--ちなみに、計算すると、(1)は90.0%、(2)は87.0%、(3)は98.8...
----
コメント
- 第２問の(3)以降について。(3)は、「&imgtex($p_1(t)=p_2(t...
- ということで、(4)の予想は、「&imgtex($p_1(t)^2+p_2(t)^2...
- 第3問、(5)は-πですよね?最後のイコールで符号ぬかしてるよ...
- >muk 正直者には見えないだけです．誰にでも見れるように直...
- >うっしー 2.(3)の回答直しました．何回やってもきれいに...
- >yambi どうもありがとうございます！＞＜ -- [[うっしー]...
- 第６問上から５行目；0<x<cos((π/4)-θ)ではありませんか？ ...
- どうぞ、修正若しくは併記をしてください。wikiですので編...
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